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1、云师堂Go the distance学案54直线与圆锥曲线的位置关系导学目标：1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.课前准雷区_教材 w型自主梳理1.直线与椭圆的位置关系的判定方法(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若50,则直线与椭圆 ；若A= 0,则直线与椭圆 ;若A0时，直线与双曲线 ;当A= 0时，直线与双曲线 当Ab0)的一条弦，M(x, y)是 AB 的中点，则 kAB=kAB kOM =.点差法求弦的斜率的步骤是:将端点坐标代入方程：2两等式对应相减：W a22xiy1尹b722xu?a b分解因式整理：kAB=M2十0.b2fx
2、+ x2)bjx。a2 y1y2a y。，中点 M(x, y),则 kABM(x0, yO),则 kAB=(2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线上一* 1的弦,.已知抛物线 y2=2px (p0)的弦 AB的中点3 .弦长公式直线 l: y=kx+ b 与圆锥曲线 C： F(x, y)=0 交于 A(x1，y1)，B(x2, y2)两点，则 |AB|=4?T x1 x2|=1 + k2.(x+ x2 j 4xx+ k2 J(y1+ y2 j_ 4yly2.或 |AB|=+ |y1-y2|=【自我检测】1 .抛物线y2 = 4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为J3的直线与抛物线在 x
3、轴上 方的部分相交于点 A, AKH,垂足为K,则 AKF的面积是()A. 4B. 3V3C. 4J3D. 82 .(2011中山调研)与抛物线x2=4y关于直线x+ y=0对称的抛物线的焦点坐标是()A. (1,0)B.，0)C. (-1,0)D.0, Y)3. (2011许昌*II拟)已知曲线 X1和直线ax+by+ 1 = 0 (a、b为非零实数)，在同 一坐标系中，它们的图形可能是()4. (2011杭州*II拟)过点0, -2 :的直线l与抛物线y= x2交于A、B两点，。为坐标原点，则OAoB的值为()1 1一，A.2B4C.4D.无法确定课堂活动区|突破考点研析祗点探究点一直线与
4、圆锥曲线的位置关系【例1】k为何值时，直线y = kx+ 2和曲线2x2 + 3y2 = 6有两个公共点？有一个公共点？ 没有公共点？变式迁移1已知抛物线C的方程为C没有公共点，则实数 t的取值范围是(A . ( 8, 1) U (1 , +8 )x2=2y,过A(0, 1), B(t,3)两点的直线与抛物线 )B.C.(-巴2也 U(2 也 +8 )2【例2】如图所示，直线 y=kx+ b与椭圆全+=1交于A、B两点,，SD. (-8,啦)U (V2, + 8 ) 探究点二圆锥曲线中的弦长问题记a AOB的面积为S.(1)求在 k=0,0bb0),双曲线3七=1的两条渐近线为a ba b1i
5、, l2,(2)由已知,解方程组得b(x c)与 y=x 联立, ab .6 分设四%及 |AP-则 FA= AP, F(c,0),设a2abA(Xo, y),则(x。一c, y0)=晨x0，丁丫0卜 - x0= 1+入ab入刀,y0_、.即 A1 +入ac+入=c11+入,ab入c1+入8分过椭圆C的右焦点F作直线l,使l，l1，又l与白交于P点，设l与椭圆C的两个交点 由上至下依次为A, B.(1)当1i与l2夹角为6。,双曲线的焦距为 4时，求椭圆C的方程及离心率；(2)求耦的最大值【答题模板】解(1)双曲线的渐近线为y= x,两渐近线夹角为 60,又b1,POx=30, aa 1 =
6、tan 30 = 3a= b.又 a2+ b2= 22, 3b2+b2=4, 2 分 .b2=1, a2 = 3, .,椭圆 C 的方程为 与 + y2= 1, 34分离心率e=将A点坐标代入椭圆方程，得(c2+入2)2+ fa4= (1 +42a2c2,等式两边同除以 a4, (e2+ ?)2+ f=e2(1+ 2, eC (0,1), 10 分e4 e2 e2 2(2-e2 =2+3=3-2/=他-1)2,2 e当2e2=42,即e2=2 6时，入有最大值加一1,即解的最大值为6一1.12分1Api【突破思维障碍】是在准确把握题意的最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容,
