2016年秋八年级数学解答题.docx

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1、2016年秋八年级数学解答题1 .如图，已知/ ABC=90 , D是直线 AB上的点，AD=BC .(1)如图1,过点A作AFAB,并截取AF=BD ,连接DC、DF、CF,判断 CDF的形状并 证明；(2)如图2, E是直线BC上一点，且 CE=BD,直线AE、CD相交于点P, / APD的度数是 一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.3.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图 方式摆放，其中/ ACB= / DEB=90 , / A=/ D=30。，点E落在AB上，DE所在直线交 AC所在直线于点 F.(1)求证：AF+EF=DE;(2)若将图中的 DBE绕点B按顺

2、时针方向旋转角%且0 a 60,其它条件不变，请在图 中画出变换后的图形，并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立；(3)若将图中的 DBE绕点B按顺时针方向旋转角 3,且60 3 180,其它条件不变， 如图.你认为(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由.2 .已知：在 ABC中，AC=BC , / ACB=90。，点D是AB的中点，点 E是AB边上一点.(1)直线BF垂直于直线 CE于点F,交CD于点G (如图1),求证：AE=CG ;(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点 M (如图2),找出图中

3、与 BE相等的线段，并证明.44 .如图， ABC中AB=AC , BC=6 ,，点P从点B出发沿射线 BA移动，同时，(1)如图，当点P为AB的中点时，求CD(2)如图，过点P作直线BC的垂线垂足为 CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.的长；E,当点P、Q在移动的过程中， 线段BE、DE、点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点 P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相 交于点D.5 .等边 ABC,点D是直线BC上一点，以 AD为边在AD的右侧作等边 ADE ,连接CE .(1)如图1,若点 D在线段 BC上，求证：CE+CD=AB ;(2)如图2,若点D在CB的延长线上，线段

4、 CE, CD, AB的数量有怎样的数量关系？请加 以证明.7 .如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以 AC、BC为边在线段AB的同 旁作等边 ACD和等边 BCE ,连接AE交DC于M ,连接BD交CE于N ,连接MN .(1)求证：AE=BD ;(2)求证：MN / AB .CE=DA ,连接 DE 交 AC6 .如图，D是等边 ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点,于F,过D点作DG XAC于G点.证明下列结论:(1) AG=D;2(2) DF=EF;(3) SaDGF=SaADG+SaECF.8.如图，在 ABC中，AB=AC , D是BC上任意一点，过 D分别向

5、AB, AC引垂线，垂足 分别为E, F, CG是AB边上的高.(1) DE, DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；(2)若D在底边的延长线上，(1)中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.2016年秋八年级数学解答题参考答案与试题解析一 .解答题（共11小题）1 . （2015?荷泽）如图，已知/ ABC=90 , D是直线 AB上的点，AD=BC .（1）如图1,过点A作AFAB,并截取AF=BD ,连接DC、DF、CF,判断 CDF的形状并 证明；（2）如图2, E是直线BC上一点，且 CE=BD,直线AE、CD相交于点P, / APD的度数是 一个固

6、定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由.【分析】（1）利用SAS证明4AFD和4BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC ,即可判断三角形的形状；（2）作AF XAB于A,使AF=BD ,连结 DF , CF,利用SAS证明 AFD和 BDC全等，再 利用全等三角形的性质得出FD=DC , Z FDC=90 ,即可得出/ FCD= Z APD=45 .【解答】 解：（1） 4CDF是等腰直角三角形，理由如下：AF AD, Z ABC=90 ,/ FAD= / DBC , 在 FAD与4DBC中，AD=BC，ZFAD=ZDBC, kAF=BFADA DBC (SAS), FD

7、=DC ,.CDF是等腰三角形， FADA DBC , / FDA= / DCB , . / BDC+Z DCB=90 , ./ BDC+Z FDA=90 , .CDF是等腰直角三角形；(2)作 AFXAB 于 A,使 AF=BD ,连结 DF , CF,如图, AF AD, Z ABC=90 ,/ FAD= / DBC ,在 FAD与 DBC中，AD=BC ZPAD=ZDBC, tAF=BDFADA DBC (SAS), FD=DC ,.CDF是等腰三角形， FADA DBC ,/ FDA= / DCB , / BDC +/ DCB=90 , / BDC +/ FDA=90 ,.CDF是等腰

