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1、山东省莱州一中2012届高三下学期第五次质量检测数学（理）试题 一、选择题（本大题共 12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中选择一个 符合题目要求的选项）1.已知全集 U =R ,集合 A=x|x3 , B =x|x2 3x 4E0,则集合 ARB=（）A. x| -2 x 4B. x|3 :二 x 4C. x | -2 x _ _1D. x | -1 x 32 .已知_x_ =1 _yi ,其中x,y是实数，i是虚数单位，则x + yi的共轲复数为（）1 iA. 1 2i B. 1 -2i C. 2 i D. 2-i23 .设椭圆 :+ y2=1的左焦点为F,P为椭圆上一点，
2、其横坐标为J3,则|PF |=（）A. 1 B.- C221 24.函数f （x） =lnx x2的大致图像是25.某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为（）A.720B.520C.6006 .在空间给出下面四个命题（其中 m、n为不同的两条直线） m _ ： ,n . ： - m _ n m 二：n,n := m J : m 三 n,n _ ：,m 乙二二:.- m An = A,m 二，m ： ,n : ; ： , n J -其中正确的命题个数有A.1 个B.2个 C.3个D.4个
3、7 .若右面的程序框图输出的S是126,则应为（）D.360，口、P为不同的两个平面）就了题图A. n6? B. n=5? C.n=7? D. n a 恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2一 一一10.函数 f(x)=3x x 1,x w1,2,任取一点x0 =-1,2,使f (x0)之1的概率是()A. 2B. 5 C.1D. 43 9494 a111 .若 f (2x+)dx =3+ln 2(a 1),则 a 的值是(1 x4叫 马T且满足a与b不共线，a_Lc为两边的三角形面积为邻边的平行四边形的面积A.24B.3C.412 .%a,
4、bC为同q邛内具有相同起点的任意三个非零向量，1a国则ib_Ci的值一定等于().A.以，甲为邻边的平行四边形的面积B.以b,C. a,b为两边的三角形面积D.以b,二、填空题(本大题共 4小题，每题4分，共16分)2213 .已知圆x2+y2 10x+24=0的圆心是双曲线 与L = 1(z 。)的一个焦点 则此双 a29曲线的渐近线方程为.14 .已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是 全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积 为.15 .已知O是坐标原点，点 A(1,0),若点M (x, y)为平面区域x y - 2_iJ -Ixx 0)上的动点，点P到点(0, 1)的
5、距离和它到焦点 F，、，一，八5的距离之和的最小值为 5.4(1)求曲线C的方程；(2)若点P的横坐标为1,过P作斜率为k(k 0)的直线交C于点Q ,交X轴于点M , 过点Q且与PQ垂直的直线与 C交于另一点N，问是否存在实数k ,使得直线MN与曲线 C相切？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由.222.已知函数 f(x)=x +axlnx,aWR.(I)若函数f (x)在1 , 2上是减函数，求实数 a的取值范围；(口)令g(x) = f (x) - x2 ,是否存在实数a ,当x w 0 e ( e是自然常数)时，函数g(x) 的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
6、(出)当 x/0, e时，证明：e2x2 - 5x (x +1)onx2高三第五次质量检测数学试题答案1-5 BDDBC 6-10 CADCD 11-12 AA13. y = x414. 36 冗 15.3216. 3217.解：(1)由 f (a) = 5，得 3sin2 口 + 2sin 口 cosot + 5cos2ot = 5.1 - cos2 :-1 cos2 工3+ V3sin 2a +5= 5. V3sin 2a 十cos2a =1,22即、3sin2： =1-cos2： = 2、3sin 二 cos： =2sin2：since =0或 tana =近,.tana =0 或 ta
7、n a = 432分X6分c q cosB 1cosB1(2)由=,得=,bcosC 2a -c sin BcosC 2sin A -sin C一1兀则 cos B =即 B =,238分又f (x) = 3sin2 x 2、, 3sin xcosx 5cos2 x =、, 3sin 2x cos2x 4 = 2sin(2 x ) 4610分1 ，故5 E f( R % ,即值域是5 , 612由 0x ,则 lw sin(2 x32618.取AB中点H ,则由PA = PB ,得PH _L AB ,又平面PAB，平面ABCD ,且平面 PABI平面ABCD = AB，所以PH _L平面ABC