7、基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决; 是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决.【易错点剖析】不能把 霜转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由AP |e22b0）的两个焦点，P是椭圆上任一点,从任一焦点引/ F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为A.圆B.椭圆C.双曲线Q,则点Q的轨迹为（）D.抛物线2.若双曲线a94= 2px （p0）通过点A,则1的渐近线上的点 A与双曲线的右焦点 F的距离最小，抛物线 y2A.2B. 2p的值为（）2213C. 13dV件的挖掘，比如判别式 A 0,圆锥曲线中有关量的固有范围等.3 . （2011武汉月考）已
8、知直线11： 4x3y+6=0和直线 上x= - 1 ,抛物线y2=4x上一动点P到直线1i和直线l2的距离之和的最小值是（）A. 2B. 311CE4.已知直线y=k（x+ 2） （k0）与抛物线37D.16C： y2= 8x相交于A、B两点，F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k 等于(1 A 3一B. 32C- 3 22,2D. 35.斜率为1的直线l与椭圆y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（）A. 24 10CkB.D.4,558 .105点，则t的范围是一 27. P为双曲线x二、填空题（每小题4分，共12分）226. （2011届合肥期末）若直线y=kx+ 1 （
9、kC R）与焦点在x轴上的椭圆；+彳=1恒有公共-2上=1右支上一点，M、N分别是圆（x+4）2 + y2=4和（x 4）2+y2= 115上的点，则|PM|PN|的最大值为 Go the distance8. (2010全国n )已知抛物线 C： yN分别是双曲线E的左，右顶点，直线 PM, PN的斜率之积为g(1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 A, B两点，O为坐标原点，C为 双曲线上一点，满足(Oo= ?OA+ OB,求入的值.=2px(p0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为.3的直线 与l相交于点A,与C的一个交点为 B,若AM =M-B ,
10、则p=.三、解答题(共38分)e=3,连接椭圆的四个顶9. (12分)已知抛物线y= x2+3上存在关于直线 x+y=0对称的相异两点 A、B,求|AB| 的长.10. (12分)(2010天津)已知椭圆x2 + y2=1(ab0)的离心率 a b点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A, B,已知点A的坐标为(一a,0),点Q(0, y0)在线段AB的垂直平分线上，且 QA QB=4,求V0的值.11. (14 分)(2011 江西)P(xo, y0)(xw 虫)是双曲线 E： x2-y2= 1(a0, b0)上一点，M, a b云师堂Go the
11、distance学案54直线与圆锥曲线的位置关系自主梳理1. (1)相交相切相离(2)相交相切相离一个(3)平行自我检测1. C 2.C课堂活动区一个3.Cb2X02.(1)-2- a vo4.Bb22 a(2)b2X0pa yoyo【例11解题导引 与圆锥曲线的位置关系,用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线 也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法.方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，是否为零进行分类讨论， 只有二次项系数不为零时， 方程才是若含参数，需按二次项系数二次方程,后面才可以用判别式A的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥
12、曲线的位置关系.y=kx+2, 2x2+ 3y2= 6得 2x2+3(kx+2)2 = 6,A= 72k2480,即或k ,直线和曲线有两个公共点;,直线和曲线有一个公共点;即(2+3k2)x2+ 12kx+6=0, A= 144k224(2 +3k2)= 72k248.A= 72k248=0,即 k=当或,直线和曲线没有公共点.A= 72k2-480,即一乎k4变式迁移1 D 直线AB的万程为y=4x1(t=0时不合题意，舍去)，与抛物线方程2 12 214x2=2y联立得x22x+2=0,由于直线AB与抛物线C没有公共点，所以 A= t2-20,解得3啦或 tb0）,a b则 c=依，=.