8、直角三角形， ./ FCD=45 ,AF / CE,且 AF=CE ,四边形AFCE是平行四边形,AE / CF, ./APD= / FCD=45 .2. （2011?泰安）已知：在 ABC中，AC=BC , / ACB=90 ,点D是AB的中点，点 E是AB边上一点.（1）直线BF垂直于直线 CE于点F,交CD于点G （如图1）,求证：AE=CG ;（2）直线AH垂直于直线 CE,垂足为点H,交CD的延长线于点 M （如图2）,找出图中与 BE相等的线段，并证明.D图1【分析】（1）首先根据点AECA CGB,即可得出 （2）根据垂直的定义得出/,可得出/ ACD= / BCD=45 ,判断

9、出AE=CG ,CMA +/ MCH=90 , / BEC + Z MCH=90 ,再根据 AC=BC , / ACM=/ CBE=45 , 【解答】(1)/ ACB=90 ,CDXAB ,得出 BCEA CAM ,进而证明出 BE=CM .证明：点 D是AB中点，AC=BC ,/ ACD= / BCD=45 , ./ CAD= Z CBD=45 / CAE= / BCG , 又 BFXCE, ./ CBG+Z BCF=90 , 又 / ACE+Z BCF=90/ ACE= / CBG ,在4AEC和4CGB中， f ZCAE=ZBCG 卜C 二 BC ZACE=ZCBG .AECCGB (A

10、SA), . AE=CG ,(2)解：BE=CM .证明： CHXHM , CD LED, ./ CMA +/ MCH=90 , / BEC+Z MCH=90 , / CMA= / BEC ,又. / ACM= /CBE=45 ,r ZBEC=ZCKA在 BCE 和 CAM 中， ZACM=:ZCBE,BC=ACBCEA CAM (AAS), BE=CM .3. (2009?沈阳)将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图 方式摆放，其中/ ACB= /DEB=90 , / A= / D=30。，点E落在AB上，DE所在直线交 AC所在直线于点 F.(1)求证：AF+EF=DE;(2)若将图中的

11、 DBE绕点B按顺时针方向旋转角%且0 a 60,其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立；(3)若将图中的 DBE绕点B按顺时针方向旋转角&且60 3 18。,其它条件不变，如图.你认为(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由.【分析】(1)我们已知了三角形 BED和CAB全等，那么DE=AF+CF,因此只要求出 EF=CF就能得出本题所求的结论，可通过全等三角形来实现，连接BF,那么证明三角形 BEF和BCF全等就是解题的关键，这两三角形中已知的条件有BE=BC, 一条公共边，根据斜

12、边直角边定理，这两个直角三角形就全等了，也就得出EF=CF,也就能证得本题的结论了；(2)解题思路和辅助线的作法与(1)完全一样；(3)同(1)得 CF=EF,由ABC0DBE,可得 AC=DE , AF=AC+FC=DE+EF.【解答】(1)证明：连接BF (如图)，口/A ABCADBE (已知)，BC=BE , AC=DE .、/ / / ACB= / DEB=90 ,/ ./ BCF=Z BEF=90 .-i 7、 BF=BF ,三7Jr RtABFCRtABFE.却CF=EF .B又 AF+CF=AC , . AF+EF=DE .(2)解：画出正确图形如图(1)中的结论 AF+EF=

13、DE仍： (3)不成立.证明：连接BF,. ABC 9匕 DBE , BC=BE , / ACB= / DEB=90 , .BCF和 BEF是直角三角形， 在 RtABCF 和 RtABEF 中， fBC=BE (BF=BFBCFA BEF (HL), .CF=EF;. ABCDBE ,AC=DE , . AF=AC +FC=DE + EF.4. (2013?青羊区一模)如图， ABC中AB=AC , BC=6 , KnNB二三，点P从点B出发沿射 5线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同， PQ与直线BC相交于点D.(1)如图，当点P为AB的中点时

