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1、0.693 lntr =2.2T第三章习题及答案3-1已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数(s)。k(t) =0.0125e125t解 D(s) =L k(t) =0.0 1 2 5(s 1.25)3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述Tc(t) c(t) = ；(t) r(t)其中，0(T- T )1 o试证系统的动态性能指标为td671解 设单位阶跃输入 R(s) = 1s当初始条件为0时有：C0 =至口R(s) Ts 1 111T -C(s)=-二Ts1ssTs1C(t) =h(t) =1.e/T1)当t=td时T _tth(t) =0.5 = 1-e dtd =T In
2、2 1n2)求tr (即C(t)从0.1到0.9所需时间)T -_t /T- T 当 h(t) =0.9 .1 一e 2 ;t2 =Tln()-ln0.1TTTT -当 h(t) =0.1 =1 T ell/T ;ti =Tln()-ln0.9TT,0.9则tr = t2 t1 = T In =2.2T0.13)求 tsT - - t /th(ts) =0.95 =1 -二e sT - .T -T -ts =Tln -ln0.05 = Tln -y- ln20 =T3 ln 3-3 一阶系统结构图如题3-3图所示。要求系统闭环增益KG = 2,调节时间ts 15oK1K23-4 在许多化学过程
3、中，反应槽内的温度要保持恒定,开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。加朝器题3-4图(a)和(b)分别为温度传感居 I题3-4图温度系统结构图2)(1) 若r(t) =1(t) , n(t) = 0两种系统从开始达到稳态温度值的63.2 %各需多长时间?(2) 当有阶跃扰动n(t) =0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。(1)对(a)系统:Ga(s) =10s 110s 1时间常数T=10h(T) =0.632题3-5凰将建时间曲骡(a)系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间;100对(b)系统：6b(s)=100一=0,时间常数 T=2010s 10110.10
4、1s 1101h(T) =0.632(b)系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。(2)对(a)系统：Gn(s) =C =1N(s)n(t) =0.1时，该扰动影响将一直保持。对(b)系统： ；，n(s) =C =1=10s 1N(s) 110010s 10110s 1,1n(t)=0.1时，最终扰动影响为 0.1父*0.001。1013-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间， 利用转速时间曲线(如题 3-5图)和所测数据，并假设传递函数为G“d V(s)
5、 s(s a)可求得K和a的值。若实测结果是：加 10伏电压可得每分钟1200转的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2秒，试求电机传递函 提示：注意 幺立二上一，其中切代)=此 单位是弧度/秒V(s) s adt解依题意有：v(t) =10 (伏)(1)(2)(3)1200 2二 一切(8)=40n (弧度/秒)608(1.2) = 0.5(g) =20几(弧度 /秒)设系统传递函数G0 (s)=色显=V (s) s a10 K 10K应有(:)=lim sG0(s) V(s) = lim s = = 40s04C1 = lim (s 1) :,J(s) R(s): lim 二 7s0 s
6、(s 4)3-0s s a a10K 1 10K1_/11 1 10K l ao(t) = L G0(s)V(s)=L 1 =L - 1=1e Js(s+a)_ a 1ss + a - a由式(2), (3)8(1.2) =10K 1 e，.2a =40n 1 e，.2a 】=20na得1-e.2a=0.5-ln0 5解出a=0.5776(4)1.2将式(4)代入式(3)得 K =4na =7.25864 3-6单位反馈系统的开环传递函数G(s)=，求单位阶跃响应 h(t)和调节时间s(s 5)ts 解：依题，系统闭环传递函数：(s)=s25s 4 (s 1)(s 4)T1 =1T2 = 0.
