《【课堂新坐标同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学选修4－5 第二章 几个重要不等式（2014高考）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【课堂新坐标同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学选修4－5 第二章 几个重要不等式（2014高考）.doc（50页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二章几个重要不等式1柯西不等式11简单形式的柯西不等式12一般形式的柯西不等式课标解读1.认识柯西不等式的几种不同的形式，理解它们的几何意义，能证明柯西不等式的代数形式和向量形式2.理解用参数配方法讨论柯西不等式一般情况的过程3.能利用柯西不等式求特定函数的最值和进行简单的证明.1简单形式的柯西不等式(1)定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时等号成立(2)柯西不等式的向量形式设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立2一般形式的柯西不等式(1)定理2：设a1，a2，an与b1，b2，bn
2、是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立(2)推论：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2，当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“”号成立1不等式(a2b2)(d2c2)(acbd)2是柯西不等式吗？【提示】不是柯西不等式中四个数的组合是有对应顺序的2在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为aikbi(i1,2,3，n)，可以吗？【提示】不可以若bi0而ai0，则k不存在利用柯西不等式证明相关不等式已知a，bR
3、，ab1，x1，x2R，求证(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2.【思路探究】如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证【自主解答】(ax1bx2)(bx1ax2)(ax1bx2)(ax2bx1)(ab)2(ab)2x1x2.又因为ab1，所以(ab)2x1x2x1x2，其中等号当且仅当x1x2时成立所以(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2.利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当地变形这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、
4、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口已知3x22y26，求证：2xy.【证明】由柯西不等式(2xy)2(x)2(y)2()2()2(3x22y2)()611.于是2xy.设a，b，c为正数，求证：abc.【思路探究】如何构造二组数是解决问题的关键【自主解答】由柯西不等式()2()2()2()2()2()2()2.于是()(abc)(abc)2，即abc.根据题目的结构特点，我们构造了，；，这二组数使问题得到证明设x1，x2，xn为正数，求证：(x1x2xn)()n2.【证明】由柯西不等式，得(x1x2xn)()()2n2.(x1x2xn)()n2.利用柯西不等式求最值已知x22y23z
5、2，求3x2yz的最小值【思路探究】利用x22y23z2为定值，构造柯西不等式形式，再利用公式得出范围，求解最小值【自主解答】(x22y23z2)32()2()2(3xyz)2(3x2yz)2，(3x2yz)2(x22y23z2)32()2()212.23x2yz2，3x2yz的最小值为2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要保证取到等号成立的条件若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点【解】由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.当且仅当时“”成立，为求最小值点，需解方程组因此，当x，y时，x2y2
6、取得最小值，最小值为，最小值点为(，).运用柯西不等式求参数范围已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围【思路探究】“恒成立”问题需求的最大值，设法应用柯西不等式求最值【自主解答】(111)(121212)().故参数的取值范围是，)此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的范围【解】由柯西不等式得，有(2b23c26d2)()(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由条件可得，5a2(3a)2，解得1
7、a2.实数a的取值范围是1,2.1设x，yR，且2x3y13，则x2y2的最小值为()A.B169C13D0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.【答案】C2已知a，b，c大于0，且abc1，则a2b2c2的最小值为()A1 B4C. D.【解析】根据柯西不等式，有(a2b2c2)(121212)(abc)21，a2b2c2.【答案】C3已知a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，则t的取值范围()A(0,1) B(1,1)C(1,0) D1,1【解析】设(a，b，c)，(x，y，z)|1，|1，由|得|t|1.t的取值范围是1,1【答案】D4(2013驻马店模
8、拟)已知x，y0，(1)(1)的最小值为4，则xy_.【解析】(1)(1)(11)2(1)2(1)24，又0，1，xy1.【答案】1一、选择题1已知a，bR，且ab1，则P(axby)2与Qax2by2的关系是()APQBPQCPQ DPQ【解析】 设m(x，y)，n(，)，则|axby|mn|m|n| ，(axby)2ax2by2.即PQ.【答案】A2已知xy1，那么2x23y2的最小值是()A.B.C.D.【解析】2x23y2(2x23y2)()(xy)2(xy)2.【答案】B3已知x，y，z均大于0，且xyz1，则的最小值为()A24B30C36D48【解析】(xyz)()()236，3
