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1、 2020 届高考数学选择题填空题专项练习（文理通用）01 双曲线 02第 I 卷（选择题)一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x2y2=1（ a 0 b 0， ）的两条渐近线互相垂直，焦距为6 21（2020新疆高三（理）已知双曲线 -，a2 b2则该双曲线的实轴长为（A3 B6【答案】B【解析】）C9D12【分析】根据渐近线垂直，可得a,b的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果.【详解】因为两条渐近线互相垂直，故可得- b 2，结合= -1，又因为焦距为6 2 ，故可得2 = 6 2 c a ，故实轴长
2、2a = 6.故选：B.a2+b2= c2 ，解得 a= 3,b = 3,c = 3 2【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.x2y2，且渐近线经过点(1,-2) 0 b 0 ）的焦距为2 5，2（2020广东高三月考（文）若双曲线 -=1（ aa2 b2则此双曲线的方程为（）x2y2x2y2xy22A - y =1B x -=1C -=1D -= 122444 1616 4【答案】B【解析】b2c = 2 5 - = -2【分析】根据题意得到，解得答案.a x2 y2-a2 b2=10 b 0 ）的焦距为2 5，2 2 5=5.【详解】双曲线（ a，故 c，cby2且渐近线经过点(1,
3、-2)，故2a =1,b = 2，故 ，双曲线方程为： x2- = -=1.故选： .B4a【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.x2 y23（2018黑龙江高三期末（理）已知双曲线的标准方程为 -= 1（a0，b0），若渐近线方程为 ya2 b23 ，则双曲线的离心率为（）x2 3AB2CD423【答案】B【解析】bx2 y2= 3x=3，利用双曲线的离心率【分析】由双曲线-a2 b2=1( 0, 0) 的渐近线方程是 y，可得abacbe = = 1+ ( ) ，即可得出结论2aabx2 y2Q【详解】 双曲线3 = 3 =1( 0, 0) 的渐近线方程是
4、 yab= x， 双曲线的离心率-a2 b2acbe = = 1+ ( )2 =2故选：Baab= 3【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定是关键ay24（2020黑龙江高三（文）已知双曲线 x -=1的左 右焦点分别为 F ， F ，点 在双曲线上，且2P312F PF =120 DF PF，的面积为（）1212A 2 33C 2 55BD【答案】B【解析】= m, PF = nm- n = 2a = 2. 由=1,b = 3,c = 2 PF【分析】先根据双曲线方程得到a,设可得,12F PF =120 DF PF-2PF PF ,即可求得答cos120=PF+PF根据
5、余弦定理可得: F F222,在1212121212 案.y2= m, PF = n=1 a =1,b = 3,c = 2 Q【详解】Q x2-,在双曲线上,设PF,P312 m- n = 2a = 2F PF=120 DF PF,在 根据余弦定理可得:由12121 F F12= PF2+ PF2-2 PF PF cos120 ,故22 16 = m + n - 2mn -2 21212即: 16 = m + n + mn , 由可得mn= 422112直角D的面积 S=PF PFsin =sin120 = 3F PF1F PF1mn,故选:B.22122DF PF12【点睛】本题考查求椭圆中
6、三角形面积问题,解题关键是掌握椭圆定义和椭圆中三角形面积求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.x2y2x2y25（2020山西高三月考（理）已知双曲线C ： -=1，双曲线C ： -=1（a0，b0）的左、116 42a2 b2右焦点分别为 F ，F ，M 是双曲线 C 一条渐近线上的点，且OMMF ，若OMF 的面积为 16，且双曲12222线 C ，C 的离心率相同，则双曲线 C 的实轴长为（）122A4B8C16D32【答案】Cb 21= 1+ =4 25x2y2c ( )F c,0: -=1的离心率为e = = 1+，双曲线C【解析】双曲线C，设16 4221a a bcbc=
7、= bb= xF M2=c2 b2 a，由DOMF2的- =一条渐近线方程为 y，可得，即有 OM+a bca221面积为16，可得 ab2=16= 32c5，解得a b c= 8, = 4, = 4 5，即ab，又a2+ b = c，且，既有双22=a2曲线的实轴长为16 ，故选 C.x y ()的右焦点与抛物线22: - =1 a 0,b 0a2 b2y = 8x6.（2020湖北高三期末（文）设双曲线C2的焦点相3x + y = 0同，双曲线C 的一条渐近线方程为，则双曲线C 的方程为（）x2y2A - y =1B x -=12233 xyxy2222C - =14 12D -=112
8、4【答案】B【解析】【分析】根据双曲线与抛物线的基本量求解即可.( )2,0,故双曲线c【详解】抛物线 y2 = 8x的焦点为= 2= - 3x ,即 y3 + = 0.又渐近线为 x yb=1a= 3bay2= 3=1.故选：B,故双曲线方程为 -x2故,故 ab = 33a + b = 422【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线中的基本量求解,属于基础题.x2y27（2020云南高三（文）如图，F、F=1(a 0,b 0) 的左、右焦点，过F 的分别是双曲线C : -121a2 b2DABF直线 与C 的左、右两 支分别交于点 A、B若为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）l22 33
9、D3A4B 7C【答案】BQVABF【解析】2AB=BF = AF =mFA-FA=FA-AB=FB=2a, 为双曲线上一点，为等边三角形，不妨设A221211BF - BF = 2a, BF = 4a, F F = 2c ABF = 60,F BF =120 n F BF为双曲线上一点,由,在中B21212212124c = 4a +16a - 22a4acos120 c = 7a e = 7 = 7B运用余弦定理得：,2, e.故答案选22222点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角120，再利用余弦定理计算出离心率( )y = kx k 0x2y2()交于A, B两点，8
