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1、程溪中学 2013 届高三模拟测试数学（理）试题一. 选择题（本大题共10 小题，每小题 5分，共 50 分 .在每小题给出的四个选项中, 只有一项是正确的 ,将正确答案填写在答题卷相应位置）1. 已知集合M，N= 2a- 1aMM N等于（ ）= 1,2 ，则 A 1,2,3B 1,2C 1D复数 z1b i,z2i ，若 z1的对应点位于直线x+y=0 上，则实数 b 的值（）212z2A -3B 3C - 1D 1333. a 的值由右边程序框图算出，则二项式(xa )9 展开式的常数x项为（）A. T675C95B.T473C 93C.T473C93D.T574C944. 函数 f (
2、 x )sin( 2x3) 的图象为 C，给出以下结论：（）图象 C 关于直线 x11对称；图象 C 关于点 (2,0) 对称；123函数 f ( x) 在区间 (12, 5) 内是增函数；12由 ysin 2x的图象向右平移3个单位长度可以得到图象C其中正确的是A. B.C.D.5用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1 为其正视图，图 2 为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（）xy106已知不等式组 xy10表示的平面区域为D，若直线 ykx 1将区域 D 分成面积3xy30相等的两部分，则实数k 的值是（ ）A 1B 1C 1D 154327如图，设点 A
3、是单位圆上的一定点，动点P 从 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点1P 所转过的弧AP 的长为，弦AP 的长度为 d ，则函数 df l 的图像大致是（8已知正项等比数列an 满足： a7a6 2a5 ，若存在两项 am ,an 使得 aman14 的最小值为（）mnA 3B 5C 25D不存在2369 若双曲线x2y21(ab 0)的左右焦点分别为F1 、 F2 ，线段 F1 F2a2b 2y22bx 的焦点分成7 : 5的两段，则此双曲线的离心率为( )A 9B 6 37C.3 2D.3 1083741010如图，从点 M (x0 ,4) 发出的光线，沿平行于抛物线y 28x 的对称轴
4、方）4a1 ，则被抛物线向射向此抛物线上的点P，反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l : xy100 上的点 N，经直线反射后又回到点 M，则 x0 等于（）A 5B 6C 7D 8第 II卷（非选择题共 100分）二、填空题：本大题共5 小题，每小题 4 分，共20 分。把答案填写在答题卡的相应位置11已知角 的终边在直线 y3cos_ x 上，则 2sin412 P 为抛物线 y24x 上一动点，则点P 到 y 轴距离和到点A 2,3 距离之和的最小值等于13已知 (1 x)5a0a1x a2 x2a3 x3a4 x4a5 x5 ，则 a2a4 的值等于_ 14某
5、单位购买 6 张北京奥运会某场比赛门票，其中有2 张甲票， 其余为乙票，三名职工从中各抽一张，至少有一人抽到甲票的抽法为15已知函数 f(x)= x3+ax2+bx(a ， b R)的图象如图所示，它与x 轴在原点相切，且 x 轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为1，则 a=12三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。216. ( 本小题满分 13分 )已知几何体 A BCDE 的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为 4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形 ( ) 求此几何体的体积；( ) 求异面直线DE 与 AB 所成角的余弦值；
6、( ) 探究在 DE 上是否存在点Q，使得 AQBQ ，并说明理由 17. ( 本小题满分13 分 ) 对某班级50 名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计，得到如下频率分布表：参加次数0123人数0.10 20.40.3根据上表信息解答以下问题：( ) 从该班级任选两名同学，用 表示这两人参加社会实践次数之和，记“函数f ( x)x 2x1在区间 (4 ， 6) 内有零点”的事件为A ，求 A 发生的概率P ；( ) 从该班级任选两名同学，用 表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 E.18. （本小题满分 13 分）椭圆 C1 ： x 2y 21 ab
7、 0 与抛物线 C2 ： x22 py p 0 的一个交点为M，抛物线a 2b2C2 在点 M处的切线过椭圆C1 的右焦点 F25，求 C1 和 C2 的标准方程；( ) 若 M 2,5（II ）求椭圆 C1 离心率的取值范围19（本小题满分13 分）某装修公司根据客户要求装饰一个墙角，施工设计时，在墙面交线AB 与天花板 ACD之间拉一条 “定位线” EF（如图），已知墙面交线AB、AC、AD两两垂直， 且 AB=2，AC=AD=3。（单位：分米）（）若点E、 F 分别为 AB、 CD的中点，请指出此时直线EF与直线 BC的位置关系（直3接写出结论）；（）若 E、 F 分别在 AB、天花板
8、ACD上运动时，始终保持“定位线” EF的长为定值 2，记 EF 的中点为 G，试探究线段 AG的长是否也为定值， 若是，求出该定值； 若不是，说明理由；（）在（）的条件下，客户提出在点G处安装一盏装饰灯，为了美观和更好地散热，需将灯安装在与天花板ACD的距离为3且与另两墙距离之和最大处，求此时直线3AG平与面 BCD所成角的正弦值。20. （本小题满分 14 分）已知函数f(x)=1 m(x 1) 2 2x+3+lnx （ m1）2( ) 当 m3 时，求函数 f(x)在区间 1 ， 3 上的极小值；2f(x)a ， b ；（）求证：函数存在单调递减区间（）是否存在实数m，使曲线 C： y=