9、6.【答案】C4(2012湖北高考)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则的值为()A. B.C. D.【解析】通过等式找出abc与xyz的关系由题意可得x2y2z22ax2by2cz，与a2b2c210相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令(或)则xyz2(abc)，即.【答案】C二、填空题5函数y的最大值为_【解析】由、非负且()2()23，所以 .【答案】6设x，y正实数，且x2y8，则的最小值为_【解析】(x2y)()()2()2()2()2()225，又x2y8，.【答案】7(2013湖南高考)已知a，b，cR，a2
10、b3c6，则a24b29c2的最小值为_【解析】a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号【答案】12三、解答题8已知实数x，y，z满足x2yz1，求tx24y2z2的最小值【解析】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2，x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z2.当且仅当x2yz，即x，y，z时等号成立故x24y2z2的最小值为.9已知为锐角，a，b均为正实数求证：(ab)2.【证明】设m(，)，n(cos ，sin )，则|ab|cos sin |mn|m|n
11、| ，(ab)2.10ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a2b2c2)()36R2.【证明】由三角形中的正弦定理得：sin A，所以，同理，于是由柯西不等式可得左边(a2b2c2)()(abc)236R2，原不等式得证1已知函数y34，则函数的定义域为_，最大值为_【解析】函数的定义域为5,6，且y0，y345，当且仅当34，即x时取等号ymax5.【答案】5,652已知abc1，且a，b，c是正数，求证：9.【证明】左边2(abc)()(ab)(bc)(ca)()(111)29，当且仅当abc时取等号，9.2排序不等式课标解读1.了解排序不等式的意义，理解排序不等式的实质
12、2.能用排序不等式证明简单的问题.1定理1设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么acbdadbc，当且仅当ab(或cd)时取“”号2顺序和，乱序和，逆序和的概念设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1a2a3，b1b2b3，j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式通常称a1b1a2b2a3b3为顺序和，a1bj1a2bj2a3bj3为乱序和，a1b3a2b2a3b1为逆序和(倒序和)3定理2(排序不等式)设有两个有序实数组，a1a2an及b1b2bn，则a1b1a2b2anbna1bj1a2bj2anbjna1bna2bn1anb1.其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列
13、方式上式当且仅当a1a2an(或b1b2bn)时取“”号已知两组数a1a2a3a4a5，b1b2b3b4b5，其中a12，a27，a38，a49，a512，b13，b24，b36，b410，b511，将bi(i1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5.那么a1c1a2c2a5c5的最大值和最小值分别是多少？【提示】由顺序和最大，知最大值为a1b1a2b2a3b3a4b4a5b5304.由逆序和最小，知最小值为：a1b5a2b4a3b3a4b2a5b1212.用排序不等式证明不等式已知a，b，c为正数，abc，求证：(1)；(2).【思路探究】由于题目条件中已明确abc，故可
14、以直接构造二个数组【自主解答】(1)ab0，于是，又c0，0，从而.同理，bc0，于是，a0，0，于是得.从而.(2)由(1)知0，且abc0，a2b2c2.由排序不等式，顺序和乱序和得.故.利用排序不等式证明不等式，关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组设0abc，求证.【证明】因为0abc，则a3b3c3，0.由排序原理，得：a3b3c3a3b3c3，a3b3c3a3b3c3.将上面两式相加， 得2()将不等式两边除以2，得.设a1，a2，an是n个互不相同的正整数，求证：1a1.【思路探究】由a1，a2，an是n个互不相同的正整数，因此它们可以由小到大排序，观察问题中式子的特征
15、，可猜想到与 a1，a2，an对应的另一列数为1，.联想利用排序不等式证明【自主解答】设b1，b2，bn是a1，a2，an的一个排列，且满足b1b2.由排序不等式得a1b111.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中位置的对称性，限定一种大小关系已知0a1a2an，求证a1a2an.【证明】00，注意到1；设法构造数组，利用排序不等式求解【自主解答】不妨设abc，则abacbc，.由排序不等式得，上两式相加 ，则2()3，即.当且仅当abc时，取最小值.构造两个有序数组利用排序不等式验证等号是否成立已知x，y，z是正数，且xyz1，求t
16、的最小值【解】不妨设xyz0，则x2y2z2，.由排序不等式，乱序和逆序和得，x2y2z2xyz，又xyz1.1.当且仅当xyz时，等号成立故t的最小值为1.利用排序不等式求解简单的实际问题若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修才能使经济损失降到最小？【思路探究】这是一个实际问题，需要转化为数学问题要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t1 min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1 min，依此类推，
17、等候的总时间为3t12t2t3 min，求其最小值即可【自主解答】设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t12t2t332523045180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小5个人各拿一只水桶到水龙头处接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟、8分钟、6分钟、10分钟、5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4554638210184(分钟)即按让注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水， 等待的总时间最少.1已知xy，Mx4y