10、.（2020河北高三月考（文）已知直线与双曲线-a2 b2=1 0, 0ab以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若DABF 的面积为4a2，则双曲线的离心率为 35DABC22【答案】D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将DABF 的面积转化为DFBF 的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立 a 与 的关系，从而推导出离心率.b【详解】由题意可得图像如下图所示：F 为双曲线的左焦点AFB= 90 ,根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF 为矩形为圆的直径Q ABo1b2S= S= S= = 4525 = 5,又 Sba ，可得：c = a ,e2 =e2222tan 45
11、oDABFAFBFDFBFDFBF本题正确选项： D【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于a,c的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.x2y2()9（2020江西省宁都中学高三月考（理）设 F ，F 分别为双曲线 -=1 a 0,b 0 的左、右焦点，12a2 b294PF + PF = 3b， PF PF=ab ，则该双曲线的离心率为（D3双曲线上存在一点 使得P）121245394ABC3【答案】B【解析】b 4=【分析】根据双曲线的几何意义与题中所给的条件进行化简求解,从而得到,进而求得离心率即可.a 3x2y2()PF + PF = 3b,又 ,所-a2
12、b2=1 a 0,b 0PF- PF = 2a【详解】因为 是双曲线P上一点,所以1212(以 PF)2()294+ PF - PF - PF = 9b - 4a4 PF PF = 9b - 4a=22 ,所以22 .又因为 PF PFab ,121212122134 b b bab9ab = 9b - 4a ,即9-9- 4 = 0= -=所以有,即解得：（舍去）,或,所以22 a 3 a a 4 2553ca + bb 22222e2= =1+=1+=,所以e,故选：B. a 3 9aa22【点睛】本题主要考查了根据双曲线的定义求解基本量之间的关系,进而求得离心率的方法,重点在于根据题中所
13、给的条件列出等式进行化简,属于中等题型.y210.（2020宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文）过双曲线 x -=1的右支上一点 分别向圆C ：2P31(x + 2) + y = 4(x - 2) + y =1| PM | - | PN |和圆C ：作切线，切点分别为，则2 的最小值为（ ）2222M, N22A5【答案】A【解析】B4C3D2y2=1的左右焦点为 F(-2,0) F (2,0)，连接-PF，【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x23121PF F M，F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可221得到所求值的圆心为(-2,0)，半径
14、为r = 21；圆，: (x + 2) + y = 4C : (x - 2) + y =1的圆心为(2,0)【详解】圆C222212y2r =12=1的左右焦点为 F (-2,0) F (2,0)PF PF F M，-半径为，设双曲线 x2，连接， F N ，2312121可得| - |2| = (|2| - ) - (| - ) = (| -4) - (|2| -1)PF 2PMPNPF2r21PF2r22PF1212=| PF | - | PF | -3 = (| PF | - | PF |)(| PF | + | PF |) - 322121212= 2a(| PF | + | PF |
15、）-3 = 2(| PF | + | PF |) -32g2c -3 = 2g4 -3 = 5当且仅当 为右顶点时，取得等号，P1212即最小值 5故选 A【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算 能力，属于中档题y2F F11（2020黑龙江高三（理）已知双曲线 x -=1的左，右焦点分别为 、 ，点 P 在双曲线上，且2312F PF =120 F PF| PA|=（x，的平分线交 轴于点 A ，则）12123 5552 555ABCD5【答案】B【解析】rr = 41 2S= S+ Sr + r = 2 5【分析】利用双曲线的定义，及余弦定
16、理，可求得，借助，DF PFDF PADAPF212121rr = (r + r ) PA可得，即得解.1 212【详解】|PF |= r ,| PF |= r ,r - r = 2a = 2不妨设 P 在双曲线的右支，且,由余弦定理：112212|F F | =| PF | + | PF | -2 | PF | PF | cos P| F F |= 2c = 2 1+3 = 4,由双曲线方程：2221212121 2r + r + rr =16 = (r - r ) + 3rr rr = 4r + r = r + r + 2rr = 16 + 4 = 2 5代入可得： 2222,212211
17、 2121 21 2121 211P 1PS= rr sin P = S+ S= r PAsin + r PAsinrr = (r + r ) PA,代入可得：222 22DF PF1 2DF PADAPF2121 212121rr42 55PA =,故选：B1 2r + r 2 512【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的面积问题，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.F F12.（2020湖北高三期末（文）已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且P121 3+ =peF PF =e，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率 ，则（）1e2e2312212 A
