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1、2.5直线与圆锥曲线课时过关能力提升1.若椭圆的弦被点平分则此弦所在直线的斜率为A.2B.-2C解析:设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,又-得即所以所求直线的斜率为-答案:D2.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为A.C解析:依题设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,又所以此弦的斜率k-所以此弦所在的直线方程为y-1=即y=()代入x2+2y2=4,整理得3x2-6x+1=0,所以x1x2所以|AB|-答案:C3.已知双曲线与直线有交点则双曲线的离心率的取值范围是A.(1B.(1C.
2、D.解析:双曲线过第一、三象限的渐近线的斜率k要使双曲线和直线y=2x有交点,只要满足即可,-e答案:C4.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F直线与双曲线交于两点且中点的横坐标为则此双曲线的方程为ABCD解析:由c得a2+b2=7.焦点为F可设双曲线方程为-并设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=x-1代入并整理得(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,x1+x2=-由已知得解得a2=2,-故双曲线的方程为答案:D5.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是()A-C.-1,1D.-4,4=解析:由已知,得直线
3、l的方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k0时,由64-64k20,解得-1k1.所以-1k1,k0.综上得-1k1.答案:C6.直线l过抛物线y2=ax的焦点,并且垂直于x轴,若直线l被抛物线截得的线段长为4,则a=.解析:抛物线y2=ax的焦点为所以直线l与抛物线的两个交点坐标是和-所以-解得a=4.答案:47.已知椭圆C的右顶点为过椭圆的焦点且垂直长轴的弦长为则椭圆的方程为解析:由题意得故所求的椭圆方程为答案:8.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率
4、为那么解析:直线AF的方程为:y=当x=-2时,y=当y=时,代入y2=8x中,得x=6,P(6,答案:89.在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长.分析:题目中涉及弦的中点,既可以考虑中点坐标公式,又可以考虑平方差公式.解:当直线斜率不存在时,M不可能为弦的中点,所以可以设直线方程为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程,消去y,得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0.显然1+4k20,=16(12k2+4k+3)0,由x1+x2-解得k=故所求弦所在的直线方程为x+2y-4=0.由-消去x,得y2-2y=0,y1=0,y2=2.弦长10.求k的取值范围,使直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1至多有一个公共点.分析:将y=kx+1代入双曲线方程得关于x的方程,讨论该方程解的个数即可.解:联立直线与双曲线方程消去y得(1-k2)x2-2kx-2=0.-当1-k2=0,即k=1时,解得x=1;当1-k20,即k1时,=4k2+8(1-k2)=8-4k2.由=0得k=由0得k或k所以当k=或k=1时,直线与双曲线有1个公共点;当k(-,时,直线与双曲线无公共点.故当k=1或k=或k(-,时,直线与双曲线至多有一个公共点.