行测计算题技巧汇总.docx

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1、目录空瓶换饮料问题的最快求解公式 1八大类数列及变式总结 2数列运算的一些小技巧 9几个需要熟记的常见数列 11关于数算的心得体会 12解决牛吃草问题常用到四个基本公式 13鸡兔同笼问题 14一些小学行程题目（纯列式解题） 26数字的整除特性 30完全平方数 38数量关系 商品销售问题快速求解39关于页码中出现多少个N 这个数字这一系列问题的解答 43空瓶换饮料问题的最快求解公式6 个空瓶能换1 瓶汽水，要喝 157 瓶汽水（有一部分是用喝过的空瓶换的）至少要买多少瓶汽水？157-6X5=130.83 （向上取整）=131X=A+ N X（N-1）（向上取整）如改为 :每瓶饮料 1 元钱， 1

2、31 元最多能喝到多少瓶饮料，则为：131 芍 6=157.2 (向下取整)=157A=X+(N-1) N (向下取整)八大类数列及变式总结一、简单数列自然数列：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,奇数列：1, 3, 5, 7, 9,偶数列：2, 4, 6, 8, 10,自然数平方数列：1, 4, 9, 16, 25, 36,自然数立方数列：1, 8, 27, 64, 125, 216,等差数列：1, 6, 11 , 16, 21, 26,等比数列：1, 3, 9, 27, 81, 243,二、等差数列1, 等差数列：后一项减去前一项形成一个常数数列。例题：12, 17, 22, 27,

3、() , 37解析：17-12=5, 22-17=5,2, 二级等差数列：后一项减去前一项形成一个新的数列是一个等差数列。例题 1: 9, 13, 18, 24, 31,()解析：13-9=4, 18-13=5, 24-18=6, 31-24=7,例题 2.: 66, 83, 102, 123,()解析：83-66=17, 102-83=19, 123-102=21,3,二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1、” ”2的形式有关。例题 1： 0， 1 ， 4， 13， 40，（）解析：1-0=1, 4-1=3

4、, 13-4=9, 40-13=27,公比为3的等比数列例题 2： 20， 22， 25 ， 30 ， 37，（）解析：22-20=2, 25-22=3, 30-25=5, 37-30=7,.二级为质数列4，三级等差数列及变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，再在这个新的数列中，后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“ 1、” “ 2的形式有关。”例题 1：1 ， 9， 18， 29， 43， 61 ，（）解析：9-1=8, 18-9=9, 29-18=11, 43-29=14, 61-43=18,二级特征不明显9-8=1, 1

5、1-9=2, 14-11=3, 18-14=4,三级为公差为 1的等差数列例题 2.： 1， 4， 8， 14， 24， 42，（）解析：4-1=3, 8-4=4, 14-8=6, 24-14=10, 42-24=18,二级特征不明显4-3=1, 6-4=2, 10-6=4, 18-10=8,三级为等比数列例题3：（），40， 23， 14， 9， 6解析：40-23=17, 23-14=9, 14-9=5, 9-6=3,二级特征不明显17-9=8, 9-5=4, 5-3=2, 三级为等比数列三、等比数列1，等比数列：后一项与前一项的比为固定的值叫做等比数列例题： 36 ， 24，（） 32/

6、3 ， 64/9解析：公比为 2/3 的等比数列。2，二级等比数列变化：后一项与前一项的比所得的新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“ 1、” “ 2的形式有关。”3 / 46例题 1： 1， 6， 30，（）， 360解析：6/1=6, 30/6=5, （） /30=4, 360/ （） =3,二级为等差数列例题2：10，9， 17 ， 50，（）解析：1*10-1=9, 2*9-1=18, 3*17-1=50,例题3：16，8， 8， 12 ， 24， 60，（）解析：8/16=0.5, 8/8=1, 12/8=1.5, 24/12=2, 60*24=2.5,二

7、级为等差数列例题4：60，30， 20， 15， 12，（）解析：60/30=2/1, 30/20=3/2, 20/15=4/3, 15/12=5/4,重点：等差数列与等比数列是最基本、最典型、最常见的数字推理题型。必须熟练掌握其基本形式及其变式。四、和数列1，典型（两项求和）和数列：前两项的加和得到第三项。例题1： 85， 52，（），19， 14解析：85=52+ （） , 52= （） +19, （） =19+14,例题2： 17， 10，（），3， 4， -1解析：17-10=7, 10-7=3, 7-3=4, 3-4=-1 ,例题 3： 1/3， 1/6， 1/2 ， 2/3 ，（）