7、25,4C0C CC(s) =ys)R(s) = 一 -s(s 1)( s 4) s s 1 s 44C0 = lim s:J (s) R(s) = lim = 1s 0s Q(s 1)(s 4)_41C2 = lim (s 4)；D(s) R(s) = hm= 一s *s P s(s 1)34 14th(t) =1 e -e- 33; 上=4, ts =卜 T1 =3.3T1 =3.3。T2E Jr(0 lff+1)题上图系统结构至3-7 设角速度指示随动系统结构图如题3-7图。若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K应取何值，调节时间ts是多少？解 依题意应取之=1,
8、这时可设闭环极点为写出系统闭环传递函数闭环特征多项式D(s)10K因此有 ts =4.75T0 =0.95” ：二13-8给定典型二阶系统的设计指标：超调量 仃5%,调节时间ts 3 (s),峰值时间tp 1 (s),试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。解依题仃 0.707 (BM45)；ts3.5 o1.17 ；tpji12n 综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图解3-8所示。3-9图所示，其中模仿心脏的传递函数相起博徭心脏题A9图电子心律起博器系统3-9电子心律起博器心率控制系统结构图如题 当于一纯积分环节，要求：若：=0.5对应最佳响应，问起博器增益 K应取多大?（2）
9、问1秒钟后实际心速为多少？瞬时最若期望心速为60次/分钟，并突然接通起博器, 大心速多大？依题，系统传递函数为K叫）=0r2 I Ks s 0.050.052s2 - 2 - nS 2一 0.0510.05 2 n令0 =0.5可解出20n =20将t=1 (秒)代入二阶系统阶跃响应公式e-： nt，:.h(t) =1 sin . 1 一； ， !J- 2可得 h（1） = 1.0 0 0 0 2 4次/秒）=60,00145 （次 /分）0 =0.5时，系统超调量 仃=16.3% ,最大心速为h（tp） =1 +0.163 =1,163 （次/秒）=69,78 （次/分）3-10 机器人控制
10、系统结构图如题3-10图所示。试确定参数Ki,K2值，使系统阶跃响应的峰值时间tp = 0.5(s),超调量 0% = 2%。迎3-1。图机器人他置控制系第解依题，系统传递函数为Ki，/、 s(s 1) (s)二 . KNs 1)s(s 1)Ki一 s2(1 K1K2)s K1仃% =e-电E4冗工 0.02=0.5联立求解得= 0.78 n = 10比较小(s)分母系数得E = 2 =1002 , 1n -1K1K2 =n =0.1463-11某典型二阶系统的单位阶跃响应如题3-11图所示。试确定系统的闭环传递函数。图3T1系统单位阶跃响应解 依题，系统闭环传递函数形式应为：(s)=.2s2
11、 - 2 - ns 2由阶跃响应曲线有:、.1h()=四 s6(s) R(s)=叫 s6 (s) - = K(j = 2= 25。“ 口 N =0.404一联立求解得，所以有Fn =1.717中=5.9-2s 1.39s 2.952 1.7172-2 Z 7 7_, _ , _ 2s 2 0.404 1.717s 1.7173-12设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=12.5s(0.2s 1)试求系统在误差初条件 e(0) =10, &0) = 1作用下的时间响应。解依题意，系统闭环传递函数为”回L62 (s 2.5)27.52.5R(s) 1 G(s)s25s 62.5当r(t) =0时
12、，系统微分方程为c (t) 5c (t) 62.5c(t) -0考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换s2C(s) -sc(0) -c(0) 1- 5 l.sC(s) -c(0) 1 62.5C(s) = 0(1)整理得s2 5s 62.5 C(s) = s 5 c(0) c (0)对单位反馈系统有e(t) = r(t) -c(t),所以c(0) =r(0) -e(0) =0-10 - -10c(0) =r (0) -e(0) =0 -1 = -1将初始条件代入式(1)得、-10s -5110(s 2.5) 26C(s)=- 二22s 5s 62.5(s 2.5)7.5=-10-3.47(s 2
