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1、相似三角形的判定一周强化一、知识概述l、相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边的比相等的三角形，叫做相似三角形(2)相似符号：相似用符号“”表示，读作“相似于”(3)相似特征：两个三角形的形状一样，但大小不一定一样(4)相似性质：相似三角形对应角相等，对应边的比相等(5)相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)2、相似三角形的基本定理(1)定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似(2)定理的基本图形，如图所示DEBC，ABCADE3、相似三角形的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似(2)平行法：平行于三角形
2、一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似(3)判定定理1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似(4)判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似(5)判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似二、重难点知识讲解1、记两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边；与全等三角形对应角(边)的识别有类似之处，相等的对应角所对的边是成比例的对应边；反之成比例的对应边所对的角是相等的对应角2、相似三角形的相似
3、比是有顺序的如：ABCABC，它们的相似比为k，则，如果写成ABCABC，它们的相似比为k，因此，3、全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形并不一定是全等三角形4、传递性：若ABCABC，且ABCABC，则ABCABC5、判定定理1和全等三角形的“边边边”定理类似，即三组对应边的比相等，就可以判定两个三角形相似6、当两个三角形有两组对应边的比相等时，可考虑用判定定理2证明两个三角形相似；定理可类比全等三角形的“边角边”定理，要特别注意“夹角”的含义，一定要扣住“对应”二字，写三角形相似时要把对应顶点写在对应的位置上7、判定定理3是判定三角形相似的常用的方法在两个三角形中，只要满足两个
4、角对应相等，那么这两个三角形相似，证明时，关键是寻找对应角；一般地，公共角、对顶角、同角的余角(或补角)都是相等的，在证明过程中要特别注意8、有关三角形的相似的基本图形（1）平行线型(如图)（2）双直角三角形中的相似三角形(如图)ABCDBA，ABCDAC，ABDCADAB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDDC三、典型例题讲解例1、如图，AOB与COD相似，A=C，下列各式正确的有（）B=D，A4个B3个C2个D1个分析：A=C，AOB=COD(对顶角相等)，B=D，AOB与COD的对应顶点是A与C、B与D、O与O，应记作AOBCOD，故只有正确解：C反思：解这类问题的关键是找到正确
5、的对应角与对应边例2、已知ABC与ABC中，能确定这两个三角形相似的条件是（）B=B=75，C=50，A=55；A=120，AB=7cm，AC=14cm，A=120，AB=3cm，AC=6cm；AB=6，BC=5，AC=8，BC=10，ABCD分析：在ABC中，B=75，C=50，A=180BC=55A=A=55，又B=B=75，ABCABC在ABC和ABC中，又A=A=120，ABCABC在ABC和ABC中，所以ABCBCA解：A反思：对于容易错误地认为CA，而只有B=B，所以ABC不相似于ABC；对于容易错误地认为，所以ABC不相似于ABC同时，还会出现将两个三角形相似记为ABCABC，使
6、对应顶点没有写在对应的位置上，因而误选B例3、如图，点E是ABC形外一点，D在BE上，且BAD=20，求EBC的度数分析：欲求EBC的度数，可先证ABCADE，得到ABC=ADE，进而可得BAD=EBC由已知条件，三组对应边的比相等的两个三角形相似解：，ABCADEADE=ABC即ABDBAD=EBCABDBAD=EBC又BAD=20，EBC=20反思：遇到两个三角形有两组对应边的比相等时，可考虑用判定定理1或定理2证明相似，若找到它们的夹角相等，则用定理2，若能发现第三边的比也相等，则用定理1例4、已知：如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在B
7、E上，连结DG并延长交AE于F，若FGE=45，（1）求证：BDBC=BGBE；（2）求证：AGBE；（3）若E为AC的中点，求EFFD的值.分析：这是一道综合考查相似三角形有关性质和判定的综合题.对于（1）我们可以将等积式化为比例式，然后用“三点定形法”找三角形，即四条线段分别在GBD和CBE中，再证明这两个三角形相似.BGD=FGE=45=C，GBD=CBE，故问题得证.对于（2），要证AGBE，即证BGA=90，直接证非常困难，注意到BAE=90，如果能证BGA=BAE问题就解决了，故可证ABGEBA.因为ABG=EBA，只须证，而RtABC,AB=AC,D为BC的中点，ADBC,AB2=BDBC，由（1）可知BDBC=BGBE，AB2=BGBE，故问题获解.对于（3）是求两条线段的比，可仿（1）可证得FGEFCD，因为ABAC，AGBE，AGEBGABAE，AB=AC，E为AC的中点，所以从而可推得，即EFFD=1答案：（1）证明：BGD=FGE=45=C，GBD=CBE，GBDCBE，即BDBC=BGBE（2）证明：BAC=90，AB=AC,D为BC的中点，ADBC,AB2=BDBC，由（1）知BDBC=BGBEAB2=BGBE，即ABG=EBA，ABGEBA.BGA=BAE，AGBE（3）EFFD=1