8、解析：前两项的加和得到第三项。2，典型（两项求和）和数列变式：前两项的和，经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。例题 1： 22， 35， 56， 90，（），234例题2： 4， 12 ， 8， 10，（）解析：前两项相加和再除2 得到第三项。例题3： 2， 1， 9， 30， 117， 441，（）解析：前两项相加和再乘3 得到第三项。3， 三项和数列变式： 前三项的和， 经过变化之后得到第四项， 这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的和与项数之间具有某种关系。例题1：1，1， 1，2 ，3， 5， 9，（）解析

9、：前三项相加和再减1 得到第四项。例题2：2，3， 4，9，12， 25， 22，（）解析：前三项相加和得到自然数平方数列。例题： -4/9， 10/9， 4/3， 7/9， 1/9，（）解析：前三项相加和得到第四项。五、积数列1，典型（两项求积）积数列：前两项相乘得到第三项。例题： 1， 2， 2， 4 ，（）， 32解析：前两项相乘得到第三项。2，积数列变式：前两项相乘经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数；或者是每两项的乘与项数之间具有某种关系。例题1： 3/2 ， 2/3， 3/4， 1/3， 3/8，（）解析：两项相乘得到1, 1/2, 1/4, 1/8,例题2

10、： 1， 2， 3， 35 ，（）解析：前两项的积的平方减1 得到第三项。例题 3： 2， 3， 9， 30， 273 ，（）解析：前两项的积加3 得到第三项。六、平方数列1，典型平方数列（递增或递减）例题： 196， 169， 144，（）， 100解析：14立方，13立方，2，平方数列变式：这一数列特点不是简单的平方或立方数列，而是在此基础上进行 “加减乘除 ” 的变化。例题 1： 0， 5， 8， 17，（）， 37解析： 0=12-1 ， 5=22+1 ， 8=32-1 ， 17=42+1 ，（） =52-1 ， 37=62+1例题 2： 3， 2， 11， 14 ， 27，（）解析：

11、12+2, 22-2, 32+2, 42-2, 52+2,例题 3： 0.5， 2， 9/2 ， 8，（）解析：等同于1/2, 4/2, 9/2, 16/2,分子为12, 22, 32, 42,例题 4： 17， 27， 39，（）， 69解析：17=42+1, 27=52+2, 39=62+3,3，平方数列最新变化 二级平方数列例题 1： 1， 4， 16， 49， 121，（）解析：12, 22, 42, 72, 112,二级不看平方1, 2, 3, 4,三级为自然数列例题 2： 9， 16， 36 ， 100 ，（）解析：32, 42, 62, 102,二级不看平方2, 2, 4,三级为

12、等比数列七、立方数列1，典型立方数列（递增或递减）：不写例题了。2，立方数列变化：这一数列特点不是简单的立方数列，而是在此基础上进行“加减乘除 ”的变化。例题 1： 0， 9， 26， 65， 124，（）解析：项数的立方加减1 的数列。例题 2： 1/8 ， 1/9， 9/64 ，（）， 3/8解析：各项分母可变化为 2， 3 ， 4， 5 ， 6 的立方，分之可变化为 1 ， 3， 9， 27 ， 81例题 3： 4， 11 ， 30， 67，（）解析：各项分别为立方数列加3 的形式。2313， 6， 9， 12， 15 的形式。（）例题4： 11 ， 33， 73，（），解析：各项分别为

13、立方数列加例题5： -26 ， -6 ， 2， 4 ， 6 ，）解析：（ -3） 3+1 ，（ -2） 3+2 ，（ -1） 3+3，（ 0） 3+4，（1） 3+5，八、组合数列1，数列间隔组合：两个数列（七种基本数列的任何一种或两种）进行分隔组合。例题 1： 1， 3， 3， 5， 7， 9， 13， 15，（），（）解析：二级等差数列 1, 3, 7, 13,和二级等差数列3, 5, 9, 15,的问隔组合。例题 2： 2/3， 1/2， 2/5， 1/3， 2/7，（）解析：数列2/3, 2/5, 2/7和数列1/2, 1/3,的间隔组合。2，数列分段组合：7 / 46例题 1： 6，