8、D.以H为原点，建立空间直角坐标系H -xyz(如图)A(1,0,0), B(-1,0,0), D(1,-2,0), C(-1/J,0), P(0,0,、3)(I)证明：. PD =(1,2, - .3),AC =(-2, ,2,0), PDlAC =(1, .2, - 3) J；-2, .2,0) =0 PD 1 AC ,即 PD 1 AC.斗）假注目棱 PA上存在一点E ,不妨设 AE =7-AP（0 九M1）,则点E的坐标为(1,儿0, 师 , 8分BE = (2 - .,0, /3 ),BD =(2, .2,0)n _ BEn _ BD设n=(x,y,z)是平面EBD的法向量，则一2-
9、=0(2 - )x 0_y3 z-0 zx3,=0 2x2y oz = 0y_2x不妨取义=忌，则得到平面 EBD的一个法向量n = (J3, _J6, _2二土).九10分又面ABD的法向量可以是 HP =(0,0,回要使二面角E -BD 一 A的大小等于45 ,THP；|( ：3,- ,6, -)(0,0, .3) |则 cos45 =|cos|=|, |=|HPL|n| |(V3,-,6,-一)L|(0,0, 3)| 儿1 T 1 一 可解得，=,即AE =AP2 2AE 1故在棱PA上存在点E,当=时，使得二面角 E -BD - A的大小等于45 AP 212分19.解：设事件Ai表示
10、“该公司第i种产品受欢迎”，i= 1,2,3，由题意知4P(A) =：,P(A2) = p,5P(A3) =q 1分(I)由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“ 自=0”是对立的，所以该公司 至 少 有 一 种 产 品 受 欢 迎 的 概 率 是1 -P( =0) =1 -2 =3分45 45一 12(n)由题意知 P( =0) = P(AA2A3) =-(1 一 p)(1 q) =，P( = 3) = P(A1A2A0 54548 2 一 . 一21=一 pq = ,整理得 pq=_且p+q=1,由 pq,可得 p =-，q=5459337分(出)由题意知 a = P( =1) =P
11、(AA2A0 P(AiAAj) P(AA2A3)4 1113= -(1 - p)(1 -q) +二 p(1 -q)二(1 p)q =二，5 55459分b = p(g =2) =1 p仁=0) _P(W=1)p=3)=4510分一.27因此 EU = 0父 P(亡=0) +1 m P =1) + 2乂 P(之=2) +3x PK =3) =工1512分20.解：(i)由 a2 +a5 =12, a2a5 =27 ,且 d 0,所以 a2 =3,a5 = 9 ,(3从而 d =a5 向=2,a1 =1,. an =2n 1(nw N*) 3分)在已知Tn =2 bn中，令n =1,得b1 =1当
12、n至2时，Tn =2 bn, Tn=2 bn，两式相减得，bn = bn=bn,bnbni= 2(n_2),. bn =(2)n% N*)(6分)m &n1 (2n-1)2Sn 二二 n21 一分)则 Cn =0 - )也n =W - .)_(7(8当 n 至2时，Cn Cn=(n2 九)K：)n(n 1)2 九U：)n/2-n 4n 2 ，有 n 7时，cn -cn_1 E0=九 W23n E6时，Cn Cn至0nK至14则有14W九W23(12分)P 5121.解：(I)依题意知1 +二=,解得p=.2 42所以曲线C的方程为x2 = y 4分1(n)由题意直线 PQ的万程为：y=k(x1
13、) + 1,则点M (11,0)ky = k(x -1) 1联立方程组2，消去y得x2-kx+k-1 = 0y =x得Q(k -1,(k -1)2).6分21所以得直线QN的万程为y-(k-1)2 = (x-k+1).k代入曲线 y =x2 ,得 x2 +x1 +1(1 k)2 =0. k k11 2解得 N(1 - -k,(1 -k -)2).kk分1 21 2(1 -k )2(1 -k )2所以直线 MN的斜率kMN =k一丁 = _L11k(1 k).(1)kkk10分过点N的切线的斜率k =2(1 k 1).k。- k - 1)21由题意有 _J = 2(1 _ k _ 1).kk解得
14、k =二15.21 - 5故存在实数k = 1 7使命题成立212分12x2 ax -122. (I) f(x)=2x+a =0在1 , 2上恒成立.x x令 h(x) =2x2 +ax -1 ,a - -1h(1) 0彳曰有 信4h(2)三 0(n )假设存在实数a ,使g(x) = axln x(x w (0, e)有最小值3,/、1g (x) =a x4当 a W。时，g(x)在(0,e上单倜递减，g(x) min = g(e) = ae 1 = 3,a = (舍去)， e111当0 e时，g(x)在(0,)上单倜递减，在(一,e上单倜递增aaa1_2g(x)min =g(1) =1 +ln a =3,a =e ,满足条件.a-1 4.当一上e 时，g(x)在(0, e上单倜递减，g(x)min = g(e) = ae -1 = 3,a = 一(舍去)， ae综上，存在实数a =e2,使得当xW(0,e时g(x)有最小值3.(出)令 F(x) =e2xlnx,由(2)知，F(x)min = 3.令?(x)=叱+勺,9(x) = 1 - ln x , x 2x当00,h(x)在(0,e上单调递增15 15(x)max=；一二二3 e 2 2 22, ln x 5 2 25, e x -ln x + 一，即 ex x(x+1)lnxx 22