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1、Beijing Jiaotong University数字信号处理研讨DFT近似计算信号频谱学院：电子信息工程学院小组成员：指导教师：时间：2013.06.24DFT近似计算信号频谱专题研讨【目的】(1)掌握利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法。(2)理解误差产生的原因及减小误差的方法。(3)培养学生自主学习能力，以及发现问题、分析问题和解决问题的能力。【研讨题目】基本题1.已知一离散序列为xk=sin(0.2 #),k = 0,1，31用L=32点DFT计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；(2)对序列进行补零，然后分别用L=64、128、256、512点DFT计算该序列的频谱，
2、求出频谱中谱峰的频率；讨论所获得的结果，给出你的结论。该结论对序列的频谱计算有何指导意义？【题目分析】本题讨论补零对离散序列频谱计算的影响。【温磬提示】在计算离散非周期序列频谱时常用an作为横坐标，称G/7为归一化频率 (normalized frequency)。在画频谱时需给出横坐标。每幅图下都需给出简要的文字说明。由于离散非周期序列频谱是周期的，所以在计算时不必用fftshift函数对fft计算的结果进行重新排列。DFT变换存在如下关系:【序列频谱计算的基本方法】连续信号，通过其抽样的离散信号，和离散信号的X(ej)N 1心 =DFT(xNkRNk) = XNkW, 1- Vmk=0通过
3、如上关系，我们就可以通过DFT来求信号的频谱。【仿真结果】Q igjre 1Fie Edh View Insert Toak Deskinp WindDa Help彳百d 鼠%国&亘片，白口国口修中 nMEB /s9-an-Eu6l?s00匚6国壬spnlcLJB 口京fm =0.9219fm =0.9141fm =0.9102fm =0.9082【结果分析】增加DFT的点数可以使频谱更容易观察，即减轻了栅栏效应带来的影响。频谱的横坐标为归一 化频率，所以原信号的峰彳1第一次应该出现在0.2处，随着DFT点数的增大，频谱表示也越来越精确。【自主学习内容】1 .归一化频率相关知识。2 .通过 m
4、atlab计算DFT和matlab的绘图操作。 【阅读文献】1 .数字信号处理2 .补零对有限长序列频谱及DFT的影响。【发现问题】(专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)：DFT点数的增多是否能提高频谱分辨率？【问题探究】虽然DFT点数增加使图像更加细致，但是因为不论DFT点数是多少，抽样点数都是相同的，所以每个频谱所包含的信息相同，频谱分辨率只与抽样点数相关，与DFT点数无关，频谱分辨率相同。所以不能通过增大DFT点数而减少信息损失。DFT点数的增多不能提过频率分辨率。【仿真程序】 k = 0:31; N = 16;x = sin(0.2*pi*k); for i = 1:5N = 2*N
5、;X = fft(x,N);k = 0:N-1;subplot (5,1,i);plot (k/N,abs(X);xlabel (f/HZ );ylabel (Magnitude);fm = find( X = max(X)/N; fmend2已知一离散序列为 x k=Acoq0k+Bcos(d+Mi)k)。用长度N=64的哈明窗对信号截短后近似计算其频谱。试用不同的 A和B的值(如A和B近似相等，A和B差距较大)，确定用哈明窗2支能分辩的最小的谱峰间隔aw nC-中c的值。N【题目分析】本题讨论用哈明窗计算序列频谱时的频率分辨率。【仿真结果】内:tgure 1Re Edh View Jrwt
6、 1火曲戊曲叩怖曲.H*JJd iM鼠，过目卫6 a I国日C=i .雁1 6/ VJ .、20c=22 胫1620 c=2 2 川BE0 工 Afl=1.2E 9 AB=1620性D D D2 1【1J。2D10hu o- D? 115 期行 15 AB=1 &【结果分析】第一排是c=4,第二排c=3,远大于教材定义的标准 c=2。无论A/B的比值是多少，区分谱峰毫 无压力。第3排中，c=2是教材定义的标准， A与B接近的时候，区分较为容易，当 A/B为1.6的时候, 几乎是无法区分，而 A/B=4的时候，完全无法区分。所以说在设计使用哈明窗的时候，如果不同频 谱的信号所占比例相差较大，哈明
7、窗的c要比2大。从第一列可以看出，如果 A/B象近的时候，即使c稍小于2,也是可以区分的。每一列中，A/B的比值是相同的，随着 c的减小，谱峰的区别能力很容易看出是降低的。【自主学习内容】不同窗函数的屏幕分辨率。【阅读文献】数字信号处理【发现问题】（专题研讨或相关知识点学习中发现的问题）：哈明窗所起的作用？哈明窗与矩形窗谁的分辨率高？在仿真白时候c该选用怎样的值？【问题探究】哈明窗主瓣较宽，分辨率比矩形窗差，但是哈明窗可以使能量集中在主瓣处。所以哈明窗可以 起到减小泄漏的作用。在仿真白时候c该选用怎样的值？在开始的时彳It选用的c为1 2 4 8 16,对比效果不明显，发现 c的取值过于大，反
8、复尝试确定在2附近多取值，其他值也不可取得过于大，因为c稍大实验现象基本相同，所以没有意义。【仿真程序】N = 64;k = 0:N-1;c_set = 4 3 2.2 2 1.9 1.8 1.5;A_set = 1 1.2 1.6 4;B = 1;w0 = 0.5*pi;for c_index = 1:length(c_set)c = c_set(c_index);dw = c*2*pi/N;for A_index = 1:length(A_set)A = A_set(A_index);x = A*cos(w0*k)+B*cos(w0+dw)*k);Xh = fft(x.*hamming(N