18、4，Nx3yy3x，则M与N的大小关系是()AMNBMNCMQ BPQCP0，a2b2c20， 由排序不等式得：a2ab2bc2ca2bb2cc2a.PQ.【答案】B3已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c12c23c3的最大值是_，最小值是_【解析】由排序不等式，顺序和最大，逆序和最小最大值为14253632，最小值为16253428.【答案】32284设正实数a1，a2，an的任一排列为a1，a2，an，则的最小值为_【解析】取两组数a1，a2，an；，其反序和为n，则由乱序和不小于反序和知n，的最小值为n.【答案】n一、选择题1某班学生要开联欢
19、会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花多少钱()A6元B19元C25元 D3元【解析】由排序原理可知：花钱最少为：15243219(元)【答案】B2设a1，a2，a3为正数，则与a1a2a3大小关系为()A BC0，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：顺序和乱序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2，即a1a2a3.【答案】B3a1，a2，an都是正数，b1，b2，bn是a1，a2，an的任一排列，则a1ba2banb的最小值是()A1 BnCn2 D无法确定 【解析】设a1a2an0.可知aaa，由排序原理，得a1ba2
20、banb.a1aa2aanan.【答案】B4已知a，b，c为正实数，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零【解析】设abc0，所以a3b3c3，根据排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab.a4b4c4a2bcb2cac2ab.即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.【答案】B二、填空题5设ab0，则a3b3与a2bab2的大小关系是_【解析】ab0，a2b20，因此a3b3a2bab2.(排序不等式)【答案】a3b3a2
21、bab26有4人各拿一只水桶去接水 ，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为_ s.【解析】等候的最短时间为：3443527141(秒)【答案】417若a0，b0且ab1，则的最小值是_【解析】不妨设ab0，则有a2b2，且.由排序不等式a2b2ab1，当且仅当ab时，等号成立的最小值为1.【答案】1三、解答题8已知a，b，c为正实数，求证：abc.【证明】不妨设abc0，则0，abacbc0.由排序不等式，得acbcababc.当且仅当abc时等号成立故abc.9设a，b，c为正数，求证：a10b10c10.【证明】由对
22、称性，不妨设abc0，于是a12b12c12，故由排序不等式：顺序和乱序和，得.又因为a11b11c11，.再次由排序不等式：逆序和乱序和，得.所以由得a10b10c10.1设a，b，c大于0，求证：(1)a3b3ab(ab)；(2).【证明】(1)不妨设abc0，则a2b2c20.a3b3a2ab2ba2bb2a，a3b3ab(ab)(2)由(1)知，同理b3c3bc(bc)，c3a3ac(ca)所以().故原不等式得证2已知0(sin 2sin 2sin 2)【证明】0，且ysin x在(0，)为增函数，ycos x在(0，)为减函数，0sin sin cos cos 0.根据排序不等式得
23、：乱序和逆序和又本题中等号不可能取到，sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)3数学归纳法与贝努利不等式31数学归纳法课标解读1.了解数学归纳法的原理及其使用范围，掌握数学归纳法证明的步骤2.能够利用数学归纳法证明一些简单问题.1数学归纳法数学归纳法原理是：设有一个关于正整数n的命题，若当n取第1个值n0时，该命题成立，又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k1个值时该命题成立，则该命题对一切自然数nn0都成立2数学归纳法证明的步骤(1)验证当n取第一个值n0(如n01或2等)时命题正确(2)假设当nk时(kN，kn0)命题正确，证明当nk
24、1时命题也正确在完成了上述两个步骤之后，就可以判定命题对于从n0开始的所有正整数都正确1数学归纳法中， n取第一个值n0是否一定是1?【提示】n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数2如何理解归纳假设在证明中的作用？【提示】归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明否则，就不是数学归纳法数学归纳法的概念用数学归纳法证明：1aa2an1(a1，nN)，在验证n1成立时， 左边计算的结果是()A1B1aC1aa2 D1aa2a3【思路探究】只需把n1代入，观察式子左边规律即得答案【自主解答】实际是由1(即a0)起，每项
25、指数增加1，到最后一项为an1，因此n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.【答案】C验证n取第一个值n0时命题正确是运用数学归纳法的基础，一定要正确找出nn0时的命题若f(k)1，则f(k1)f(k)_.【解析】f(k1)1，f(k1)f(k).【答案】用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1(nN)【思路探究】要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并【自主解答】当n1时，左边1右边，所以等式成立假设nk时等式成立，即1，则当nk1时， 左边1()()()右
26、边，所以，nk1时等式成立由知，对任意nN，等式成立用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项用数学归纳法证明：(其中nN)【证明】(1)当n1时，等式左边，等式右边，等式成立(2)假设nk(k1，kN)时等式成立，即成立 .则nk1时，即nk1时等式成立由(1)、(2)可知，对任意nN等式均成立.归纳、猜想与数学归纳法证明设f(n)0(nN)，对任意正整数n1和n2总有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4.(1)求f(1)，f(3)的值
27、；(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想【思路探究】先求f(1)，f(2)，f(3)归纳猜想f(n)用数学归纳法证明【自主解答】(1)由于对任意正整数n1和n2，总有f(n1n2)f(n1)f(n2)取n1n21，得f(2)f(1)f(1)，即f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取n11，n22，得f(3)23.(2)由f(1)21，f(2)422，f(3)23，初步归纳猜想f(n)2n.当n1时，f(1)2成立；假设nk时，f(k)2k成立当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，这就是说当nk1时，猜想也成立由得，对一切nN，f(n)2n都成立1切实掌握“观察、归纳