18、1【答案】D【解析】2BCD42x2 y2x2 y ()2+=1，-=1 a ,b 0,a b ,i =1,2【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，abab112222ii1122p= m, PF = n+ n = 2a ,n - m = 2a 0， F PF=a12- b2= a2+ b2= c2 ，c，设PF，可得m，3122121212p( )DF PF22 cos= m + n - mn中，由余弦定理可得： c2，化简整理由离心率公式即可得出.在22312【详解】如图所示：x2 y2x2 y ()2+=1，-=1 a ,b 0,a b ,i =1,2设椭圆与双曲线的标准方程分别为：
19、，abab112222ii1122m n a n m a+ = 2 , - = 2 0a12- b2= a2+ b2= c2 ，c，设PF= m, PF = n，则，解得1221212p( )pm = a - a ,n = a + a , 由 F PFDF PF=2c = m + n - 2mn cos2，在中，由余弦定理可得：22，33121212121 3( ) ( ) ( )( )+ = 44c = a -a + a + a - a -a a + a22，化为 4c = a + 3a ，化为2 2 2.故选：D22e21212121212e12【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义与性质，
20、属于中档题.第 II 卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。13（2020湖北高三月考（理）已知以 x2y =0 为渐近线的双曲线经过点(4,1) ，则该双曲线的标准方程为_.y2x2- =1【答案】12 3 【解析】- 4y =l ，代入点(4,1)，计算得到答案.【分析】设双曲线方程为 x22x 2y = 0- 4y = ，代入点(4,1)=12，则l【详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为： x22l.yy22xx22故双曲线方程为： - =1.故答案为： - =1.12 312 3- 4y =l【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双
21、曲线方程为x22是解题的关键.x214（2020浙江高三）若双曲线 - y =1的焦距为 4，则其渐近线方程为_.2m3【答案】 y = x3【解析】b= x【分析】利用题设的焦距求解 m, 由题设，双曲线的焦点在 x 轴上，故渐近线方程为： y即得解.ax2- y =1【详解】双曲线的焦距为 4，可得m+14，所以m3，由题设，双曲线的焦点在x 轴上，故渐2m3b= x近线方程为： y，所以双曲线的渐近线方程为：y = x3a【点睛】本题考查了双曲线的方程及性质，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.x2y2()15（2020榆树市第一高级中学校高三期末（文）已知双曲线 -=1 a
22、 0,b 0 的左、右焦点分别a2 b2b=x 平行且的周长为9aF F为 ， ，点 是双曲线左支上的一点，若直线DAF F与直线 y，则双曲AAF12a121线的离心率为_.【答案】2【解析】11a - 2c7a - 2c【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出|=,|=，利用直线与直线AF1AFAF2221bay = x 平行知cos AF F = ，结合余弦定理即可求解.a12c11a - 2c7a - 2c| AF | - | AF |= 2a| AF | + | AF |= 9a - 2c ,解得|=,| AF |=【详解】由双曲线定义知，又，AF22212121bbaac= x
23、tan AF F =cos AF F =因为直线与直线 y平行，所以，故，由余弦定理得：AF1a1212 | AF | +4c - | AF |1 -18 + 4e + 4e2a222cos AF F = = 2或,即 =，化简得 2 + 2e -8 = 0 ，解得ee122 | AF |2c14e - 4e212ce1e = -4 （舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.x2a2y2b216（2020江西南昌十中高三（理）已知双曲线-a b=1( 0, 0) 的离心率为 2，F ，F 分别是双曲12uuur uuuurPF PF取得最小值和最大值时，
24、M(-a,0) N(0,b)，线的左、右焦点，点，点 为线段 MN 上的动点，当P12SPF F=2S_.的面积分别为 ， ，则S21 21S1【答案】45【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出a ， ，c 的关系，结合向量数量积的公式、一元二次函数的性质求出函b数的最值，即可得答案c= = 2= 2 , = 3 = 3( + )a b a ，故线段 MN 所在直线的方程为 y x a ，【详解】由e，得cam-a(- ,0)F c(c,0)(m, 3m + 3a)，0 ，由 于，F，即 (-2 ,0)又点 在线段 MN 上，可设 P，其中，取FaP121uuur，得 PFuuuur= (-2a -m,- 3m- 3a), PF = (2a -m,- 3m - 3a)F (2a,0)2，所以123133uuur uuuuruuur uuuurPFPF PF = 4m + 6ma - a = 4(m + a) - a 由于 m-a ，0 ，可知当m = - a 时，PF22224441212S3a3uuur uuuur，当 m= 0时， PF PF= 42y = 3aP=a得最小值，此时 y取得最大值，此时，则3，S412aP14【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系 的应用，根据向量数量积转化为一元二次函数是解决本题的关键