14、 12， 19 ， 27， 33，（）， 48解析：6 7 8 6 （） 8例题 2： 243， 217， 206， 197， 171，（）， 151解析：26 119 26 （）9特殊组合数列：例题 1： 1.01， 2.02， 3.04， 5.08，（）解析：整数部分为和数列1,2,3,5,小数部分为等比数列0.01,0.02, 0.04, 九、其他数列1，质数列及其变式：质数列是一个非常重要的数列，质数即只能被1 和本身整除的数。例题 1： 4， 6， 10， 14 ， 22，（）解析：各项除2得到质数列2, 3, 5, 7, 11,例题 2： 31， 37， 41， 43，（）， 53

15、解析：这是个质数列。2，合数列：例题： 4， 6， 8， 9， 10， 12，（）解析：和质数列相对的即合数列，除去质数列剩下的不含 1 的自然数为合数列。3，分式最简式：例题1： 133/57， 119/51 ， 91/39 ， 49/21 ，（）， 7/3解析：各项约分最简分式的形式为7/3 。例题2： 105/60， 98/56， 91/52， 84/48，（），21/12解析：各项约分最简分式的形式为7/4 。数列运算的一些小技巧等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如 24,70,208,622 ，规律为 a*3-2=b深一点模式，各数之间的差有规

16、律，如 1、 2、 5、 10、 17。它们之间的差为 1、 3、5 、 7 ，成等差数列。这些规律还有差之间成等比之类。B ，各数之间的和有规律，如 1 、 2、 3、 5、 8、 13 ，前两个数相加等于后一个数。3、看各数的大小组合规律，做出合理的分组。如 7,9,40,74,1526,5436 ， 7和 9， 40 和 74 ， 1526 和 5436 这三组各自是大致处于同一大小级，那规律就要从组方面考虑，即不把它们看作 6 个数，而应该看作3 个组。而组和组之间的差距不是很大，用乘法就能从一个组过渡到另一个组。所以 7*7-9=40 , 9*9-7=74,40*40-74=1526

17、 , 74*74-40=5436 ，这就是规律。4、如根据大小不能分组的，A,看首尾关系，如 7, 10, 9, 12, 11, 14,这组数 ；7+14 =10+11 =9+12。首尾关系经常被忽略，但又是很简单的规律。B,数的大小排列看似无序的，可以看它们之间的差与和有没有顺序关系。5、各数间相差较大，但又不相差大得离谱，就要考虑乘方，这就要看各位对数字敏感程度了。如 6、 24、 60、 120 、 210 ，感觉它们之间的差越来越大，但这组数又看着比较舒服（个人感觉，嘿嘿），它们的规律就是2A3-2=6、3A3-3=24、 4A3-4=60、5A3-5=120、6A3-6=210 。这

18、组数比较巧的是都是 6的倍数，容易导 入歧途。6） 看大小不能看出来的，就要看数的特征了。如 21 、 31 、 47 、 56 、 69、 72，它们的十位数就是递增关系，如 25、 58、 811 、 1114 ，这些数相邻两个数首尾相接，且2、 5、 8、 11 、 14 的差为3，如论坛上答：256 ， 269 ， 286 ， 302，(),2+5+6=132+6+9 = 172+8+6 = 163+0+2 =5, =256+13 =269269+17 =286286+16 =302 下一个数为 302+5 =307 。7)再复杂一点，如 0、 1、 3、 8、 21 、 55，这组数

19、的规律是b*3-a=c ，即相邻 3 个数之间才能看出规律，这算最简单的一种，更复杂数列也用把前面介绍方法深化后来找出规律。8)分数之间的规律，就是数字规律的进一步演化，分子一样，就从分母上找规律；或者第一个数的分母和第二个数的分子有衔接关系。而且第一个数如果不是分数，往往要看成分数，如 2 就要看成 2/1 。补充：中间数等于两边数的乘积，这种规律往往出现在带分数的数列中，且容易忽略如 1/2 、 1/6 、 1/3 、 2、 6、 3、 1/29 ) 数的平方或立方加减一个常数， 常数往往是1 ， 这种题要求对数的平方数和立方数比较熟悉如看到2、 5、 10、 17 ，就应该想到是1、 2

