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1、略谈解几中退化曲线的应用湖南省浏阳市第九中学章高武 （430125）解析几何中求解二次曲线问题时，有时借助退化的二次曲线，可以优化解题过程，简化运算，使一些曲线方程的求解问题巧妙解 决。一.退化曲线的类型：22221 .方程 x D y ED_E-4F,当 D2 E2 4F 0 时，2 24表示圆的极限情形“点圆”.2 2 2.方程 Jm- JnL k,（k 0）,当k=0时，表示椭圆的极限 ab情形“点椭圆”.2 23 .方程 Jm- Jn）- k,当k=0时，表示双曲线的极限情 ab形：两相交直线（渐近线）.4 .方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0（A,B,C不同时为0）能表
2、示为（ax by m）（ax by n） 0,（a,b不同时为0且m n）,即为抛物线的极限情形：两平行直线.二.退化曲线的应用1.应用退化圆求解例1 .（教材P.81.NO.1）求半径为5,圆心在y轴上，且与直线 y=6相切的圆方程.解：由题设可知切点坐标为A(a,6),点A的退化圆为：(x a)2 (y 6)2 0设过退化圆与直线 y=6的圆方程为：(x a)2 (y 6)2 (y 6) 0.即 x2 y2 2ax (12)y a2 36 60.因圆心在y轴上.a 0 .则x2 y2 (12)y36 60.1“2ccc又半径为5,则2124 3665.解得 10.将10代入得所求圆的方程为
3、：x2 y2 2y 24 0,或x2 y2 22y 96 0例2.求过点A (1, 5)、B (5, 5)、C (6, -2)的圆的方程。(教材 P.82.NO.5(2)解：由于A点的退化圆为：(x 1)2 (y 5)2 0.过A点的直线方程l:y 5 k(x 1).过直线与退化圆的圆系方程为:(x 1)2 (y 5)2 (kx y k 5) 0.将B、C点的坐标代入得:6 k 014 k 033 解得 8.k -8.k e.代入化简得44所求圆的方程为：x2 y2 4x 2y 20 0.例3.(教材p.86例3)求经过A (2, 1),与直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x的圆的方程.
4、本题的常规解法如教材上，求圆心坐标和半径.但用圆的极限情况一点圆”，则可简化运算.解：设点A表示的退化圆：(x 2)2 (y 1)2 0.设所求的圆方程为：(x 2)2 (y 1)2(x y 1) 0.则圆心为：C(42-, 22).代入x+y=l得 2. 22故所求圆的方程为：x y 2x 4y 3 0.例4.求过点P (2, 3)且与圆C: x2 y2 6x 2y 15 0相切 于点M (1, 4)的的方程.解：设点M的退化圆为：(x 1)2 (y 4)2 0.则退化圆M与圆C的交点的圆系方程：(x2 y2 6x 2y 15)(x 1)2 (y 4)2 0.将点P (2, 3)代入，得2
5、.将2代入.整理化简得所求圆方程为：(x 5)2 (y 7)2 25.例5.求与直线3x+4y25=0相切于点A (3, 4),且半径为5 的圆方程.解：设点A的退化圆为(x 3)2 (y 4)2 0,则过直线与退化圆 的交点的圆系方程：(x 3)2 (y 4)2 3x 4y 250.即 x2 y2 (36)x (48)y 25 250.1_22由半径为 5,则 7 (36)2484 25 2525.解得 2 .代入.得所求圆的方程为： x2 y2 25,或(x 6)2 (y 8)2 25.例6.求与抛物线y 4x2相切于点M (1, 4)且过点P (3, 0)的圆的方程.解：因点M (1,
6、4)在抛物线上，则过 M点抛物线的切线方程为:1 ,1 x -(y 4).即 8x y 4=0. 8设过点M的退化圆为：(x 1)2 (y 4)2 0.所求圆的方程为：(x 1)2 (y 4)2(8x y 4) 0.由圆过点P代入可得1.将1代入化简得：x2 y2 10x 7y 21 0,即为所求圆的方程.2.应用退化椭圆求解 2 5例7.求过点(1,0且与直线L: 2x-y+3=0切于点M(-,-), 3 3离心率e,长轴平行于y轴的椭圆方程.解：将点 M ( -,5)看作离心率e 的椭圆系 3 3, 5(x 2)2 1(y 5)2 k,当k 0时的极限情形“点椭圆”.则与 353直线L:
7、2x-y+3=0切于M点的椭圆系，亦即过直线 L与点椭圆2 15的椭圆系方程：(x 2)2 -(y 5)2(2x y 3) 0.3 53由点(1, 0)在所求椭圆上，代入得|.32故所求椭圆方程为：x2卷1.5例8. 一椭圆长轴平行于坐标轴，与直线 2x+y=11相切于点A(4, 3)且过M(1,而1)、N (0, 1),求椭圆方程.解：点A的退化椭圆为：(x 4)2 k(y 3)2 0(k 0,k 1).设所求椭圆方程为：(x 4)2 k(y 3)2(2x y 11) 0.由于椭圆过点M、N,将M、N点的坐标代入 解得 k 2,2,代入得：2(x 2)2 (y 1)2 12.即:412 1为
8、所求的椭圆方程。3 .应用退化抛物线求解 22例9.已知直线 Li： 2x+y-6=0,L2：2x+y+2=0与椭圆人工1相 164交，求过这些交点和点P (2, 3)的曲线方程.解：因为L1/L2,将它们看作退化抛物线，具方程为(2x y 6)(2 x y 2) 0 .设所求曲线方程为：x2 4y2 16(2x y 6)(2 x y 2) 0 .因为曲线过点p,代入方程8.将3代入化简整理得所求曲线方程为：87x2 96xy 12y2 192x 96y 144 0.例10.求证：两直线L1： x=2,L2：x=5与抛物线x 2y2交点在同一 圆周上，并求这个圆的方程.证明：因为L1/L2,将
9、它们看作退化抛物线，具方程为 (x 2)(x 5) 0.由x 2y2中x 0,可知直线L1、L2与抛物线必相 交，设过两直线与抛物线交点的曲线系方程为 2y2x (x 2)(x 5) 0.即2y2 x2 x 7 x 100.当2时，方程化为：2x22y215x 20 0 .即(x-)2y2里.416此方程显然为一个圆方程.这说明直线L1、L2与抛物线的交点在15c c 65同一个圆上，此圆的方程为(x 7)2 y2 664 .应用退化双曲线求解例11.求证：直线 Li： x 2y 2 0,L2：2x y 4 0与直线L3：x y 3 0, L4： x y 1 0的交点在同一圆周上，并求这个圆的
10、方程.解：由于直线Li、L2相交，可将它们看作退化双曲线，具方程为(x 2y 2)2x y 4 0,而直线L3/L4它们看作退化抛物线， 其方程为：x y 3 x y 1 0.由直线的方程可知直线Li或L2与L3或L4都有交点。设过两退化曲线交点的曲线系方程为：(x 2y 2) 2x y 4 x y 3 x y 10得 2x2 2y2 2 5 xy (2 8)x 2 10 y 8 30.当 5时，方程化为：9x2 9y2 6x 30y 1 0 . 21 25 2 25即(x -) (y 5)25 .此方程表示一个圆，即为所求圆方程.339参考文献：选沈文选编者中学数学建模一方法导引与解题技巧2.罗增儒主编高中数学竞赛解题指导本文发表在曲阜师大中学数学杂志05年第2期