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1、 第五章二 次 型习 题 五（A） 1、写出下列二次型的矩阵（1）=；（2）=。解：（1）因为 =,所以二次型的矩阵为：。（2）因为 =，所以二次型的矩阵为：。2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：（1）； （2）。解：（1）设，则 =XTAX= =。（2）设，则 =XTAX= =。3、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。（1）=；（2）=；（3）=。解：（1）二次型的矩阵 A=。A的特征方程为 =0，由此得到A的特征值，。对于，求其线性方程组，可解得基础解系为 。对于，求其线性方程组，可解得基础解系为： 。 对于，求其线性方程组，可解得基础解系为： 。将单位化，得 ， ，
2、 ，令 P=，则 PTAP=diag(-2,1,4)=。作正交替换X=PY，即 ，二次型可化为标准形： 。（2）类似题（1）方法可得： P=，PTAP=，即得标准形：。（3）类似题（1）的方法可得： P=， PTAP=，即得标准形：。4、用配方法将下列二次型化为标准形：（1）=；（2）=；（3）=。解：（1）先将含有的项配方。=+ =+，再对后三项中含有的项配方，则有 =+=+。设Y=，X=，B=，令Y=BX，则可将原二次型化为标准形。（2）此二次型没有平方项，只有混合项。因此先作变换，使其有平方项，然后按题（1）的方法进行配方。令 ，即=。则原二次型化为=+ =+ =，设Y=，Z=，B=，令
3、Z=BY，则可将原二次型化为标准形。（3）类似题（2）的方法，可将原二次型化为标准形：。5、用初等变换法将下列二次型化为标准形：（1）=；（2）=；（3）=。解：（1）二次型的矩阵为 A=。于是=。令 C=，作可逆线性变换X=CY，原二次型可化为标准形： =。（2）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形： = 。（3）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形： = 。 6、已知二次型 =的秩为2。求参数c的值，并将此二次型化为标准形。解：二次型的矩阵为 A=。因为A的秩为2，令detA=0，可得c=3。即 =也就是A= ，通过初等变换法，即可将其化为标准形：。 7、设2n元二次型 =试用可逆
4、线性替换法将其化为标准形。解：令 ， P=，即作正交变换X=CY，二次型可化为标准型： 。8、已知二次型=(a0)通过正交变换化为标准型，求的值及所作的正交替换矩阵。解：因为原二次型可化为，可知原二次型的矩阵的特征值为1，2和5。而原二次型的矩阵为 A=。故A的特征方程为 =0。因此将此特征方程的解1，2，5代入得：a=2。对于，求其线性方程组，可解得基础解系为。对于，求其线性方程组，可解得基础解系为： 。对于，求其线性方程组，可解得基础解系为： 。将单位化，得 ， ， ，故正交替换矩阵为： P=。9、判别下列二次型是否为正定二次型：（1）=；（2）=；（3）= 。解：（1）二次型的矩阵为 A
5、=。由于50，=260，=840,即A的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的。（2）二次型的矩阵为 A=。由于 |A|=-35880，故此二次型不为正定的。（3）二次型的矩阵为： A=。由于 =-90, =0, |A|=0，由此解得：。（3）二次型的矩阵为： A=。由 20, 0, |A|=0，解得：。11、设A、B为n阶正定矩阵，证明BAB也是正定矩阵。证明：由于A、B是正定矩阵，故A及B为实对称矩阵。所以(BAB)T=BTATBT=BAB，即BAB也为实对称矩阵。由于A、B为正定矩阵，则存在可逆矩阵C1，C2，有 A= C1TC1，B= C2TC2，所以BAB= C2TC2C1TC1
6、C2TC2=(C1C2TC2)T(C1C2TC2)，即BAB也是正定矩阵。12、设A是可逆矩阵，证明ATA为正定矩阵。证明：显然，ATA为对称矩阵，又因为ATA=(AT)A,又A是可逆矩阵，所以ATA为正定矩阵。13、如果A，B为n阶正定矩阵，则A+B也为正定矩阵。证明：由于A、B是正定矩阵，故A及B为实对称矩阵。从而A+B也为实对称矩阵，而且 ，为正定二次型。于是对不全为零的实数，有 ，。故 h=+，即二次型h=为正定的，故A+B为正定矩阵。14、设A为正定矩阵，则A-1和A*也是正定矩阵。其中A*为A的伴随矩阵。证明：因为A为正定矩阵，故A为实对称矩阵。从而即也为对称矩阵， 即也为对称矩阵
7、。 由已知条件可知，存在可逆矩阵C，使得 。于是 =， =，其中Q=，P=都为可逆矩阵。故A-1和A*都为正定矩阵。15、设A为nm实矩阵，且r(A)=mn，求证：（1）ATA为m阶正定矩阵；（2）AAT为n阶半正定矩阵。证明（1）因为A为nm实矩阵，所以为mn矩阵，又r(A)=mn ，因此，方程组AXO , 只有零解。于是对于任意的X O , 有AX O 。则XT（ATA）X（AX）T（AX） 0 。因此，为正定矩阵。（2）因为A为nm实矩阵，所以为mn矩阵，又r(A)=mn ，因此，方程组ATXO , 有非零解。即存在X0 O , 有AX0 = O 。于是对于任意的X O , 有 XT（A
8、AT）X（A T X）T（A T X） 0 。因此,为半正定矩阵。16、试证实二次型是半正定的充分必要条件是的正惯性指数等于它的秩。证明：充分性。设的正惯性指数等于它的秩，都是r，则负惯性指数为零。于是可经过线性变换X=CY变成 =。从而对任一组实数，由X=CY可得Y=C-1X，即有相应的实数，使=0.即为半正定的。必要性。设为半正定的，则的负惯性指数必为零。否则，可经过线性变换X=CY化为 =，sr。于是当yr=1，其余yi=0时，由X=CY可得相应的值，带入上式则得 =10。这与为半正定的相矛盾，从而的正惯性指数与秩相等。17、证明：正定矩阵主对角线上的元素都是正的。证明：设矩阵A为正定矩阵，因此 为正定二次型。于是对不全为零的实数，有 ， 取，(i=1,2,n)则，(i=1,2,n)即主对角线上的元素都是正的。