20、、 3、 4 的平方加 1如看到0、 7、 26、 63 ，就要想到是1、 2、 3、 4 的立方减 1对平方数，个人觉得熟悉120 就够了，对于立方数，熟悉110 就够了，而且涉及到平方、立方的数列往往数的跨度比较大，而且间距递增，且递增速度较快10 ) A人2 B=C 因为最近碰到论坛上朋友发这种类型的题比较多，所以单独列出来如数列 5， 10 ， 15 ， 85 ， 140 ， 7085如数列5,; 6,; 19,;17,;344 , 55如数列5,15,10, 215 ，115这种数列后面经常会出现一个负数，所以看到前面都是正数，后面突然出现一个负数，就考虑这个规律看看11 )奇偶数分

21、开解题，有时候一个数列奇数项是一个规律，偶数项是另一个规律，互相成干扰项如数列 1, 8, 9, 64, 25 ， 216奇数位 1 、 9 、 25 分别是 1 、 3 、 5 的平方偶数位 8、 64、 216 是 2、 4、 6 的立方先补充到这儿。 。 。 。 。 。12 ) 后数是前面各数之各，这种数列的特征是从第三个数开始，呈 2 倍关系如数列： 1 、 2、 3、 6、 12、 24由于后面的数呈2 倍关系，所以容易造成误解！数字推理的题目就是给你一个数列 , 但其中缺少一项, 要求你仔细观察这个数列各数字之间的关系 ,找出其中的规律,然后在四个选项中选择一个最合理的一个作为答案

22、 .几个需要熟记的常见数列11 / 46数字推理题中对数列的敏感非常重要， 下面共享几个比较常见的数列：1.1 ， 1 ， 2， 6， 24， 120 后除前为 1 ， 2， 3， 4， 52.1， 2， 3， 5， 8， 13瓦格纳数列 , 第三个为前两个和3.1， 2， 4， 7， 11， 16，22后减前为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 。 。15 / 464.5.1 ， 2， 5， 14 ， 41 ， 122 差是等比3， 4， 6， 9， 13 ， 18 ， 24 后减前8.1 ， 4 ， 27 ， 256 项数的项数次方关于数算的心得体会要熟练运用规律。拿到题目以后，怎样一眼

23、就能大致判断出这道题目含有什么规律呢？这也是有章可循的。做题目时，我们能够在一秒之内做出的判断，就是一个数列项数的多少和数字变化幅度的大小，包括备选答案的数字的大小。根据这些信息我们就可以基本知道这个数列含有某种规律。比如，给出的数列项数较多，有 6 项以上，一般可以首先考虑运用交替、分组和组合拼凑规律等。如果项数少就 3 项，一般只能用乘方和组合拼凑。如果数字之间变化幅度比较大，呈几何级增长，多半要用到乘法、二级等比和乘方规律。剩下的可以考虑用加减法、等差及变式和质数规律。此外，还可以根据数字之间变化呈现的曲线来判断。比如，如果数字变化呈平缓的一条线，一般用加减法；如果数字变化呈现的线条比较

24、陡，或者斜率绝对值较大，可以考虑用乘法、二级等比和乘方等；如果呈现抛物线形态，可考虑用乘方、质数等；呈 U 型线可考虑用减法、除法和乘方等；如果大小变动呈波浪线，主要考虑交替和分组。解决牛吃草问题常用到四个基本公式（1）草的生长速度吃的较少天数父吃的较多天数一相应的牛头数 工=对应的牛头数（吃的较多天数一吃的较少天数）；子吃的天数； 父吃的天数草的生长速度 父（2）原有草量=牛头数（牛头数草的生长速度）；* （3）吃的天数=原有草量吃的天数十草的生长速度。+ （4）牛头数=原有草量牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有 每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若

