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1、精品资源第九讲三角形的边与角三角形是最基本的图形之一，是研究其他复杂图形的基础，三角形的三边相互制约，三个内角之和为定值，边与角之间有密切的联系（如大角对大边、大边对大角等 ），反映三角形的边与角关联的基本知识有：三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段。角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.解与三角形的边与角有关的问题时，往往要用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法（方程、不等式）解几何计算题及简单的证明题，按边或角对三角形进行分类.熟悉以下基本图形、并证明基本结论： /l + /2=/3+/4;（2） 若 BD、CO 分别为/ ABC、/ACB 的平分线，则/ B
2、OC=90 +- / A；2（3） 若 BO、CO 分别为/ DBC、/ ECB 的平分线，则/ BOC=90 - /A；21 ，一（4） 若BE、CE分别为/ ABC、/ ACD的平分线，则/ E=- / A.注：中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，它们的差别在于高随着三角形形状的不同，可能在三角内部、边上或外部.代数法解几何计算问题的基本思路是通过设元，运用几何知识建立方程（组卜不等式（组）,将问题转化为解方程（组）或解不等式（组）.例题求解【例1】 在4ABC中，三个内角的度数均为整数，且/ A/B/C, 4/C = 7/A,则 / B的度数为 .（北京市竞赛题）思路点拨 设/ C=
3、x ,根据题设条件及三角形内角和定理把/A、/ B用x的代数式表示，建立关于 x的不等式组.【例2】以1995的质因数为边长的三角形共有 （）A. 4 个 B. 7 个 C. 13 个 D. 60 个（河南省竞赛题）思路点拨 1995=3 X 5X 7X 19,为做到计数的准确，可将三角形按边分类，注意三角 形三边应满足的关系制约.【例3】（1）如图，BE是/ABD的平分线.CF是/ ACD的平分线，BE与CF交于G,若/ BDC=140 , / BGC=110 ,求/ A 的大小.（“希望杯”邀请赛试题）（2）在4ABC中，/ A=50 ,高 BE、CF交于 O,且O不与B、C重合，求/ B
4、OC的 度数. （东方航空杯”一一上海市竞赛题）思路点拨 （1）运用凹边形的性质计算.（2）由O不与B、C重合知，/ B、/C均非直角， 这样， ABC既可能是锐角三角形又可能是钝角三角形，故应分两种情况讨论.A精品资源【例4】 周长为30,各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？（2003年河南省竞赛题）思路点拨 不妨设三角形三边为 a、b、c,且a2）小段，每段的长为不小于l cm的整数.如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段.（第17届江苏省竞赛题）思路点拨 （1）设三角形各边需用火柴杆数目分别为x、v、3x,综合运用题设条件及三
5、角形边的关系等知识，建立含等式、不等式的混合组，这是解本例的突破口.（2）因n段之和为定值150 cm,故欲n尽可能的大，必须每段的长度尽可能小，这样依 题意可构造一个数列.学力训练1 .若三角形的三个外角的比是2: 3: 4,则这个三角形的最大内角的度数是 .（2003年河南省竞赛题）2 . 一条线段的长为 a,若要使3al, 4a+1, 12a这三条线段组成一个三角形，则 a的取 值范围是.3 .如图，在4ABC中，两条角平分线 CD、BE相交于点F, /A = 60 ,则/ DFE =度.4 .如图，DC 平分/ ADB , EC 平分/ AEB ,若/ DAE = a , / DBE
6、= 3 ,则/ DCE =（用a、3表示）.（山东省竞赛题）5 .若a、b、c为三角形的三边，则下列关系式中正确的是（）A21_ 222,22A. a -b -c -2bc 0B. a -b -c -2bc =0c222222C. a -b c 2 bc 5B, 3C/A,且（/C）2 = （/A）2+（/B）2,则 4ABC 的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定（“希望杯”邀请赛试题）16 .不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值 k的取值范围是（）A. 3k1B, 1k1C, 1k2 D, - k 143
7、217 .已知三角形的三边的长 a、b、c都是整数，且a b4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a,b, c）为三边的长，且满足 a4）时，对应（a, b, c）的个数一定是n-3,事实上，这是一个不正确的猜想，请写出 n=12时的所有（a, b, c）, 并回答（a, b, c）的个数;（3）试将n=12时所有满足题意的（a, b, c）,按照至少两种不同的标准进行分类.（河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题）22 .阅读以下材料并填空.平面上有n个点（n2）,且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作 出多少条不同的直线？（1）分析：当仅有两个点时，可连成 1条直线
