数字信号处理习题与答案.docx

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1、解：系统的等效信号流图为:则由梅逊公式可得 =上j44yW -火原一 D= 4j0i)+4*l 1) X)Xn-O+X) + X-l)M)=7X-0+4o)+Xi)=iX) = x(n)*A(n)9.列出下图系统的差分方程，并按初始条件M力=了 +X-i)=2(i+；h-(4r+(4f，彳5-3 - 8-3 _ _11-有一理想柏祥系统n抽样频率为旦=6圣抽样后经 理想低通滤被器AX7。还原A其中二%g=凡C/。今有两个输入工. =8s2w% = cos5#间输出信号为 几小甫无失真?为什么？解：根据奈奎斯特定理可知：T&Oss2用九频谱中最高频率C.=加萼=3哥二九无失真& ,工加=85踊4

2、颛谱中最高频率。.=5网等=如 二九 a佚真。6.有一信号乂）,它与另两个信号耳H）和巧（句的关系是：MM-钟+3)石川1)八 fiYfiVJn()= - W 巧-11-铲|z|上=一.则有加)-ME)=刎吊+(喃用-地附-1) 二刎吊+物-D即 响(1-)=偏+对成所以玳2)=虹号X(w) 1-的广当瓦=g=1,. = 03时：目(办=瓦)号二婚1-41-0.记03 z-l=1-3/g-因为此系统是一个因果稳定系统；所以其收敛域为|z|t517 .设工是一离散时间信号，其z变换为彳，对下歹I信 号利用X(z)求它们的z变换：(a)玉(小二)，这里记作一次差分算子，定义为：Ax(h) = x(

3、n) - x(n -1)吟冗为偶数M力(0 士工加工网 解：(a)小)一为(胡-1)二则#幽工(1-d喇4鸟同二X d露(b)-rn I引 ，令=全则上式=口师)*=%(，)令戒心) .丝；由此可设E)=；h+(-i)伞) J-a则;烟=i/+(-1)水)二-Xe)+x(-小)金 金 I J1 .序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。一5/5-jnk解：X(k) = (n)Wnk = (n)e j 6n =0n =0=14 12e计算求得：X(0) =60_j2_L 2 k10e 6 8e_j 213k_j2_L4k6 6e 610eX(1) = 9 - j3,3 ;义(

4、2) = 3 j13;j立5k6一X(3) = 0 ; X(4)=3-jj3; X(5)=9+j3j3。2 .设 x(n) = R4 (n),(n) = x( n) 6、卜 r、 、，r . -._ .试求X (k)并作图表小(n), X (k)。,57,5jnk解：X(k)=、(n)W6 = (n)e 6 n =0n-0一j 二kt k1 e 3 e 3 - e-j k计算求得：X(0)=4; X(1)=-j%3; X(2)=1;X(3) = 0 ; X(4) =1文(5) = jV3o、门 n +1, 0 n 43 .设 x(n)=，h(n) = R4(n-2)0, 其匕n令 x(n) =

5、x(n)6 , h(n) =h(n)一 、 试求x(n)与h(n)的周期卷积并作图。解：在一个周期内的计算. . (n) = x(n) * h (n) = h(n - m)y(n) = x(n) * h (n) = h(n _ m)n h(n-m)123450沁）0011110141001111122100111103110011s411100165111100107设有两序列x(n) = x(n),0,0 n 5其他ny(n)=y(n),各作15点的DFT ,然后将两个0 n 14其他nDFT相乘，再求乘积的IDFT ,设所得结果为f (n),问f (n)的哪些点对应 于x(n)* y(n)

6、应该得到的点。解：序列x(n)的点数为N1 = 6, y(n)的点数为N2 =15故 x(n)* y(n)的点数应为：N = N1 + N2 -1 = 20又 f (n)为x(n)与y(n)的15点的圆周卷积，即L = 15所以，混叠点数为N-L = 20-15=5。用线性卷积结果 以15为周期而延拓形成圆周 卷积序列f(n)时，一个周期 内在n = 0至U n = 4(= N L 1)这5点处发生混叠，即f (n) 中只有n = 5到n = 14的点对应于x(n) * y(n)应该得到的点。8.已知x(n)是N点有限长序列，X (k) = DFTx(n)。现将 长度变成rN点的有限长序列y(

7、n)y(n)= x(n),0,0三n三N -1N n rN -1试求DFTy(n)(rN点DFT )与X (k)的关系。N 1 解：X(k) = DFT x nx(n) en =0rN 1.j 2-nkN 0 k N -1Y(k) = DFTy(n)= y(n)WNk n=0N,j23 nkk=、x(n)e N r = X (一)n“r二在一个周期内，Y(k)的抽样点数是N= 、.x( n) WrNkn=0k =lr(l =0,1,-1)X(k)的r倍(Y(k)的周期为Nr),相当于在X(k)的每两个值之间插入(r-1)个其他的数值(不一定为零)，而当k为r的整数l倍时,Y(k)与X(4)相等

