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1、高中数学抛物线练习题、选择题:1.（浙江）函数y= ax2+1的图象与直线y= x相切，则a=（11(A) 8 4(C) 12(D)12.（上海）过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线（A.有且仅有一条2.3.抛物线x 4y上一点（A） 2B.有且仅有两条A的纵坐标为4,则点（B） 3C.有无穷多条D.不存在A与抛物线焦点的距离为（）(C) 4(D) 54.（辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为该双曲线与抛物线y2 4x的交点到原点的距离是3 .若它的一条准线与抛物线y2 4x的准线重合，则（ ）B. 421C.18 12.2D.
2、215 .（江苏卷）抛物线17（A ）16y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是15166 .（湖北卷）双曲线1(mn0）离心率为2,有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则 mn的值为A. AB. 3D. 83二、填空题:7 .顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是8 .若抛物线y2x m的焦点在x轴上，则m的值是B两点，且MA=MB.（1）若M为定点,（2）若M为动点,9.过（一1, 2）作直线与抛物线 y2 4x只有一个公共点，则该直线的斜率为_2 .10 .抛物线y 2x为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是三、解答题:11 .（江西卷）如图，M是抛物线上
3、y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、证明：直线 EF的斜率为定值；且/ EMF=90 ,求 EMF的重心 G的轨迹y2=2px(p0) 的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5,过 A 作 AB 垂直于y 轴 ,垂足为B,OB 的中点为 M.(1) 求抛物线方程(2)过M作MN FA,垂足为N,求点N的坐标；以M为圆心，MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时，丫讨论直线AK与圆M的位置关系 当 mo)则直线MF的斜率为一k,方程为y y0k(x y2).y. .2yyok(xyo),消 x得 ky2yyo(1kyo)0解得y
4、Fky0Xf(1kyo)2 k11 kyo1 kyo, yEyFkEF XeXf(1 kyo)2 (1 kyo)2k2k22k_ 4kyo k2(定值) 2yo所以直线EF的斜率为定值(2)当 EMF90o时，MAB 45o,所以k 1,直线ME的方程为yyo k(x y2)设重心yo2y 得 E(12 ,、yo) ,1yo)同理可得F(1yo)2, (1yo).xG (x, y),则有XM XEXFy2 (1yo)2(1yo)22 3y2XM XEXF3yo (1 yo) (1 yo)y。3消去参数yo得y2 -x 92227(x 3).4.解(1)抛物线y2=2px的准线为x=-p ,于是
5、4+p=5,p=2.，抛物线方程为 y2=4x.(2)二点A是坐标是(4,4),由题意得B(o,4),M(o,2),又F(1,o),kFA= ;MN FA,kMN =-,3 4则FA的方程为y= 4 (x-1),MN 的方程为y-2=- 3 x,解方程组得x= 8 ,y= - , z. N的坐标(-,-).34555 5(1)由题意得，圆M.的圆心是点(0,2),半径为2,当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离.当 mw4 时，直线 AK 的方程为 y=-(x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0,4 m圆心M(0,2)到直线AK的距离d= 2m 8，令d2,解得m1
6、当m1时，AK与圆M相离;,16 (m 4)2当m=1时，AK与圆M相切；当m1时，AK与圆 M相交.8.解：(I) F lFAFBA B两点到抛物线的准线的距离相等,抛物线的准线是x轴的平行线，y0, y 0 ,依题意y1，y不同日为0上述条件等价于y1y222XiX2XX2XiX20XiX2上述条件等价于x1x2即当且仅当x1x2 0 时,l经过抛物线的焦点(n)设l在y轴上的截距为b ,依题意得l的方程为y 2x bB的直线方程可写为“、-2 1*2满足方程2x2 -x2x2A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1 c .8m f40,13213.解:(I)设4AOB 的重心为
7、 G(x,y),A(x 1,y1),B(x2,y2),则XiX23yy23(1) OAXOBk0A kOB 1，即 x1x2Yi y21,(2)又点A, B在抛物线上，有y12Xi , y22,、X2，代入(2)化简得XiX2YiY21 / 22、y 二-(x1X2)331-(X1 3、2x2)2x1x21鼻(3x) 33x所以重心为G的轨迹方程为yc1_(II)SAOB 11OA|OB|3x2 2 31V(X12Yi2 )(X2y2)2222222Xi y2X2 y1y1 y2AOB由(I)得x：222 x16 x62611)22 12当且仅当Xi6 X6即XiX21时，等号成立。所以 AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1;