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1、高一数学数列综合复习人教版【同步教育信息 】一 . 本周教学内容：数列综合复习二 . 重点：通过复习对数列、等差数列和等比数列的有关概念、性质进一步掌握和灵活运用。【典型例题】 例 1已知等差数列 an 的首项 a11 ，公差 d0 ，且其第二、五、十四项分别是等比数列 bn 的第二、三、四项，求 an 与 bn 的通项公式。解： 依题意 (a1d)(a113d)( a14d )2 ( d0) ，则 d 2 ，又 a11，故an2n1，又 bn 为等比且 b23,b39 ，故 bn3n 1。 例 2已知等比数列 an 中， a10 ， Sn80,S2 n6560 ，前 n 项和中，值最大的项是
2、 54，求 an 。解： 由 a10 ， q1 ，则a1 (1q n )801q得 qn81 ，且 a1q 10 ，即得 q 1 。a1 (1q 2n )65601q故 an 是递增的等比数列，故前n 项和中最后一项an 为最大，则由已知an54 ，即 a1 qn 154 ，又 qn81则 a12 q 代入 a1q 1中，得 q3, a123因此 an 2 3n 1 例 3已知数列 an 的前 n 项和 Sn( p2)pan ,n N *, p 1，且 p2（ 1）证明：数列 an 是等比数列；（ 2）对一切 nN *, an1 an ，求实数 p 的取值范围。（ 1）证明：由 Sn( p2)
3、pa n ，则 Sn 1( p2)pa n 1当 n2时，两式相减，得SnSn1panpa n 1 (*)而当 n 2时， anSnSn 1故（ * ）式即 anpa npan 1整理，得 ( p1)anpa n 1又由已知 p1 0 ，故 anp1an1p所以数列 an 为以p为公比的等比数列p 1（ 2）由 Sn ( p 2) pan , n N *an 1 x2当 n1 时，由 S1a1 ，得 a1( p2)pa12p即 a11p故 ana1( p )n 1 ，即 an2 p (p ) n 1p11p1p由已知，对任意nN *an1anan1an0而 an 1an2 p (p ) n 1
4、 ( p1)p1p1p 1即 2p ( p ) n 1 (p1) 0p1p1p1由已知 p1，则p1,p10p1p1故上式只有当1p2才成立所以 p(1,2) 时，对一切 nN *,an1an 例 4已知 q0，且 q1，数列 an 是首项与公比都为q 的等比数列，bnan lg an ( nN *) ，如果数列 bn 中每一项总小于它后面的项，求q 的取值范围。解： 由已知 anqn， bnqnlg qnnqnlg q ，则bn 1(n 1)q n 1 lg q n 1bnnqnlg qq 。n当 q1 时， bn0,bn 10, bn 1bnbn11bn而 n1q1，故 q1 满足条件nb
5、n 1当 0 q1时， bn0, bn 10, bn 1bn1bn由 n1q1，即 qn1111nnn111上式对一切 nN * 恒成立，只须q111，故 0 q21 )2综上，所求 q 的取值范围是 (0,(1,)52 例 5设有数列 an ， a1，若以数列中的项an1, an 为系数的一元二次方程6an x1（ 1）求 an （ 2）求 an 解：0 都有实根、，且满足 331。的通项公式；的前 n 项和 Sn 。（ 1）由韦达定理an,1，代入an1an13()1，得an11，即an11 (*)3 an 1an 13 an 13引入参数，令 an1 (an1) ，即3an1 an 12
6、，令21 ,1，则（ * ）式即33332an1 1 (an 11 )又 a11 5 1 12322623故 an1 是首项为1 ，公比为1 的等比数列，则233an1 1 (1) n 1 ， an112333n2（ 2） Sna1a2.an11.11(23n )n1 1 (1) n 332nn1 113312223n13【模拟试题】一.选择题：1. 等比数列 an 中，已知 a1an66, a2 an1 128,Sn126 ，则 n（）A. 5B. 6C. 10D. 122.已知等比数列各项均为正数，它的前 n 项和记为 Sn ，若 S1010,S3070 ，则 S40（）A. 150B.2
7、00C. 150 或200D. 400 或503.若正数等比数列 an 的公比 q1 ，且 a3 ,a5, a6 成等差数列，则a3a5（）a4a6A.51B.51C.1D. 不确定222二.填空题：1. 已知数列 an 是等比数列，Sn 是它的前 n 项和， S102,S30S1012 ，则S60S30。2.等比数列 an 共有 2m 项，它的所有偶数项的和是所有项和的1 ，又 a1a2 a364 ，4则通项公式为。a2b23. 若 2， a， b，c， 18成等比数列，则 log 3 3a 2c2。三.解答题：1.已知 f ( x)2,f n1 ( x)f1 f n( x) (nN *)
8、，求满足f n ( 0)11 的正整数 n1xf n (0)29的取值范围。2. 已知数列 an ， bn 分别满足： a12, an 12an , b15, bn 1bn与 bn 的公共项由小到大排成的数列 cn 是等比数列，并求此数列的通项公式。3 ，试证 an 【试题答案】一 .1. B2. A3. A二.1. 1122. an4(1)n 23. 13三.1.解： f n ( x)2, f n (0)1 f n1 ( x)f n (0)1211f n 1 (0)f n ( 0)2221f n 1 (0)21f n 1 (0)1 f n 1 (0)1 f n 1 (0)2( f n1 (0
9、) 2)1f n 1 (0)故f n (0)11fn1 ( 0)1fn (0)22fn 1 (0)2因此数列f n ( 0)1为以f1 (0)11为首项1为公比的等比数列，则f n (0)2f1 (0)242f n (0)11，由11 ，得 n 3。fn ( 0) 22 n 12n 192. 解： an2n , bn3n2 ， 2n(3 1) n3k ( 1)n根据整数知识 2n3k(1)n ( kN *)当 n 为偶数时， 2 n3k1 ，此时 2n 不是 bn 中的项，因而不是公共项。当 n 为奇数时， 2 n3k13(k1)2 ，故 2n 是 bn 中的第 k1项（ k2 ），因此是公共项，所以 an 与 bn 的公共项为 an 中的奇数项且第一个公共项为a3 238所以 cn8 4n 122n 1 (n N *)