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1、线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V中，如果有n个向量/，0(n满足：%(，明线性无关。(2)V中任一向量口总可以由ot1, a2.otn线性表示。那么称V为n维(有限维)线性空间，n为V的维数，记为dimv = n ,并称 CClg，Ctn为线性空间V的一组基。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。例1设丫 =X AX =0, A为数域P上mn矩阵，X为数域P上n维向量，求V 的维数和一组基。解 设矩阵A的秩为r,则齐次线性方程组 AX =0的任一基础解系都是 V的基，且V的维数为n -r 00 0 a)例2数域
2、P上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成I-a bJ的线性空间，求此空间的维数和一组基。解易证0 1y0 0 0 八0 h为线性空间V=-aab;a,bp 的一组线性无关的向J量组，且对V中任兀奈-aab;00；00按定义为V的一组基,V的维数为2。方法二 在已知线性空间的维数为 n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线(1卜与复数域0力C作为实数域R上的线性空间性空间的基。例3假定R Ixn是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，2n 1证明：1,(x1 )(x1)/H,(x1)构成 Rix1的基。n 1证明 考察 ki 1 +k2(x1)+川+k
3、n(x1) =0由xn的系数为0得kn = 0 ,并代入上式可得xnN的系数kn=0依此类推便有kn = kn1=| 11 = k1 = 0 ,n 1 .故 1,(x1 )|,(x1 )线性无关又Rix】n的维数为n，于是1,(x1 )|,(x1为Rxn的基。方法三利用定理：数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的 维数。,证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式f ( A)组成的V =Q+bi| a,b wr同构，并非求它们的维数。证明 V中任一多项式可记为f ( A尸aE+ bA( a b R,建立V到V的如下映射二：二 1 =a1bli f1A =a1E b1A 2心
4、 R一、. 一 ._ . . .易证仃是V到V上的单射，满射即一一映射。再设 a2 =a2 +b2i, a2,b2 e R, K e R ,则有二: 1 . ：2 :尸一唯自 ab1 b2 i = a1 . a2 E . h - b2 A =。L,受二 k - 1 -；ka1 kb|i =kaE ka1A = k。故仃是V到V的同构映射，所以V到V同构另外，易证V的一个基为1, i ,故dimV =2VVVdimV =2方法四 利用以下结论确定空间的基：设%02,11,%与日1,%11,是n维线性空间V中两组向量,已知3,丹川，0n可由 巴户2,川，线性表出：1 =ai1?1 - a21?2
5、HI - an1：n：2 =a121 , a22：-2 HL an21 n-n =a1n1 , a2n：2 , HI - Hnn)na11 a12 III a1n令A =如 a22川a2 n;an1 an 2 川 ann )如果尸2,川，、为V的一组基，那么当且仅当A可逆时，目1,久,111,4也是V的一组基。例5已知1,x,x2, X3是p 1x14的一组基，证明1,1 + x,(1 + x )2 ,(1 +x;也是p x4的一 组基。证明因为231 =1 1 0 x 0 x 0 x2 31 x = 1 1 1 x 0 x 0 x(1 +x 2 =1 1 +2 x +1 x2 +0 x33
6、231 x = 1 1 3 x 3 x 1 x二01111 0 12 3 0 0 12 0 0 0 123所以 1,1+x,（1+x）,（1+x）也为 px的一组基。方法五 如果空间V中一向量组与 V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。例6设R lx 1表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明 x2+x,x2x, x+1为这空间的一组基。 22证明 k1 x x k2 x -xk3 x 1 =0则 k1 k2 =0k1 -k2 k3 =0k3 =0解得 k3 = k2 = k1 =0于是x2 +x,x2 -x,x+1线性无关，它们皆可由x2,x
7、,1线性表示，因此x2+x, x2x, x+1与x2,x,1等价，从而 Rx】2中任意多项式皆可由x2+x, x2x,x + 1线性表示，故x2+x,x2x,x+1为R fx】2的基。方法六利用下面两个定理：定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。定理二：任何一个 mn矩阵A,总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵:,其中Ir表示r阶单位矩阵。0 0J依据这两个定理，我们可以很方便地求出VlP|V2的一个基，从而确定了维数。例7设V1 =L(a,a2 ),V2 =L(P1,P2 )是数域F上四维线性空间的子空间，且%=(1,2,1,0 ),% =(1,1,1,