8、。r9已知x(n)是长为N点的有限长序列，X(k) = DFTx(n)现将x(n)的每两点之间补进r-1个零值点，得到一个长为rN点的有限长度tx(n/ r), n = ir, 0 i N序列y, y、0, 其他n试求rN点DFTy(n)与X(k)的关系。N 1解：X (k) = DFTx n L % x(n)WNnk,0 k N - 1n =0rN -1Y(k) = DFTy(n) l- y(n)WNkn =0N 1N _1一irk 一ik八 x(ir/r)WrNk = xW；,0 k rN - 1i =0i d0Y(k) =X(k)NRrN(k)，Y(k)是将X(k)(周期为N)延拓r次形

9、成的，即Y(k)周期为rN。10.频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了 512个抽样的DFT ,试确定频谱抽样之间的证明：,fs=Ls 2上Foi%频率间隔，并证明你的回答。fo =2-其中Cs是以角频率为变量的频谱的周期, sC0是频谱抽样之间的频谱间隔。F0 =对于本题:fS = 8 KHz sN = 5128000F015.625Hz51211.设有一谱分析用的信号 假定没有采用任何殊数 如果采用的抽样时间间 (1)最小记录长度；处理器，抽样点数必须为2的整数募， 据处理措施，要求频率分辨力4 10Hz, 隔为0.1ms,试确定(2)所允许处理的信号的最 高频率；(3)在一个记录中

10、的最少点 数。1 一VTP =而F w10Hz a TP二最小纪录长度为0.1s1 s 10(2) fs113103 =10KHzT 0.1fs2fh,1 ,fh : - fs =5KHz二允许处理的信号的最高 频率为5KHz(3) N父殳=01父103 =1000，又因N必须为2的整数事T 0.1，一个纪录中的最少点数 为：N=210=1024用直接I型及典范型结构实现以下系统函数_12H(z)3 4.2z0.8z1 ZZ 1 Z 222 0.6z -0.4z1.5 2.1z,0.4z1.5 2.1z0.4z，解： - 1 0.3z0.2z1 -(-0.3zJ 0.2z,)Y(z)X(z)M

11、H (z)二 1anzn 1a1 = -0.3a2 = 0.2b0 =1.5 h =2.1b2 = 0.42.用级联型结构实现以下系统函数 试问一共能构成几种级联型网络H(z) ; r.51)(zz2019j；)8)H(z) 解：_ AfI 1=(1 - z -2zz_)(1 _ z_ 16z_ 1z_)(2-z_) 1= (1-5z, z12 3 ) (131-1 z- 2 )0t 1 ) - ,1kz12kz立 k 1-1kZkZ，4(1 z)(1 -1.4z/z)(1 - 0.5z/)(1 0.9z,0.8z)l ,，11 =1,21 - 0 ,I ,112 - -1.4,: 22 -

12、1: 11 =0.5,： 21 =0,12=0.9,： 22 = -0.8由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方 式，则有四种实现形式。3.给出以下系统函数的并联型实现。5.2 +1.58z,十 1.41z/一1.62-（1 -0.5z，（1 0.9z,0.8zl解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得:一一/_2_ _3H(z)=5.2 1.58z1.41z -1.6z_1_2(1 -0.5z )(1 0.9z0.8z )_0.21 0.3z一 1 -0.5zJ1 0.9z，0.8zG0 = 4:11 =0.5,210 M2 - -0.9, = 220.8=

13、020=1=0301.乙,1102,12.24.用横截型结构实现以下系统函数：H(z)= 1-lz j；1+ 6z% -2z,1+1z.-z) 2!6 6 J解：1 . 一. 一. 1 .H(z)=(1 - z，1 6z日(1 -2z、)(1 z、)(1z) 265 .已知FIR滤波器的单位冲击响应为h( n)=6 (nv0. 3 n(七).n 2 (+ * n0.1 1+(6 3n) -0试画出具级联型结构实现。N 1H (z) =、h(n)z” 根据 nz0得：H( z)= 1 0.230. Z7203 1 1Z0. 1 2= (1+0.z21 + 0.3)(1z,0.+1 zN 0. 4

14、)而FIR级联型结构的模型公式为：N 12JH(z) 一i (。 一:叱kz-2) k 11对照上式可得此题的参数为：01 = 1 ,飞2 = 1,11 =0.2 , 12 = 0.121 =0.3 ,22 = 0.46.用频率抽样结构实现以下系统函数:H(z)=5 -2z、-3z上1 -z4抽样点数N = 6,修正半径r =0.9解； 因为N=6,所以根据公式可得：H=16 -6一2(1 -r z ) H(z) H3(z)、H k(z)6_k T(5 3z- h(1) =h(3) = =0.6 )(1-z-3)H(z)= TP=(5 3z )(1 z,z) 故H(k)，心._j 二 k=(5