14、，求CD的长；(2)如图，过点P作直线BC的垂线垂足为 E,当点P、Q在移动的过程中， 线段BE、DE、 CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.【分析】(1)过点P做PF平行与AQ,由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再 由AB=AC ,根据等边对等角得角 B和角ACB的相等，根据等量代换的角 B和角PFB的相等， 根据等角对等边得 BP=PF,又因点P和点Q同时出发，且速度相同即 BP=CQ,等量代换得 PF=CQ,在加上对等角的相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出 DF=CD=y CF,而又因P是AB的中点，PF/ AQ得出F是BC的

15、中点，进而 根据已知的BC的长，求出CF,即可得出CD的长.(2)分两种情况讨论，第一种情况点 P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得 BE=EF, 再又第一问的全等可知 DF=CD，所以ED由，得出线段DE的长为定值； 第二种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于AC交BC的延长线于M ,根据两直线平行， 同位角相等推出角 PMB等于角ACB ,而角ACB等于角ABC，根据等量代换得到角 ABC等于 角PMB,根据等角对等边得到 PM等于PB,根据三线合一，得到 BE等于EM,同理可得4PMD全等于4 QCD ,得到 CD等于DM ,根据DE等于EM减DM ,把EM换为BC加CM的 一半

16、，化简后得到值为定值.【解答】 解：(1)如图，过P点作PF/AC交BC于F,点P和点Q同时出发，且速度相同，BP=CQ , PF/ AQ,/ PFB= / ACB , / DPF= / CQD,又 AB=AC ,/ B= / ACB ,，/B=/PFB,即BP=PF,PF=CQ,又/ PDF=/QDC, 证得 PFDQQCD,DF=CD=-CF,2又因P是AB的中点，PF/ AQ, .F 是 BC 的中点，即 FC=1BC=3,2，CD=Zf=工；22(2)分两种情况讨论，得 ED为定值，如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF/ AC交BC于F, . PBF为等腰三角形， PB=PF,BE

17、=EF,PF=CQ ,FD=DC ,ED=小与CF，ED为定值，同理，如图，若 P在BA的延长线上，作PM / AC的延长线于M ,/ PMC= / ACB ,又 AB=AC , / B= / ACB , ./ B= Z PMC ,PM=PB ,根据三线合一得 BE=EM ,是不变的线段同理可得 PMD QCD ,所以CD=DM ,7. (2011?黑龙江模拟)等边 ABC,点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作 等边 ADE ,连接CE.(1)如图1,若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB ;(2)如图2,若点D在CB的延长线上，线段 CE, CD, AB的数量有怎样的数量关系？

18、请加 以证明.【分析】(1)如图1,根据 ADE与 ABC都是等边三角形，容易得到全等条件证明CAE0BAD ,再根据全等三角形的性质可以证明题目的结论；(2)如图2,根据(1)可知D的位置对 CAEA BAD没有影响，所以结论仍然成立，证明 方法完全相同.【解答】 证明：(1)如图1,=ADE与4ABC都是等边三角形，AC=AB , AE=AD , / DAE= / BAC=60 . / DAE - / CAD= / BAC - / CAD .即 / CAE= / BAD .在4CAE和ABAD中，/CAE =/BAD,AE=AD.CAEABAD (SAS).EC=DB (全等三角形的对应边

19、相等)；CE+CD=DB +CD=BC=AB ,即 CE+CD=AB ;(2) CE+CD=AB ;理由如下：如图 2, ADE与4ABC都是等边三角形，AC=AB , AE=AD , / DAE= / BAC=60 / DAE - / BAE= / BAC - / BAE .即 / CAE= / BAD .在 CAE和 BAD中，,一 ZCAE=ZBAD,.AEDCAEA BAD (SAS).EC=DB (全等三角形的对应边相等)； . CE+AB=DB +BC=CD ,即 CE+AB=CD .8. (2011?安徽模拟)如图，D是等边/ ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=D

