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1、高中数学 第二章 推理与证明2.1.1合情推理自我小测 新人教B版选修1-21 .根据下面给出的数塔猜测123 456X9+ 7=()1X9+ 2=1112X9+ 3= 111123X9+ 4= 1 1111 234 X 9+ 5= 11 11112 345 X 9+ 6=111 111A. 1 111 110 B , 1 111 111 C , 1 111 112 D , 1 111 1132.下面使用类比推理，得出正确结论的是()A. “若 a 3= b - 3,则 a= b” 类比推出“若 a 0= b - 0,则 a= b”B.“若(a+b)c= ac+bc”类比推出(a - b) c
2、= ac - bc”C.“若(a+b)c= ac+bc” 类比推出ab = a+b(cw0)” c c cD. “(ab)n=anbn” 类比推出“(a+b)n=an + bn”3.数列an的前 n 项和 $= n2an( n2).若 a = 1,通过at算 a2, a3, a4,猜想 an=(2222A.(n+1)2 B. n( n+ 1) 128 B . 144 C . 155 D . 164 x一、 6.设函数 f (x) = -(x0),观祭: 21 x r 2 2n14 .设 f1(x)=cos x, f2(x) = f 1 (x) , f 3(x) =f 2,( x) , f n+
3、1(x) = f n ( x) , nl N+, f 2 014(x)等于()A. sin x B . sin x C . cos x D . cos x5 .如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10,，记这个数列前n项的和为S,则S16等于()7f2(x)=f(fi(x)3x+4f3(X)=f(f2(X)x7x+8f4(X)=f(f3(X)x15x+ 16，SC和底面ABC所Si, S2, S3,类比根据以上事实，由归纳推理可得：当nC 且n2时,fn(x) =f (fni(x)=7 .如图，在三棱锥 SAB计，SAL SB SBL
4、SC Sd SA 且 SA SB成的角分别为 “1, “2, “3,三侧面 SBC ASAC SAB的面积分别为三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想1,3,6,10 ,8 .古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数以下给出了部分n( n+1)1 0 1第n个二角形数为 2=2n + 2n.记第n个k边形数为 N n, k)( k3)k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3) =1n2+2n,正方形数N(n,4) = n2,五边形数一3 2N(n,5) =,n1 2n,六边形数2N( n,6) = 2n -n,可以推测N(n, k)的表达式，由此计算N(10,24)
5、9.将全体正整数排成一个三角形数阵,如图所示，试求数阵中第n(n3)行的从左至右的第3个数.61011121314 1510 .将自然数排成如下的螺旋状:1615-1413第1个拐弯处的数是2,第2个拐弯处的数是 3,则第20个及第25个拐弯处的数各是多少?11 .已知O是ABCrt任意一点，连接 AQ BQ CO并延长交对边于 A , B , C,则QA QB QCAA-+ BB-+ CC- = 1,这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”.QA QB QCSA QBCJSa QCA JSa QAB& ABCAA+ BB+ CCS；AABCS；AABC S；AABCS ABC请运用类比思想
6、，对于空间中的四面体A-BCD存在什么类似的结论？并证明.1.答案：2.答案：3.解析：,一一,1-1由已知可得，a2= S S = 4a2 a1,解得a2=-.3代入选项中可知B适合.答案：B4. 解析：f1(x) = cosx, f2(x)=fJ ( x) = (cos x) =- sin x, f3(x) = ( - sin x)=cos x, f4(x) = ( cos x) = sin x, f5(x) = (sinx) = cos x, 则f n( x)的取值呈周期性，且 4是最小正周期, . f2 014(x) = f2(x) = sin x.答案：B5 .解析：由题意可知数列的
7、前16 项为：1,2,3,3,6,4,10,5,15,6,21,7,28,8,36,9.故 S6=1 + 2+3+ 36+9= 164.答案：D6 .解析：观察知：四个等式等号右边的分母为x+2,3x + 4,7x+8,15x+16,即(2 1)x+ 2, (4-1)x+4, (8-1)x + 8, (16-1)x+16,所以归纳出 f n(x) = f ( f n1( x)的分母为(2 n-1)x+2n,故当 nC Nk,且 n2 时，fn(x) = f(fn 1(x)=(2 n- 1)x 2n.答案：(2n-1)x+ 2n7 .解析：如图，在4DE叶，由正弦定理，得sin D sin Ef
8、sin F于是，类比三角形中的正弦定理，在三棱锥SABCK我们猜想一SS2sin：% sin： 2S3sin： 33答案：一SS2(1S3sin：sin： 2 sin： 38.解析：由题中数据可猜想：含n2项的系数组成首项是：，公差是(的等差数列，含n 11 一 111c项的系数组成首项是2,公差是一2的等差数列，因此Nn, k)= |2+(k 3)2 .2 +故 N(10,24) =11n210n=11X 10210X 10= 1 000.答案：1 0009 .解：第1行，第2行，第3行，分别有1,2,3 ,个数字，且每个数字前后差1,则第n- 1行的最后一个数字再加3即为第n(n3)行的从
9、左至右的第 3个数，前n-1行共有数字1+2+3+ (n- 1)=n(门：1),则第n(n3)行的从左至右的第 3个数为n：1+ n2 n + 6 3=.10 .分析：先根据前面的情况归纳出一般结论，再求解.解：前几个拐弯处的数依次是2,3,5,7,10,13,17,21, 26,，这是一个数列，题目要求找出它的第20项和第25项各是多少，因此要找出这个数列的规律.把数列的后一项减去前一项，得一新数列，1,2,2,3,3,4,4,5,5,，把原数列的第一项2添在新数列的前面，得到 2,1,2,2,3,3,4,4,5,5,，于是，原数列的第 n项an就等于上面数列的前 n 项和，即 a1=2=1
10、+1 = 2, a2=2+1=1 + (1 + 1) = 3, as = 2+1 + 2 = 1 + (1 + 1 + 2)=5, a4=2+1+2+2=1+(1 +1+2+2) =7,，所以，第 20 个拐弯处的数 a20= 1 + (1 + 1 + 2+2+3 + 3+4+4+-+ 10+10) = 1+2X(1 + 2+ + 10) = 111.第 25 个拐弯处 的数 a25=1 + (1 +1 + 2 + 2+ 12+12+13) = 111+2X(11 + 12) + 13 = 170.11 .解：在四面体 ABCD,任取一点 Q连接AQ DQ BQ CO并延长分别交四个面于 E, F, G H点.QE OF QG QHAE+ 於 Cf 1.在四面体Q - BCDW A - BC加,1一S BCD hdBCDQE hc-BCD 3V- BCDAE hA-BCD 1V-BCD3S BCD hA-BCD同理,OF V-ABC OG VACDDF V-ABC BG V-acdOH VO.ABDCH VC-ABDOE OF OG OH 科耐时CHV-BC叶 V-ABC+ V-AC叶 V-ABDV- BCDV-BCDV-BCD