15、 3e,k)(1 e 3 因而H (0) = 24 , H (1) = 2 - 2、3j , H (2) = 0H(3) = 2, H(4) =0, H (5) =2 2，, 3j则 Ho(z)H3(z)H(0)1 -rzH(3)1 rz-1241 -0.9z21 0.9z求：Hk(z)k =1 时：H1(z)=11-2z rcos& +王N J2-01 =2ReH (1) l = 2Re2-2、3j = 4 f =(2) (0.9) Re H (1)W61 L 3.6 H1(z)=4 ；h(2) =1即h(n)偶对称，对称中心在 处，N为奇数(N =5)。z。1 -0.9z，0.81zqk=

16、2 时：P02 = P12 = 0，H2(z)=07.设某FIR数字滤波器的系统函数为：119_3_4H(z) = -(1 3z 5z 3z z ) 5试画出此滤波器的线性相位结构。 解：由题中所给条件可知：1331h(n) = 一 , (n) (n -1)(n - 2) 一, (n -3) (n - 4)55551 则 h(0)=h(4)= 0.251 ，、 1 ，、心4口口工八、力4y(n) = x(n) x(n -1) - y(n - 1) y(n - 2)8.设滤波器差分万程为：34试用直接I型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方 程。求系统的频率响应(幅度及相位)

17、 设抽样频率为10kHz，输入正弦波幅度为5,频率为1kHz，试求稳态输出。 解：直接I型及直接H :NM根据 y(n) = aky(n -k) +Z bkx(n -k)可得: k 1k z01a1 = 3 , a2 =b0 = 1, bl = * 14一阶节级联型:1 z-H(z)工1 - z - z341 z,1.10小1-103(1z )(1 -z )661 zJz 1r(1 -0.7z )(1 0.36z )一阶节并联型:H(z)=1 z110(1 -6 z)(1 -1 - .106z)720,101 7 .102 20d 110 41 - z61.j10z61.641 -0.7z0.

18、6由题意可知 H(z) =1 z1-1z-131-2z1 +e二 He )二 11 e 1一1ee j34(1 c o s) - j s i n1 - cos -3co2 . j 1 si n.,3=a r gd (ej ) 1 = -ar/ sin 、1 cos幅度为:口 H(ejs) =,(1 cos )2 sin 12112 (1 cos ： -cos2 )( sin ： T sin2.) 1.1.八si n si i2 -ar gtg(f一。一)1 cos c o234(3)输入正弦波为：x(t) =5sin(2可403)由 QT =2n 父10434相位为:Tl =2n 可得:周期为

19、：T1 =一=10，s=1ms1000又抽样频率为10kHz,即抽样周期为1 3 =0.1 104 -0.1ms10 103在x(t)的一个周期内，采样点数为10个，且在下一周期内的采样值与(0，2“)问的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为x(n) -5sin 2二 103 nT= 5sin1。3 2二 10%= 5sin 1n二(n =0,1,.”9) _5由此看出 根据公式可得此稳态输出为:12的结果（采=12.13cos02n -51.6 1并画出流图1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需50卜s每次复加5N s,用它来计算51少点*息：DF-计算需要多少时间，用工 o _ n

20、 ： NFFT运算需要多少时间n =nj2no,解：直接计算：复乘所需时间：工=5 1。 N2=51o5122= 1.31072s复加所需时间：T2 =0.5 10$ N (N -1)= 0.5 10上 512 (512 -1)同样：令N对于频率变量k = kiiko,=r2 rix(n)= x(n1r2=x(n1，no)ni = 0,1,2no = 0,1,2,3k(0 k :二 N)有41 = 0,123ko = 0,1,2n0) = x(4ni no)= 0.130816s.T =T1 T2 =1.441536s用FFT计算：复乘所需时间：T1 =5 10 210g2 N=5 10* 半

21、 log2512= 0.01152s复加所需时间：T2 =0.5 10， N 10g2 N= 0.5 10 上 512 log 2 512= 0.002304sX(k) = X(Kr1 ko) = X(3kk。)=X (k1, ko)11一nkX (k);x(n)W12n =032=x(n1,no)W124n1 o)(3k1 k0)no z=0n1 z0y(n) =5 H (ej)cos30n+arg H (ej)】4.试用N为组合数时的FFT算法求 N. T =T1T2 =0.013824sd 8 2 0 5 22053 J ,=1 zJ zz” - z -z，31 21 23_41 0.36z