13、.5)22(s 2.5)2 7.527.5c(t) -10e.5tcos7.5t 3.47e?5t sin 7.5t -10.6e.5t sin(7.5t 70.8 )3-13 设题3-13图（a）所示系统的单位阶跃响应如题3-13图（b）所示。试确定系统参数Ki，K2和a。题3T3图系统结构图及单位阶跃响应解由系统阶跃响应曲线有hG） =3tp =0.1二。o =（4 -3）,3 =33.3。系统闭环传递函数为2到) _ K1K2_ 口2s2 as K1 s2 2 ns 2(1)由式（1）=0.1= 33.3。联立求解得之=0.33=% =33.28k =02 =1108a =2-on =2
14、2另外 h(二)-lim s-J (s) - = lim 2 工/2 = K2 = 3s-0ss s as K13-14 题3-14图是电压测量系统， 输入电压 et（t）伏，输出位移y（t）厘米，放大器增益 K =10,丝杠每转螺距1毫米，电位计滑臂每移 动1厘米电压增量为0.4伏.当对电机加10伏阶跃 电压时（带负载）稳态转速为 1000转/分钟，达 到该值63.2%需要0.5秒。画出系统方框图，求出传递函数Y(s)/ Et(s),并求系统单位阶跃响应的峰值时间tp、超调量仃、调节时间ts和稳态值h(s)。依题意可列出环节传递函数如下比较点:E(s)二耳-F(s)放大器:1000电动机:j
15、(s)Ua(s)KmTmS 110 600.5s 15 30.5s 1(转/秒/状)丝杠:Y(s)K1 =0.1(厘米？专)电位器:F(s)Y(s)K2 =0.4画出系统结构图如图解3-14所示电动机入放大器丝杠图解3-电压测量系统结构图系统传递函数为10, Y(s)J(s):Et(s)3s2 2s -32=3= 0.8662nji2，n=5.44仃 =e 一玩适=0.433%h(二)=lim s (s) - =2.53-15 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半 虚根。s平面根的个数及纯(1)(2)D(s)D(s)5二 s5二 s(3)D(s)(4)D(s)5二 s5二s-
16、2s4 卜2s3 4s2 11s 10 =0 3s4 12s3 丁24s2 -32s-48=02s4 - s - 2=02s4 24s3 48s2 - 25s - 50 - 0解(1) D(s) =sRouth :S5S4S3S2S2s4 2s3 4s211s 10=04-12.6101110S010第一列元素变号两次,有 2个正根。(2) D(s) = s5 +3s4 +12s3 + 24s2 +32s+48=0Routh :S51232S4S333 12-24 二 42432 3-4848S234 24-3 16 小二12=16412 16-4 48 八 048SS0122448系统没有正
17、根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根,、54(3) D(s) =s +2s -s- 2=0辅助方程12s2 48 = 0,辅助方程求导：24s=0s1,2 = j 2。2s4 -2D二Routh :S524-25S448-50S3S224338/396-50S0-50第一列元素变号一次,2s4 48s21个正根;由辅助方程辅助方程2s4 48s2 -50 = 0辅助方程求导 8s3 96s = 02s4 +48s2 50 = 0 可解出:-50 =2(s 1)(s-1)(s j5)(s-j5)Routh :S510-1S420-2辅助方程 2s4 _ 2 = 0S380辅助方程求导8s3 -0