9、f(x)在点 P（ 1， 1）处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由21. 本题有（ 1）、（ 2）、（ 3）三个选答题，每小题7 分，请考生任选2 题作答，满分 14 分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7 分）选修4-2 ：矩阵与交换已知二阶矩阵 M1bc，矩阵 M对应的变换将点（ 2， 1）变换成点（ 4， -1 ）。求矩阵 M1将圆 x2y 21 变换后的曲线方程。（2）（本小题满分7 分）选修4-4 ：坐标与参数方程以直角坐标系的原点
10、为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已sin(x10cos知直线的极坐标方程为) 6 ，圆 C 的参数方程为，（ 为参数），3y10sin4求直线被圆C 截得的弦长。（3）（本小题满分7 分）选修4-5 ：不等式选讲已知 a， b， c 为实数，且 abc22m0, a 2 1b 21c 2m 1 0.49（I ）求证： a 2 1b 21c2(abc)2;4914（II ）求实数 m的取值范围。5参考答案选择题：题号12345678910答案AACCCCCADB填空题：11.2 或212.10113 .1514. 1615. 155三、解答题：16 解：（）由该几何
11、体的三视图可知AC 垂直于底面 BCED ，且 ECBCAC 4 ，BD1，SBCED1(41) 4 10， V1SBCEDAC110440 ，2333此几何体的体积为40 ； 3分3成角，在BAF 中， AB42 ， BFAF16 95，cosABFBF 2AB 2AF 2222BF AB5；即异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值为 2 2。 7分5（）在 DE 上存在点 Q，使得 AQBQ ；取 BC 中点 O ，过点 O 作 OQDE于点 Q ，则点 Q 为所求点；连接 EO 、 DO ，在 Rt ECO 和 Rt OBD 中，ECOB2 ，Rt ECO Rt OBD ，COBDCE
12、OBOD ，EOCCEO900 ，EOCDOB900 ，EOD900 ，OECE 2CO 22 5，ODOB2BD 25，6OQOE OD 25 52 ，ED5以 O 为圆心， BC 为直径的圆与 DE 相切，切点为 Q ，连接 BQ 、CQ ，可得 BQCQ ；AC平面 BCED ， BQBCED ，ACBQ ，BQACQ ，AQ平面 ACQ ，AQBQ ；13分z解法二：（）同上。E（）以 C 为原点，以 CA 、 CB 、 CE 所在直线为 x 、 y 、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)， B(0,4,0)， D (0,4,1)，DE(0,0,4)，得DE(0,
13、4,3)，AB(4,4,0)，CB ycos DE , ABDEAB22 ，又异面直线 DE 与 AB 所成DEAB5A22 。x角为锐角，可得异面直线DE 与 AB 所成角的余弦值为574与5为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式得：PP(4)P(68121286 分5)49， ( )245245根据频率分布得到頻数分布：参加次数0123参加人数5102015从该班级任选两名同学，用表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，则的可能取值分别是0， 1， 2，3，9 分于是：又 M2,25C1 上在椭圆54414，故 C1 ： x2y2a25b 25 ， b21 6 分所以，解得 a 2a
14、2b2154x0 ,1212得 y1x ，（）设M2 p x0， 由 y2 pxp从而 C2 在点 M处的切线方程为 yx02x0 xx0 8 分2 pp8设 F c,0，代入上式得 x02c，因为 x02y021，a 2b224c 2b 2所以 y02b21x0b214b23a2 10 分a2a2a222 py0 ，所以 px0 22c 22a a 2b 2又 x02y0b， 11 分4b23a 2b 4b 23a 2a从而 4b23a 2 ，即 4c 2a 2 ， e21 ， e1 ，412所以椭圆 C1 离心率的取值范围为0 13 分e.2分2232Ax由（）有xy1，FC（）32G从而
15、 x2y2D，而点 G到另两个墙面的E3y距离之和为 xy 由 x2y 22 xy ，Bz9 2(x 2y2 )(xy) 2 ，即 xy43当且仅当xy3时取等号3-10分此时 AG（3 ， 3 ， 3 ），CD（3,3,0），BC（3,0， 2）333设面 BCD 的法向量为 nn CD0（2，2,3） -11（ a， b,c），由得 nn BC0分设直线 AG与平面 BCD所成角为，有 sin| cosn, AG|7751 .5151即：直线AG与平面BCD 所成角的余弦值为7 51 . -13分51注：“ xy4，当且仅当 xy3 时取等号 . ”的证明若采用柯西不等式、三33角换元、直
16、线和圆的关系等方法求解，同样给分20.解： ( ) f( x)m( x1) 21 （ x0）x33(x2)(x1)1 当 m时， f(x)2x3，令 f ( x)0 ，得 x1=2，x2=23f(x)， f( x) 的变化情况如下表：(0 ，1（ 1 ，（ 2，+x12)33）2）3f( x)+00+单调极大单调极小单调f(x)值递减值递增递增所以，当 x 2 时，函数 f(x) 取到极小值，且极小值为 f(2)=ln2 1 4 分4（）令 f ( x) 0，得 mx2(m+2)x+1=0 （* ）1022a， b（ a0，所以方程（ * ）存在两个不等实根，记为m2a b0,因为 m 1，所
17、以mab10.m所以 a0，b0，即方程（ * ）有两个不等的正根，因此f ( x) 0 的解为（ a， b）故函数 f(x)存在单调递减区间8 分21. （ 1）解：由已知得M24,即 1 b 242 b 4, 解得 b 2M1 211c 1 112c 11c11 1设点 P(x, y) 是圆 x2y 21上的任意一点，变换后的点为P (x, y )xx则 M，yyx12 y )xx2 y,(x3所以从而1 (xyxy,yy)311（2）解：由sin()133 cos =12。( sincos ) 6得 sin322y3x12.将圆的参数方程化为普通方程为x2y 210. 圆心为 C（0， 0），半径为 10。点 C 到直线的距离为| 0012 |6d31直线 l 被圆截得的弦长为 21026216.12