8、1)出=0-1,0,1 )久=(1,137 1求ViDV2 的一个基与维 数。解若 r w V1 |V2,则存在 X, X2, y1，一丫2 亡 F ,使r =x1 +x22 = y#1 y2P2(1)即有 X1四 + x2a2 十 y1 01 + y2 02 = 0 (2)若叫 P2, P1, 02线性无关，(2)仅当x = x2 = y1 = y2 = 0时成立那么V1CIV2是零子空间，因而没有基，此时维数为 0, V +V2是直和若存在不全为零的数 x1，x2,y1,y2使(2)成立，则V1P1V2有可能是非零子空间若为非零子空间，由(1)便可得到基向量r o以巴,石书邛2为列向量作矩
9、阵 A,经行初等变换将 A化为标准阶才I1形矩阵 Ao12 A =10-1211-1-110311710 0-10 104=A0 0 13、0 0 00, r =-o(1 +4a2 =-31 +打=(5,2,3,4 MV2 的一个基dim V1 HV2 =1同时知，31p2是V1的一个基，dimV1=2及2是V2的一个基，dim V2 =2%,%,九 久是M +V2的一个基，dim(M +V2 产秩(A)=3方法七 在线性空间V中任取一向量a ,将其表成线性空间 V 线性无关向量组的线 性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。例8求Vi=L(o(i,
10、%)与V2 = L(Pi, P2)的交的基和维数。、几四=(1,2,1,0)=(2,-1。1)-2 =(-11,1,1)2 =(1,-1,3,7)解任取 v w V1 Hv2，则 a w V1, a = x1a1 +x2a2，且 a w V2, a = y1 01 + y2P2,a =、% +X24 =丫1总+y2P (注：此时 a虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在V1、V2中的表示，并非本题所求，即要在空间V1V2中将a线性表出)，xm +X2% 一乂&一y2P =0,求 X1,X2, y1,y2X1 - X2 -2 y1 y2 =0J 2X1 +X2 -必 +y2 =0X1 X2-3
11、y2 = 0X2-y7 y2 =0解得(X1,X2, y1,y2) =(k, -4k, -3k,k)二=k(:1 -4： 2) -k(-3 :1-)=k(5,-2,3,4)故MV2是一维的，基是(5,2,3,4)易知(5, 2,3,4)是非零向量，是线性无关的。方法八 按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果VV 是有限维线性空间V的两个子空间，dimV1dimV2= dimV1V2dimV1QV2例 9 已知% =(3,-1,2,1 ),% =(0,1,0,2 )B1 =(1,0,1,3)B2=2,3,1,6)求由向量四，口2生成的P4的子空间V1 =1(%22 )与向量A,匡生成
12、的子空间 V2 = 13凡)的交与和空间的维数的一组基。解 因为V1 +V2 =L(u1,u2,P1,P25对以豆1,51, P2为列的矩阵施行行初等变换:3 0 12-110-32 0 111 2 3包0000-1 10-30 0-110003,秩人=秩8 =3,所以M +V2的维数是3且,32,21,3为极大线性无关组，故它们是 V +V2的一组基。又由巴，0(2线性无关知V1的维数为2,同理V2的维数也为2,由维数公式知V1V2的维数为(2 + 2 )3 = 1。从矩阵B易知.+12 =%2%,故B+也=(3,3,2,3)是公有的非零向量,所以它是交空间v1nV2的一组基。方法九 由替换
13、定理确定交空间的维数。替换定理：设向量组%,4,川Fr线性无关，并且小产2川Pr可由向量组K,葭川，A线性表出，那么1 r -s(2)必要时可适当对吃，久,川，久中的向量重新编号，使得用%,%川，巴替换 日1,葭111,4后所得到的向量组%,%,川,日.十,川，久与向量组曰1,葭111,久等价。特另L当r=s时，向量组,。2川,与向量组1凡,出上等价。例 10 已知向量组 %=(2,0,1,3),o(2 =(0,3,1,0)e3 =(1,2,0,2 ,a4 =(2,6,3,3),设它们是向量组 Pl,隹邛3的线性组合，又设向量组1,2用1,口与向量组 团，鸟,比等价，试求1,2,| H/m生成的空间的交空间的基和维数。空01、2032611033、023)00110-43261102-1 1020001-73200100-V020显然口1,口2，口 3, 口 4线性相关,口1,支2，口 3线性无关1,2,小，路与34243等价由替换定理知 %Q2,二3与月月，日3等价，进而知于是Lgbllhrm ）维数为3,基为%,%,%； Lp1，U2P4 ）维数为2,基为%口2,因此，L 1，：2，L L ,2,111,7故1（%,吃,% ）与L（r1,2,|,京）的交空间的基为 %,%,维数为2Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考!