25、干头牛吃的这片地的草可以吃多 少大。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1 .（牛的头数X吃草较多的天数-牛头数X吃草较少的天数）一（吃的较多的天数- 吃的较少的天数 尸草地每天新长草的量。2 .牛的头数X吃草天数-每天新长量X吃草天数=草地原有的草。下面来看几道典型试题：例1.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？（）A.12 B.10 C.8 D.6解析：设每头牛每天吃1份草，则牧场上的草每天

26、减少(20 X5-16 X6)“6-5)=4 份草，原来牧场上有 20X5+5X4=120份草，故可供11头牛吃120+ (11+4)=8 天。例 2.有一片牧场， 24 头牛 6 天可以将草吃完； 21 头牛 8 天可以吃完， 要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？ ( )A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C。解析：设每头牛每天吃1份草，则牧场上的草每天生长出(21 X8-24 X6) +( 8-6)=12 份，如果放牧12 头牛正好可吃完每天长出的草，故至多可以放牧12头牛。例 3.有一个水池，池底有一个打开的出水口。用 5 台抽水机 20 小时可将水抽完，用 8 台抽水机 1

27、5 小时可将水抽完。 如果仅靠出水口出水， 那么多长时间将水漏完？ ( )A.25 B.30 C.40 D.45【答案】D 。解析：出水口每小时漏水为(8 X15-5 X20) + (20-15)=4 份水，原来有水8X15+4 X15=180 份，故需要180 W=45小时漏完。鸡兔同笼问题“鸡兔同笼 ”是一类有名的中国古算题 .最早出现在孙子算经中 .许多小学算术应用题都可以转化成这类问题， 或者用解它的典型解法- “假设法 ”来求解. 因此很有必要学会它的解法和思路.例 1 有若干只鸡和兔子，它们共有88 个头， 244 只脚，鸡和兔各有多少只？解：我们设想，每只鸡都是 “金鸡独立” ，

28、一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，?也就是244 攵=122 （只）.在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从 122 减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34 ，有 34 只兔子 .当然鸡就有54 只.答：有兔子34 只，鸡 54 只 .上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数+2-总头数二兔子数.上面的解法是 孙子算经 中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4 和 2 ， 4 又是 2 的 2 倍 .可是，当其他问题转化成这类问题时，

29、 “脚数 ”就不一定是4 和 2 ，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说例 1.如果设想88只都是兔子，那么就有4X88只脚，24 244只脚多了 88X4-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88X4-244 ） +（4-2） = 54 （只）.说明我们设想的 88 只 “兔子 ”中，有 54 只不是兔子.而是鸡. 因此可以列出公式：鸡数二（兔脚数X总头数-总脚数）+ （兔脚数-鸡脚数）当然,我们也可以设想88只都是 鸡”，那么共有脚2X88=176 （只），比244只脚少了 244-176=68 （只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）

30、只脚，68+2=34 （只）.说明设想中的 “鸡 ”，有34 只是兔子，也可以列出公式：兔数二（总脚数-鸡脚数X总头数）+ （兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数 .假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为 “假设法 ”.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式 .例 2 红铅笔每支0.19 元， 蓝铅笔每支0.11 元， 两种铅笔共买了 16 支， 花了 2.80元 .问红、蓝铅笔各买几支？解：以 “分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有 11 只脚，一种 “兔子 ”有 19 只脚，它们共有 16 个头， 280 只脚

31、.现在已经把买铅笔问题，转化成 “鸡兔同笼 ”问题了 .利用上面算兔数公式，就有：蓝笔数=（19X16-280 ） + （19-11 ） =24 + 8=3 （支）.红笔数 =16-3=13 （支） .答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔 .对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性 . 例 2 中的 “脚数 ” 19与 11之和是 30. 我们也可以设想16 只中， 8 只是 “兔子 ” ， 8 只是“鸡 ” ，根据这一设想，脚数是 8X （ 11+19 ） =240.比 280 少 40.40 + （19-11 ） =5.就知道设想中的 8 只 “鸡”应少 5 只，也就是“鸡”

32、（蓝铅笔）数是3.30 X8比19 X16或11 X16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16 只中， “兔数 ”为 10， “鸡数 ”为 6，就有脚数19 X10+11 X6=256.比 280 少 24.24 + （19-11 ） =3 ,就知道设想6 只 “鸡”，要少 3 只.要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子.例 3 一份稿件，甲单独打字需 6 小时完成 . 乙单独打字需10 小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7 小时 .甲打字用了多少小时？解