9、);subplot(length(c_set),length(A_set),length(A_set)*(c_index-1)+A_index);plot(k,abs(Xh);hold on;title(c= num2str(c) ;A/B= num2str(A);axis(12 25 0 25);endend3 已知一离散序列为xk=cos(C0k)+0.75cos(C1k), 0k 63 其中 d=0.4工1=建0+兀/64(1)对xk做64点FFT,画出此时信号的频谱。(2)如果(1)中显示的谱不能分辨两个谱峰，是否可对(1)中的64点信号补零而分辨出两个谱峰。通过编程进行证实，并解释其
10、原因 。(3)给出一种能分辨出信号中两个谱峰的计算方案，并进行仿真实验。【题目分析】分析影响谱峰分辨率的主要因数，进一步认识补零在在频谱计算中的作用。【仿真结果】Fie Edh Vkw InsertEsklop WiHg H巾【结果分析】频谱的横坐标是归一化频率，图示只观察要区别的部分。每一个列的抽样点相同，每一行DFT点相同。但看第一列，虽然增加DFT点数，甚至是增加到 32768,也不能够区分两个谱峰，所以要想增加频率的分辨率，可以增加抽样点数，第二列和第三列抽样点数分别是128和256,都可以区分两个谱峰。【自主学习内容】如何增加频谱分辨率。【阅读文献】数字信号处理。【发现问题】(专题研
11、讨或相关知识点学习中发现的问题)：如何计算所需抽样点数？可以通过信号频率的差值计算。【问题探究】1、2、3题讨论的是离散信号频谱的计算问题。与连续信号频谱计算问题相比较，其计算误差 有何不同？连续信号的频率是非周期的，离散信号的频谱是连续信号频谱的周期话，可能会有混叠误差。 【仿真程序】w0 = 0.4*pi;dw = pi/64;w1 = w0+dw;N_set = 64 128 256;L_set = 64 128 256 512 32768;for N_index = 1:length(N_set);N = N_set(N_index);k = 0:N-1;x = cos(w0*k)+0
12、.75*cos(w1*k);for L_index =1:length(L_set)L = L_set(L_index);if Le NN m =0可得O0-、X(m rN ) 0);m =0,1,2, N -1n =.二【计算方案】根据理论推导结果设计近似计算方案。分析产生误差的主要原因。DFT是连续信号频谱的周期化，如果频谱信号高频信号较多，就会产生混叠，所以有误差。如 果主要是低频信号，周期话后互补产生影响，就没有误差。【扩展分析】如果周期信号x是带限信号，即信号的最高频率分量为M80（是正整数），试确定在一个周期内的最少抽样点 N,使得在频谱的计算过程当中不存在混叠误差。与抽样定理给出
13、的结论比较，发表 你的看法。X(n ,0) !,IMiX(n-2M) 03Mn n;.-?o很容易看出，要想不产生混叠，必须 N之2M+1。该结论与抽样定理相似。因为周期信号是一种特殊的连续信号，所以抽样定理对周期信号也是适用的。 【仿真结果】Diviation:Diviation:N=12 k=6Civistion:mean:0.1564 max:0.3297Diviation:【结果分析】0.1229,平均误差为 0.07187。在N=16,k=6时，误差最小，最大误差为无论是减小N和减小k都很大的增大了误差。不同k对误差在k=6的时候，误差有明显的减小。可见原函数最大的高频分量为6*w0
14、 ,根据前面推出的理论，N取6*2+1=13点的时侯误差减小。实验结果符合结论【自主学习内容】周期信号的频谱与 DFT的关系。【发现问题】：原函数最高频分量大约是多少？【问题探究】根据前面推理，最高频分量为6*w0。【仿真程序】n = 1024 ;t = linspace ( 0, 1 , n);N_set = 12 16;H_set =4 6;T0 = 1;count = 0;for N index= 1 : length (N set )N = N_set ( N_index );dT = T0 / N;k= ( 0: N- 1)* dT;x= 20* k a 2. *( 1- k)A 4
15、. *cos ( 12* pi .* k);X = fft (x);for H_index = 1: length (H_set )H = H_set ( H_index );sum = 0;XI = X( N- H+1: N) X ( 1: H+1)/ N;for k = - H: H;yt= X1 ( k + H+1)* exp (j * 2* pi * k* t / T0);sum=sum +yt ;endfigure(N_index - 1 )* length ( H_set )+ H_index );subplot(1,2, 1);xt = 20*t a 2. *( 1- t).A
16、4. *cos ( 12* pi .* t);plot (t , xt , r, t , sum, b);hold on ;title( N= num2str ( N) k= num2str (H);subplot(1,2, 2);plot(t , xt - sum); 4de= abs ( xt - sum);maxde=max ( de );meande=mean ( de);title( Diviation: ; mean: num2str ( meande , 4) max: num2str ( maxde , 4);count=count +1;deviation( count )= meandeendend电子文件提交说明：文件名 学号+姓名+研讨题目（每组在文件名上只需提供一个学号和姓名）文件格式Microsoft Word 2003 或以下版本建议用Office套装软件 Visio进行绘图。Matlab所绘图形可在 Visio环境下ungroup后进行编辑。