28、、猜想、证明”这一特殊到一般的推理方法；2证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式“凑假设”，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论需要的形式“凑结论”已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想【解】(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an(2)证明当n1时，猜想显然成立当n2时，a252225，猜想成立假设nk时猜想成立，即ak52k2(k2，kN)，当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2
29、552k152(k1)2.故nk1时猜想也成立根据可知，对任意n2，nN，有an52n2.所以数列an的通项an1用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为()A1B13C123 D1234【解析】当n1时左边有2113项，左边所得的代数式为123.【答案】C2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1 B2C3 D0【解析】边数最少的凸n边形是三角形【答案】C3用数学归纳法证明等式“135(2n1)n2”时，从k到k1左边需增加的代数式为()A2k2 B2k1C2k D2k1【解析】等式“135(2
30、n1)n2”中， 当nk时，等式的左边135(2k1)，当nk1时，等式的左边135(2k1)2(k1)1135(2k1)(2k1)，从k到k1左边需增加的代数式为2k1.【答案】D4用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除”时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立【解析】两个奇数之间相差2.nk2.【答案】k2一、选择题1某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN，且k1)时命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立现已知n5时，该命题不成立，那么应有()A当n4时该命题成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n6时该命题不成立【解
31、析】当n4时命题成立，由递推关系知，n5时命题成立，与题中条件矛盾n4时，该命题不成立【答案】C2在数列an中，a1，且Snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A.B.C. D.【解析】a1，由Snn(2n1)an，得a1a22(221)a2，解得a2，a1a2a33(231)a3，解得a3，a1a2a3a44(241)a4，解得a4.猜想an.【答案】C3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3，(nN)能被9整除”，要利用归纳法假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3【解析】假设nk时，原式k3(k1)3
32、(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设 ，只需将(k3)3展开，让其出现k3，且展开式中除k3以外的各项和也能被3整除【答案】A4记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_()A. BC2 D.【解析】nk到nk1时，内角和增加.【答案】B二、填空题5探索表达式A(n1)(n1)！(n2)(n2)！22！11！(n1且nN)的结果时，第一步n_时，A_.【解析】第一步n2时， A(21)(21)！1.【答案】216用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到_【
33、解析】nk时， 命题为“12222k12k1”，nk1时为使用归纳假设，应写成12222k12k2k12k，又考虑到目的，最终应为2k11.【答案】12222k12k2k117用数学归纳法证明“nN，n(n1)(2n1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n1时1236能被6整除，n1时命题成立(2)假设nk时成立，即k(k1)(2k1)能被6整除，那么nk1时，(k1)(k2)(2k3)(k1)(k2)k(k3)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)k、k1、k2和k1、k2、k3分别是三个连续自然数其积能被6整除故nk1时命题成立综合(1)、(2)，对一切nN，n(n1)(2n1)能
34、被6整除这种证明不是数学归纳法，主要原因是_【答案】没用上归纳假设三、解答题8证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN)【证明】(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立(2)假设nk时，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时等式也成立综合(1)(2)可知，等式对任何nN都成立9已知数列an的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.(1)写出a1，a2，a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明【解】(1)由题意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an()n1.下面用数学归纳法证明：当n1时，a11，()n1()01，等式成立假设当nk时，等式成立，即ak()k1，则当nk1时，由Sk1ak12，Skak2得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，ak1ak()k1()(k1)1.即当nk1时，等式成立由可知，对nN，an()n1.10已知点的序列An(xn,0)，nN，其中x10，x2a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，