33、：我们把这份稿件平均分成30 份（ 30 是 6 和 10 的最小公倍数） ，甲每小时打甲每小时打 30+6=5 （份），乙每小时打 30 + 10=3 （份）.现在把甲打字的时间看成 “兔”头数，乙打字的时间看成 “鸡 ”头数，总头数是7. “兔的脚数是 5 ， “鸡”的脚数是3 ，总脚数是30 ，就把问题转化成 “鸡兔同笼 ”问题了 .根据前面的公式兔”数二（30-3 7） + （5-3）=4.5“鸡”数=7-4.5=2.5 ，也就是甲打字用了 4.5 小时，乙打字用了 2.5 小时 .答：甲打字用了 4 小时 30 分 .例 4 今年是 1998 年，父母年龄（整数）和是78 岁，兄弟的

34、年龄和是17 岁 . 四年后 （ 2002 年） 父的年龄是弟的年龄的 4 倍， 母的年龄是兄的年龄的 3 倍 .那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一年？解： 4 年后，两人年龄和都要加 8. 此时兄弟年龄之和是17+8=25 ，父母年龄之和是 78+8=86. 我们可以把兄的年龄看作 “鸡”头数，弟的年龄看作 “兔”头数 .25 是 “总头数 ” .86是 “总脚数 ”. 根据公式，兄的年龄是：（25X4-86 ） + （4-3） =14 （岁）.1998 年，兄年龄是14-4=10 （岁） .父年龄是（25-14 ） X4-4=40 （岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的 3 倍

35、时，兄的年龄是（40-10 ） + （3-1 ） =15 （岁）.这是 2003 年 .答：公元 2003 年时，父年龄是兄年龄的 3 倍 .例 5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有6 条腿和 2 对翅膀，蝉有6 条腿和 1 对翅膀 . 现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀 . 每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成 “8 条腿与 “6 条腿 ”两种 .利用公式就可以算出 8 条腿的蜘蛛数=（118-6X18） +（8-6） =5 （只）.因此就知道6 条腿的小虫共18-5=13 （只） .也就是蜻蜓和蝉共有13 只，它们共有20 对

36、翅膀 .再利用一次公式蝉数=（13X2-20） +（2-1） =6 （只）.因此蜻蜓数是13-6=7 （只） .答：有 5 只蜘蛛， 7 只蜻蜓， 6 只蝉 .例 6 某次数学考试考五道题， 全班 52 人参加， 共做对 181 道题， 已知每人至少做对 1 道题，做对1 道的有 7 人， 5 道全对的有6 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对4 道的人数有多少人？解：对 2 道、 3 道、 4 道题的人共有52-7-6=39 （人） .他们共做对181-1 7-5 6=144 （道）.由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5 道题的人(2+3 ) +

37、2=2.5 ).这样兔脚数二4 ,鸡脚数=2.5，总脚数=144，总头数=39.对 4 道题的有(144-2.5 39) + (4-1.5) =31 (人).答：做对 4 道题的有 31 人 .例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票，共花6 元 8 角 .已知8 分的邮票比 4 分的邮票多40 张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出 40 张 8 分的邮票，余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多 .(680-8 M0) + (8+4) =30 (张)，这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有 30 张 .因此 8 分邮票有 40+30=70 (张) .答：买了 8 分的邮票 70

38、张， 4 分的邮票 30 张 .也可以用任意假设一个数的办法 .解二：譬如，假设有20 张 4 分，根据条件 “8 分比 4 分多 40 张 ” ，那么应有60 张8分.以 分”作为计算单位，此时邮票总值是4X20+8 X60=560.比680少，因此还要增加邮票.为了保持 “差”是 40，每增加 1 张 4 分，就要增加1 张 8 分，每种要增加的张数是：(680-4 )20-8 60) +(4+8) =10 (张).因此 4 分有 20+10=30 (张) ， 8 分有 60+10=70 (张) .例 8 一项工程，如果全是晴天， 15 天可以完成. 倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成