20、A , 连接DE交AC于F,过D点作DGLAC于G点.证明下列结论：(1) AG=4d；2(2) DF=EF;(3) SaDGF=SaADG+SaECF.【分析】(1)由等边 ABC, DGXAC,可求得/ AGD=90 , Z ADG=30 ,然后根据直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AG=AD ;(2)首先过点 D作DH / BC交AC于点H,易证得 ADH是等边三角形，又由 CE=DA ,可 利用AAS证得 DHF0ECF,继而可得 DF=EF;(3)由4ABC是等边三角形， DGLAC,可得 AG=GH ,即可得 Saadg=SaHDG,又由 DHF = ECF

21、,即可证得 Sa DGF=S aADG+Sa ECF.【解答】 证明：(1) ABC是等边三角形，./ A=60 ,DG AC , ./ AGD=90 , / ADG=30 ,.1. ag=-|ad ;(2)过点D作DH / BC交AC于点H,，/ADH=/B, /AHD=/ACB, / FDH= / E, .ABC是等边三角形，. B= / ACB= / A=60 , ./ A= ZADH= ZAHD=60 ,. .ADH是等边三角形，DH=AD , ad=ce ,dh=ce ,在 DHF和 ECF中，fZFDH=ZEZDFH=ZEFC,IDH=CE.-.DHF ECF (AAS ),DF=

22、EF ;(3) .ABC是等边三角形， DGAC,AG=GH ,SaADG=SaHDG ,. DHF ECF,SaDHF=SaECF,SaDGF=SaDGH+SaDHF=SaADG+SaECF.9. (2010?雅安)如图，点 C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以 AC、BC为边在 线段AB的同旁作等边 ACD和等边 BCE,连接 AE交DC于M ,连接BD交CE于N ,连 接MN .(1)求证：AE=BD ;(2)求证：MN / AB .【分析】(1)先由 ACD和4BCE是等边三角形，可知 AC=DC , CE=CB , / DCA=60 , /ECB=60,故可得出/ dca+z

23、 dce=z ecb + z dce, /ace=/dcb,根据 SAS 定理可知 ace dcb ,由全等三角形的性质即可得出结论；(2)由(1)中ACE0DCB,可知/ CAM=/CDN,再根据/ ACD= Z ECB=60 , A、C、B三点共线可得出/ DCN=60 ,由全等三角形的判定定理可知，4ACM叁 DCN ,故MC=NC ,再根据/ MCN=60。可知 MCN为等边三角形，故/ NMC= / DCN=60。故可得出结论.【解答】 证明：(1) ACD和 BCE是等边三角形 AC=DC , CE=CB , / DCA=60 , / ECB=60 ,/ DCA= Z ECB=60

24、 , / dca +/ dce= / ecb + z dce , / ace= / dcb , 在 ace与 dcb中，rAC=DC，Zace=Zdce,|（CE=CBACEA DCB, .AE=BD ;（2）二.由（1）得， ACEA DCB, / CAM= / CDN , / ACD= / ECB=60 ,而 A、C、B 三点共线， ./ DCN=60 ,在ACM与ADCN中，rZMAC=ZNDC, AC二DC,lZACM=ZDCN=60qACM ADCN （ASA）,MC=NC ,. / MCN=60 , . MCN为等边三角形， ./ NMC= / DCN=60 ,/ NMC= / D

25、CA , MN / AB .10. （2006?郴州）如图，在 ABC中，AB=AC , D是BC上任意一点，过 D分别向AB, AC 引垂线，垂足分别为 E, F, CG是AB边上的高.（1） DE, DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说 明理由.贝U SaABC=SaABD+SaACD,即一LaB?CG，AB?De1aC?DF,222 ab=ac , CG=DE+DF.(2)当点D在BC延长线上时，(1)中的结论不成立，但有 DE- DF=CG. 理由：连接 AD ,贝U SaABD=SaABC + SaACD ,即Lab ?de=-ab ?cgA ac ?df ab=ac ,DE=CG +DF,即 DE - DF=CG .同理当D点在CB的延长线上时，则有 DF - DE=CG ,说明方法同上.【分析】（1）连接AD,根据三角形 ABC的面积二三角形ABD的面积+三角形ACD的面积， 进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系.即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积-三角形 ACD的面积.【解答】 解：（1） DE+DF=CG .证明：连接AD ,