《三角变换常用的技巧与方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角变换常用的技巧与方法.docx（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、三角变换常用的技巧与方法赵春祥三角变换是运算、化简、求值、证明过程中运用比较多的解题技巧，运用三角变换中的 常用技巧是高考中所必需的.要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法 和技能.下面介绍三角变换中常用的方法与技巧.一、角的变换三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、半等关系，化多 角为单角或减少未知角的数目，沟通条件与结论角的差异，使问题顺利获解.例 1 已知 0 V 一 , 一 , coos() =- , sin(F)=，求 sin(4 4445413十 )的值.分析：如果将sin( 十)按和角公式展开，通过求出、角的正余弦来求sin(的值，计算十分
2、复杂. 若注意到(？一十 ) ( )= + ( +)便可求出+4424的正余弦值来求sin( + ),则较为简捷.解： vv ) v v 0) sin()= 一 .442445又Ov ,3 3 + V , .cos(3 +)= 12.444413 .sin(+)= - cos( +)= -cos( +)-(- 一 )244)sini )=cos(+) cos( ) sin( +444= -(-)x-135456nx(-5) = 65-评析：本题采用的“凑角法”是解三角题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系， 并根据这种关系来选择公式.凑角变换表面上看将角化简为繁,难
3、于理解，实质上恰恰体现了由未知角向已知角转化，用已知角表示未知角的一贯思路.此外，还常用到下列变换：=(+2) (+);= (_)+;2= (+)+ ( 一 ); 一 = (-)+(-),15 = 45 35 +=-(-)等.二、函数名称变换三角变换中，常常需要变函数名称为同名函数.在三角函数中，正、余弦是基础，通常 化切割为弦，变异名为同名，减少了函数种数，易于变形.2一 八 2sin sin 2例2 已知=k (一 cos2.sin- cos = (sin cos ) = V1 2 sin cos = V1k .评析：切割化弦是三角变换的一种常用方法，若能把所给式子中的三角函数都化成同名、
4、 同角的三角函数，则此三角函数式的化简，实质上是代数式的变形.三、常数的变换在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，这样，就增加了多种可用的工具.1 tan1 sin 2例3 已知=5+2 % 6 ,求的值.1 tancos 2分析：要求1 sin2 的值,条件1 断 =5+ 2闻6是非常重要的，需要从这一条件 cos21 tan出发，将a的某一三角函数值求出，即可获解.11 tan tan 45 tan 斛：=tan( 45 +)=5 + 26 .1 tan 1 tan 45 tancos2 sin(90 2 )“=- = tan( 45
5、 +),1 sin 21 cos(90 2 )1 sin 2cos2 tan(45 ) 5 2.6评析：这里对1的代换很灵活，分子部分的 1用tan45 ,而分母部分的1并没有代换,为使用公式的方便，将系数 1用tan 45代换，可巧妙地化简.四、公式变换三角公式作为恒等式，在运用时，不能仅局限于它的正用，逆用公式不仅能进一步熟悉掌握公式，而且更便于解题.例 4 求 tan 25 + tan 35 + 3 tan 25 xtan 35 的值.tan tan解：. tan( +)=,由此公式的变形有： tan + tan = tan( +1 tan tan)1 tan tan ,整理得 tan
6、+ tan +tan( + ) tan tan= tan( + ).令 =25 ,=35 ,即得：tan25 + tan35 + 3 tan 25 xtan35 = J3 .评析：由此例还可以编拟出一系列有趣的恒等式， 比如：令 =80 ,=40 ；=20 ,=40; =23 ,=37 等.五、参数变换根据三角函数式的结构，引入参变量替换，使参变量在解题过程中起到桥梁作用，通过参数代换，使繁难的式子变得简单、复杂的式子变得简明，使隐含的规律显露出来.例 5 求 cos 36 cos72 的值.解：设 x = cos 36 , y = cos 72 ,由 cos72 = 2 cos2 36 1
7、得 y = 2x 2 1,又 cos36 = 1 - 2sin 2 18 = 1 2cos2 72，则 x = 1 2y2 .x + y = 2(x 2 -y 2) = 2( x + y )( x -y ),x + y w0 , x y =-，即 cos36 cos72 = . 22评析：在三角函数求值问题中，通过引入参变量调节命题结构，把问题转化为对参变量的讨论.这种替换可以转化原问题的结构，简化解题过程.替换如果用的巧妙，还可以收到 事半功倍的效果.六、平方升次变换通过平方升次运算，可以避开直接解题时的麻烦，使解题思路更明显，解法更巧妙.例6已知sincos =1 ,求 cos2sin的取
8、值范围.解：由sin cos =两边平方得，sin222 cos-2又cossin2= (1sin2)(1cos2) =1 一 (sin+ cos2) +sin2 cos2(sin+ cos),.2. sin12. 24cos2. sin,2+ cos12F cos4cos2=(cos ) 2 +2 cos5 cos2sin2=(cos4 2cos1,)2+1=-(cos )2 .42 cos4 - cossin 2(cos -+ cos + cos- + cos-)48888+ 1 (cos 2 + cos2 3-+cos2+ cos2 7-)cosS)48888=1 ( cos + cos cos 2888)+ (1 + cos-)+ (1 + cos )+ (1 + cos) + (1 + cos84444=1 + + ( cos-+ cos-cos-cos) =.2844442评析：本例两次使用降次公式，使问题得以迅速解决，简捷而明快.