18、S2；-2S16 ；S0-2A列兀素变一一、次,有1个正根；由辅助方程42s -2 = 0可解出：= 2(s 1)(s-1)(s j)(s-j)s5 2s4 一 s 一 2 = (s 2)(s 1)(s -1)(s j )(s - j)(4) D(s) =s5 +2s4 +24s3 +48s2 25s50 = 03-16范围。控制系统结柳图题3-16图5432D(s)=s 2s 24s48s -25s-50 -(s 2)(s 1)(s-1)(s j5)(s- j5)题3-16图是某垂直起降飞机的高度控制系统结构图，试确定使系统稳定的由结构图，系统开环传递函数为:K(4s2 2s 1)G(s)、
19、(s2 s 4)井环增益Kk二K 4、系统型别v=3D(s)=54.3.2s s 4s 4Ks 2Ks K二0Routh :S5142KS414KKS3-4(1-K)KK 1S2(15 -16K)K-KK 16.15=1.0674(1 -K)S-32K 2 47K -160.536 :二 K :二 0.9334(1 -K)S0KK 0，使系统稳定的K值范围是：0.536 K0.933。3-17 单位反馈系统的开环传递函数为G(s)二s(s 3)( s 5)为使系统特征根的实部不大于 -1，试确定开环增益的取值范围。解 系统开环增益 K k =K/15。特征方程为：,、3- 2D(s) = s
20、8s 15s K =0做代换s = s-1有：D(s) =(s -1)3 8(s-1)2 15(s -1) K =s5s 2 2s (K -8) =0RouthS3S2518-K5K-8S0K-8使系统稳定的开环增益范围为:_815KkK / 180, K 1的条件下，确定使系统稳定的 T和K的取值范围，并以T和K为坐 标画出使系统稳定的参数区域图。解特征方程为:32D(s) =2Ts (2 T)s (1 K)s K = 0综合所得条件，当 K 1时，使系统稳定的参数取值3-19 题3-19图是核反应堆石墨棒位置控制闭环系统，其目的在于获得希望的辐射水平，增益4.4就是石墨棒位置和辐射水平的变
21、换系数，辐射传感器的时间常数为0.1秒，直 流增益为1,设控制器传递函数 Gc(s) = 1。箫望功率放大器 电机 雷轮 过行芹叵斗回4哥叵阳产：辐射传感戳题3Tq图反应堆石墨棒位置控制系筑(1) 求使系统稳定的功率放大器增益K的取值范围；1(2) 设K =20,传感器的传递函数 H (s)( 不一定是0.1),求使系统稳定的7s 1的取值范围。解 (1)当控制器传递函数 Gc(s) = 1时：，(s)=C(s)R(s)2.64K(0.1s 1)s(s 6)(0.1s 1) 2.64KD(s) =s(s 6)(s 10) - 26.4K=S3，16s2 60s，26.4K = 03Routh
22、: s1602S21626.4K K K 01960 -26.4K 八s 016S026.4K0 二 K :二 36.36“一1 一(2) K =20, H(s)=时s 1C(S) 一52.8(.s 1)R(s) s(s 6)( s 1) 52.8D(s) = s(s 6)( s 1) 52.8 = s3 (61)s2 6s 52.8 = 03Routh: s .6-0.167 .二 0.357s26152.816 -16.8 八5 06 1s052.83-20 题3-20图是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻 尼。/ 中 I1 I 0 5&| 题3-2。图船舶横插控制
23、系统(5)(1) 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数一3)-;Md(s)(2) 为保证M d为单位阶跃时倾斜角 e的值不超过0.1 ,且系统的阻尼比为 0.5，求Ka、Ki和Kg应满足的方程；(3) 取Ka=1时，确定满足(2)中指标的K1和Kg值。解 (1)0.5 =s20.2s 1 二0.5M d(s) -0.5KaKgS 0.5K1Ka - s2 (0.2 0.5KaKg)s (1 0.5K1Ka)1 -2_ _2_ _?s0.2s1s0.2s1令：9(g) = lim sM d (s) , 日(s)= lim s 1 , (s)=058, 0.2 + 0.25Kq 至 ：5 ,可解出