8、；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个 点时，可连成6条直线；有5个点时，可连成l0条直线（2）归纳：考察点的个数 n和可连成直线的条数 S发现：（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3.条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成1。条直线；（2） 归纳：考察点的个数 n和可连成直线的条数 Sn,发现:点的个数可连成直线条数2 c 2父11=8=233M23=S3=-240 4 4M36=3=25c 5M410=S5=2nn(n -1) 2(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线.取第一个点以有n种取法，取第二个点 B有(n1)种取法，所以一共可
9、连成n(n 1)条直线，但A B与BA是同一条直线，故应除以2, 即 sn=nni.2(4)结论：Sn=n(n -1). 2试探究以下问题：平面上有n(n3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？(1)分析：当仅有3个点时，可作 个三角形；当有 4个点时，可作 个三角 形；当有5个点时，可作 个三角形.(2)归纳：考察点的个数 n和可作出的三角形的个数 Sn,发现：(填下表)点的个数可连成三角形个数345n推理：(4)结论：(甘肃省中考题)11三角形的边与角（例题求解】例I设剜4.得力ZB=18。一乙4一由一学r用枭1加一芋工4蹲得TOGHM又 是整数
10、，得，7 了.故/足=3:/8=59;例士 选C 15=3X5X7X19 等边三传璃柒4种，底和腾不等的等修三角形为（3.3.5）,痔/.3）/5.九7）？,九3）,仃， 了忑）5119逐）/19,19,53门。9,7）共&钟，不等边三曲根为力5,门,井1种.瞌计有13种，例5 由，月的=.+/阳”，/丹（幻当eAE匚为赣南三箱形时,上灰纪=130,当4BC为钝用三曲盘时上加心=5瞑& + 6=30t根*不妨设。fr 口用由T ， ，W lKf工当，=1时$=（,逆=比当 *=12 时.6=11,a=7母= 1。*口*8.当 r=13 时5=12,&=丸$=11,。= &49*qH& 当时 $
11、= 13.。= 3/=12 + u=4|4-* 11 闻=54=1。.a =看4=9,口=空|j+ 3x=100例5 U）依题意.有内阵切匕+尸）3H由,得写/买M由得工浮因_r毋正整数，故1=15或16.所%满足条杵的三册形有两蛔.需用火柴杆触 目分别为15由,45或16.3E.4E.（幻苴些小段的长度只可能分别是1.1.Z.34.8.13.21,34.55,酹E自l + 1+J-th34+55= 14315。“故m的量大值为1K共有以下7种方式H J,M3r5MJ3,21*M4,/）式1,1即35博1“却35】hf，1,3.5停，13,G*力明时）|门，1.上3,5津/3,仪都,59） U
12、1,L 2 M,5,8im,Z225.6Gl ,1,九 3.5.8.13.耀.36.59八门门，33.54,14,四,36,5区），【学力训嫌】L 100三个外痢和为3时2.等。5X 1a4.审5. C6 C SU等,/C鼎等/照看/A./S+4C/月/8。,一/丹.又口+0乱创十&+O3J昉制 部1236,第4W6乱14. 55”IS. A /日-g”.201孔.设/? = 60=十.喇/月=60.一舌,/=/（?产一（/人）工=1/。+/1） * , 髓。=12QX tx.r= 15ZC75ZA45*1航B设三箱形三通分别力又不防设6八及廿+心心.由 也=/江Anh/l hr.料第面T1+
13、G d +* 一 1+41： 一口心心一5%从而口 15口口立且口 4+5n口也耳解得启8az317. C 7Vf7+0,而也至且。为整数.故二可取常,3，5,6，再分别1寸的18. BI丸丁丽.0月分瑞平分/#8,上内因.Jt ZCDQ=?ZlTZQ4iA-2Z2/2Z1 + ZC=2Z2+ZA 一6门 o由时蹊三希影性质,得L1 + /-4 + /M .解带=.20 .设长度为4和】的高分弱是边必法上的.边上的高为人河，的面积Q,创口竽官由竽一带答U1 uJrl,1 X i ri竽 + 转.得 3A1号川=5时.糖理长度方1棋清足题意的1比,占.）有两 期江力1+4）N3,3,4h当力=6
14、时.船理优度为12+满足题竟的a$.r）曾三蛆0,5*5）/九4.力J4 J.43& + Kc（?当m=】E时，矩转长度为羽，则+4+/=24,且 -.由此孤ariBoaoaiiCiD 小浦.仙）,E（6.7 J1）尸（4,。+。”卬5 + 9“0hHCE J0QH7*? JahJ依,9.9） FW（7*8 + 9hL。工.81（3;不同的分类标唯.决定不同的分类.理举例如下t 捡最大边r的值分委*有网盘 根据是否等边、等腰三弁喀分类* 共有三类】根据舱大角与宜角的美系分类共有三类，2T0产37”幻=1*4-？3逸二4电芈:g = i机口噜，(3)平面上有”十点,过不在同一直线上的 三点可母辅定一个三南形，取第个龄点月有M种欺法,取第二个值点B有行一神取注.取帚三十尊点有M神 取法厮以一共可作孤丁1(川一冲三曲胖，世&4初 与&4C氏凸出心次工.C4乩C1M都是同一个三痢明 我应除以$.即5,=皿二号一一门 H牖论区=誓