13、，a=2, b= 1.a 22.所求椭圆方程为y+y2=1.4消去y得关于x的方程:y=x+m,(2)由 fx2, 2 彳 4+y =1，8 gm,5x2+ 8mx+ 4(m2 1) = 0, 贝U A= 64m280(m21)0 ,解得 m2/(x1 - x2 2 + (y1 一 y2 2 = 12(x1 - x2 2解得 m2= 15,满足（*）, m= 3. 84【例31解题导引直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式A研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究.y= kx+ 13=1(T
14、)刈，得(k21)x2 + 2kx+2= 0.设 A(x，y1), B(x2, A= 4k2 + 81 k2 0 2kx1 + x2=20贝 (1 -k, . . 1k0k1 - k2121-kx1 x2x0 = -2二设M(x, y),由y1 + y2*=2 =设l与y轴的交点为Q(0, b),则由P( 2,0),M*F，六2), Q(0, b)三点共线得 b= _2k22k+2，设f(k) = 2k2+k+ 2,则f(k)在(1,企)上单调递减，.f(k)(-2+V2, 1),be (8, - 2-V2)U (2 5 +) 变式迁移3解(1)由已知条件，直线l的方程为y=kx+V2,Go
15、the distance云师堂 2代入椭圆方程得x2+(kx+q2)2=i,整理得 G+k22+2y2kx+1=0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于A= 8k2-42 + k2 h 4k2 20,解得 k 乎.即k的取值范围为一,孚小潘,+ 8 ；、一 ，7 ，(2)设 p(xi, yi), Q(X2, y% 则 OP+OQ=(xi + x2, yi + y2),4 2k由万程，xi+x22.I十2 k又 yi + y2= k(x + x2)+ 2T2.而 A(W，0), B(0,i), Ab=(-72, i).所以OP+OQ与AB共线等价于xi + x2= /(yi + y2),将代
16、入上式，解得 k=兴由(i)知k乎，故没有符合题意的常数k.课后练习区1.A 2.C 3.A 4.D 5.C6. 1,5） 7.58.2y= x2+ 3 ly = x+ b,9.解设直线AB的方程为y=x+ b,消去 y 得 x2 + x+b3=0, （3 分）. . x1 + x2 = 1.1 1于是AB的中点M（-2, - b）,13且 A= 1-4（b- 3）0,即 b了.（6 分）一 11又 M（2, g+b）在直线 x+ y=0 上，b=1 符合.（8 分） .x2+x-2 = 0.由弦长公式可得|AB|= 3 + 12 .-1 2-4X（-2 尸 3m.（12 分）10.解 （1）
17、由 e= c=坐，得 3a2 = 4c2.a 2再由 c2=a2b2,得 a= 2b.1一由题意可知2X2aX 2b=4,即ab = 2.解方程组a=2b,ab = 2,a= 2, 得.b= 1.所以椭圆的方程为2:+y2=1.（4 分）(2)由(1)可知A(-2,0),且直线l的斜率必存在.设B点的坐标为(xi, yi),直线l的斜率 为k,则直线l的方程为y= k(x + 2).于是A, B两点的坐标满足方程组y= k(x+ 2 1Ix4+y2=1.s. r由方程组消去y并整理，得(1 + 4k2)x2 + 16k2x+ (16 k2 4) = 0.1 Rk 4由根与系数的关系，得一2x1
18、 = 16k-T-,1 + 4k28k2所以x1=2r2，从而丫1=7生.1 + 4k1 + 4k设线段AB的中点为M,则M的坐标为（一禹,.(6 分)由题意有voy。1x。 a xo+ a 5(3分)*=1上,有ST a ba b=1.以下分两种情况讨论:当k=0时，点B的坐标是（2,0）,线段AB的垂直平分线为y轴,yo）,（QB=（2, - yo）.由QAQB=4,得y0=受42.（8分）当kw0时，线段AB的垂直平分线的方程为y-九+三）.1 1+4k k，1 + 4k，令 x=0,解得 yo= - -6k-2.1 + 4k由 QA=( 2, yo), QB=(2 5y2= 5b2(2
19、)联立ily=x-c,1, y1 yo),QA QB = - 2x1 一 yo(y1 yo) 2_ _ 2(2qk) 6k 4k 6k1 + 4k2 + 1+4k2(1+4k2+ 1 + 4k2)42= 416k+15k - 1 =4 (1 + 4k2 2整理得7k2=2,故k=Xp.所以y0= 且乎.（11分）综上，yo=i242或 y0=W（12 分）11.解 由点P（xo, yo）（xw划在双曲线可得 a2=5b2, c2 = a2+ b2= 6b2, e= c= p.(6 分)a 5得 4x210cx+35b2= 0.xi + X2 =设 A(xi, yi), B(X2, y2),则5
20、c2，235bx1x2= /4设OC=仅3）丫3）, OC= QA+OB）云师堂X3=入 1+X2,叫3=（9分）又C为双曲线上一点,即 x2-5y2=5b2,有（入叶x2）2 5（入l+ y2）2= 5b2化简得犬（x2 5y2）+（x2 5 y2）+ 2 Xxix2 5yiy2）= 5b2 又A（x1，y1）, Bg y2）在双曲线上, 所以 x2 5y2 = 5b2, x25y2= 5b2.（11 分） 由式又有 xix2 5yiy2= xix2 5（xi c）（x2 c） =-4x1x2+ 5c（xi + x2）- 5c2= 10b2,式可化为猿+ 4上0,解得入=。或入=4.（14 分）