24、 Kg 之4.072。 g3-21 温度计的传递函数为 ，用其测量容器内的水温，1min才能显示出该温度的 Ts 198%的数值。若加热容器使水温按10oC/min的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数:,(s) =Ts 1由一阶系统阶跃响应特性可知：h(4T) = 98%,因此有 4T =1 min ,得出 T =0.25 min 。视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为：(s)1G(s)=;=1 - :-J(s) TsK =1/Tv = 1用静态误差系数法，当r(t) =10 4时,ess10_-W=10T =2.5 C。K解法二依题意，系统误差
25、定义为e(t) =r(t) c(t),应有C(s)R(s)11 Ts一 Ts 1 - Ts 1ess =sim0 s :：Je(s) R(s) =si”TssTs 110 =10T =2.5 C s3-22 系统结构图如题3-22图所示。试求局部反馈加入前后系统的静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数。解局部反馈加入前，系统开环传递函数为G(s)=10(2s 1)-2s (s 1)H3-22S第统绪梅国Kp=lim G(s)=二s 0Kv =呵 sG(s)二32 _Ka =l,ms G(s) =10局部反馈加入后，系统开环传递函数为一 2s 1G(s) =2 s10s(s 1)
26、_ 10(2s 1)_2_ _s(s s 20)Kp =lmG(s)=二Kv =l,msG(s) =0.5Ka =ljm s2G(s) =03-23已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)=7(s 1)s(s 4)(s2 2s 2)e(t) =r(t) -c(t)。试分别求出当输入信号r(t) =1(t), t和t2时系统的稳态误差解 G(s)=7(s 1)，、，2 一 一、s(s 4)( s 2s 2)X = 7/8v = 1由静态误差系数法r(t) =1(t)时，r(t) =t 时，2.r(t) =t 时，A 8ess - - = =1.14K 73-24系统结构图如题3-24图所示。已知
27、 r(t) = n1(t) =n2(t) =1(t),试分别计算r(t), n(t)和1(t)作用时的稳态误差，并说明积分环节设置位置对减小输入和干扰作用下的 稳态误差的影响。题A24图系统结构图解 G(s)二s(T1s 1)(T2s 1)K=v =1r(t)=1(t)时，essr =0；1.E(s) - s(T2s 1)fs 1)en1 (s)N1(s)1 ,Ks(T1s 1)(T2s 1) Ks(T1s 1)(T2s 1)11n(t) =1(t)时，essn1 =ljmsGen1(s)N1(s) =153”仁)= s-0Is K1山 g一(T2s 1)Ms 1)_en n2(t)=1(t)
28、时，essn2 =ls eq (s) N2(s) =hm sen2(s) 一 =0 sss 在反馈比较点到干扰作用点之间的前向通道中设置积分环节，可以同时减小由输入和干N2(s)1 .Ks(s 1)(T2s 1) Ks(T1s 1 )(T2 s 1)3-25系统结构图如题 3-25图所示，要使系统对r(t)而言是II型的，试确定参数Ko和七的值。题3-25图系统结构图K(. s 1)(Tis 1)(T2s 1)K( s 1)用牛 G(s)=1 KoK( s 1)(Tis 1)(T2s 1) - KoK( s 1)一 (Tis 1)睦 1)K(. s 1)Ko =1/KJ+t2一 T1T2s2
29、(T1 T2 -K0K )s (1 -K0K)1KoK=O依题意应有：30联立求解得1 +T2 _KoKe = 0此时系统开环传递函数为G(s)=K(T1T2)s KT1T2s2考虑系统的稳定性，系统特征方程为D(s) -T1T2s2 K(T1 T2)s K =0当T1, 丁2, K 0时，系统稳定。3-26 宇航员机动控制系统结构图如题3-26图所示，其中控制器可以用增益 K2来表示。宇航员及其装备的总转动惯量I =25kg m2o题A四图宇航员机动控制系统结构图(1)当输入为斜坡信号r(t)=t (m)时，试确定K3的取值，使系统稳态误差ess = 1 (cm)；(2)采用(1)中的 心值