39、？解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150 份，晴天每天完成10 份，雨天每天完成 8 份.用上一例题解一的方法，晴天有（150-8 3 + （ 10+8 ） = 7 （天）.雨天是 7+3=10 天，总共 7+10=17 （天） .答：这项工程17 天完成 .请注意，如果把 “雨天比晴天多 3 天”去掉，而换成已知工程是17 天完成，由此又回到上一节的问题 .差是 3， 与和是 17 ， 知道其一， 就能推算出另一个.这说明了例7 、例8 与上一节基本问题之间的关系 .总脚数是 “两数之和” ，如果把条件换成“两数之差 ” ，又应该怎样去解呢？例 9 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔

40、的脚数少28. 问鸡与兔各几只？解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28+2=14 （只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4+2=2 （倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是：（100+28 + 2） + （2+1 ） =38 （只）.鸡是： 100-38=62 （只） .答：鸡 62 只，兔 38 只 .当然也可以去掉兔 28+4=7 （只）.兔的只数是（100-28 F） + （2+1 ） +7=38 （只） 也可以用任意假设一个数的办法 .解二：假设有50 只鸡，就有兔100-50=50 （只） .此时脚数之差是：4X50-2 50=100 ,比 28 多了 72.就说明假

41、设的兔数多了 （鸡数少了）.为了保持总数是100 ， 一只兔换成一只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相差为 6 只（千万注意，不是2） . 因此要减少的兔数是：（100-28 ） + （4+2 ） =12 （只）.兔只数是：50-12=38 （只） .另外，还存在下面这样的问题：总头数换成 “两数之差” ，总脚数也换成“两数之差 ”.例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字 .有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首，总字数却反而少了 20个字 . 问两种诗各多少首.解一：如果去掉13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差13 X

42、5X4+20=280（字）.每首字数相差：7X4-5 4=8 （字）.因此，七言绝句有： 28+（28-20 ） =35 （首）.五言绝句有： 35+13=48 （首） .答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首 .解二：假设五言绝句是 23 首，那么根据相差13 首，七言绝句是10 首 .字数分别是20X23=460 （字），28X10=280 （字），五言绝句的字数，反而多了： 460-280=180（字） .与题目中 “少 20 字”相差： 180+20=200 （字） .说明假设诗的首数少了 .为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8. 因此五言

43、绝句的首数要比假设增加200 8=25 （首）.五言绝句有23+25=48 （首）.七言绝句有10+25=35 （首）.在写出 “鸡兔同笼 ”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例 7 、例 9 和例 10 三个问题， 当然也可以这样假设. 现在来具体做一下， 把列出的计算式子与 “鸡兔同笼 ”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.例7,假设都是8分邮票，4分邮票张数是（680-8 40） + （8+4） =30 （张）.例9,假设都是兔，鸡的只数是（100X4-28） + （4+2 ） =62 （只）.例10,假设都是五言绝句， 七言绝句的首数是（20X13+20 ） + （28-20

44、 ） =35 （首）.首先， 请读者先弄明白上面三个算式的由来， 然后与 “鸡兔同笼 ”公式比较， 这三个算式只是有一处“-”成了“ +”.其奥妙何在呢？当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.例11有一辆货车运输2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只 2 角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1 元 .结果得到运费 379.6 元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是400 元.但破损一只要减少1+0.2=1.2 （元） .因此破损只数是（400-379.6 ） + （1+0

45、.2 ） =17 （只）.答：这次搬运中破损了 17 只玻璃瓶 .请你想一想，这是 “鸡兔同笼” 同一类型的问题吗？例 12 有两次自然测验，第一次24 道题，答对1 题得 5 分，答错（包含不答） 1题倒扣 1 分；第二次15 道题，答对1 题 8 分，答错或不答1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对30 道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验24题全对，得5X24=120 （分）.那么第二次只做对30-24=6 （题）得分是：8X6-2 X（15-6） =30 （分）.两次相差：120-30=90 （分）.比题目中条件相差 10 分，多了 80 分 . 说明假设的第一次答对题数多了，要减少 .第一次答对减少一题，少得5+1=6 （分） ，而第二次答对增加一题不但不倒扣 2 分， 还可得 8 分， 因此增加 8+2=10 分.两者两差数就可减少6+10=16 （分）（90-10 ） + （6+10 ） =5 （题）.因此，第一