30、，试确定Ki, K2的取值，使系统超调量 仃%限制在10%以内。解 (1)系统开环传递函数为G(一E(s)K1K2s(I s K1K2K3)s(sr(t) =t 时，令 ess=K3 0.592 o B 0 =0.6进行设计。K3, K1K2将I =25, K3 =0.01代入t = 3-52 =0.6表达式，可得2 IK1K 2 - 3600003-27大型天线伺服系统结构图如题3-27图所示，其中=0.707 , 0n=15, T =0.15(s)。(1) 当干扰n(t) =10 1(t),输入r(t) =0时，为保证系统的稳态误差小于0.01。，试确定ka的取值;(2) 当系统开环工作(
31、ka=0),且输入r(t)=0时，确定由干扰 n(t)=10 1(t)引起的系统响应稳态值。题3-2T图 天线控制系统结构图2 .-n( S 1)解 (1)干扰作用下系统的误差传递函数为3n(S)=旦一22N(s) s( s 1)(s2 nS -n ) Ka，n(t)=10 1(t)时，令essn lim S，N(S) Oen(s)lim s - Den(s)s 0 s100 , P之0。试分析:(1) P值变化(增大)对系统稳定性的影响；(2) P值变化(增大)对动态性能(仃, ts)的影响；(3) P值变化(增大)对r(t) = at作用下稳态误差的影响。解系统开环传递函数为-K21G(s
32、) =Ki2理3Y口圄某批昆杓壁k = K1/Pv = 1K1K2s)=K1K2Ks K1K2,n - K1K 2D(s) =s2 K2s K1K2(1)由 D(s)表达式可知，当 0 =0时系统不稳定,0 A 0时系统总是稳定的。3.5essa :K13-31设复合控制系统结构图如题3-31图所示。确定KC ,使系统在r (t) = t作用下无稳态误差。解系统误差传递函数为K2K3)(KeEs):一ss(TJ) e R(s) 1 , K2K3 , K1K2K4I2s s (Ts 1)s(s K2K3)(Ts 1) - K4Kc 1Ts3 (1 TK2K3)s2 K2K3s K1K2K4s K
33、2 s由劳斯判据，当 T、K1、K2、K3和K4均大于零，且(1+TK2K3)X3 TK1K4时，系统稳定。ess =lim s:：J e(s) s oK2 K3 - K4 KcK1K2K4K2K3K43-32 已知控制系统结构图如题 试求：(1)不加虚线所画的顺馈控制时,用下的传递函数n(s);3-32图所示，系统在干扰作题A3匚图 控制靠坡姑楂图(2) 当干扰n(t) = 1(t)时，系统的稳态输出;(3)若加入虚线所画的顺馈控制时，系统在干扰作用下的传递函数，并求n(t)对输出c(t)稳态值影响最小的适合 K值。解 (1)无顺馈时，系统误差传递函数为、 C (s)s 5J n(s)=N(
34、s)(s 1)(s 5) 20s 5s2 6s 25(2)Cn() = limsn(s) N(s) =!ms：n(s)=心吟=0s 25 J题37卷复钥踹扉统结啕图(3)有顺馈时，系统误差传递函数为1120KMs产N(s)?7 IL s 25 = s 5 - 20K120 s2 6s 25(s 1)(s 5)cn(二)=lim s:：Jn(s) N(s) = lim s:：Jn(s)s 0s 0得 K = 0.253-33设复合校正控制系统结构图如题3-33图所示，其中N(s)为可量测扰动。若要求系统输出C(s)完全不受N(s)的影响，且跟踪阶跃指令的稳态误差为零，试确定前馈补偿装置Gc1(s)和串联校正装置 Gc2(s)。:(S)C(s)-N(s)解（1）求 Gci（s）。令k2 r (、Ki%1 +_L 1LGci(s)r1Ts 十11 s j s(Ts + 1)Kzb+Ki KiGci(s)-1KlKiK2Gc2(s)- s(Ts 1) Ki(Ts 1)KiKzGc2(s)s s(Ts 1)得:Gci(s) =。Ki（2）求 Gc2（s）。Ki1 、力国 1 s一(s Ki)(Ts De R(s) 1KL. KiK2