《专题03 一元二次方程-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题03 一元二次方程-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版).docx（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 专题 03 一元二次方程高中必备知识点 1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为bb - 4ac2(x + ) =22a4a2因为 a0，所以，4a20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根-b b - 4ac2x 1 2，；2a（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bx x ；122ab(x + )（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边2一定大于或等于零，因此，2a原方程没有实数根由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可
2、以由 b24ac 来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0），有(1)当 0 时，方程有两个不相等的实数根-b b - 4ac2x 1 2，；2a（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根bx x ；122a（3）当 0 时，方程没有实数根典型考题【典型例题】1 关于 的一元二次方程【答案】，其根的判别式为 ，求 的值【解析】由题意得，整理得，解得：，【变式训练】已知关于 的一元二次方程若方程的一个根为 ，求 的值及另一个根；若该方程根的判别式的值等于 ，求 的值【答案】(1)【解析】；
3、即原方程的另一根是（1）设方程的另一根是 x 2一元二次方程 mx2（m+2）x+2=0 的一个根为 3，x=3 是原方程的解，9m（m+2）3+2=0，解得 m= ；又由韦达定理，得 3x = ，2x =1，即原方程的另一根是 1；2（2）=（m+2）24m2=1m=1，m=3【能力提升】2 方程（x5）（2x1）=3 的根的判别式 b24ac= 【答案】105【解析】先把方程（x5）（2x1）=3 化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可方程（x5）（2x1）=3 化为一元二次方程的一般形式为：2x211x+2=0，故=b24ac=（11）2422=105高中必备知识点 2：根与系
4、数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根-b + b - 4ac-b - b - 4ac22x =1=， x，2a2a2则有-b + b - 4ac -b - b - 4ac -2bb22x + x =+= - ；2a2a2aa12-b + b - 4ac -b - b - 4ac b - (b - 4ac) 4ac c2222x x = 2a2a4a24a2a12所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：bc-如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是 x ，x ，那么 x x ，x x 这一关系也被称为韦达定121212aa理特别地，对于二次项系数为 1 的
5、一元二次方程 x2pxq0，若 x ，x 是其两根，由韦达定理可知12x x p，x x q，1212即 p(x x )，qx x ，1212所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x x )xx x 0，由于 x ，x 是一元二次方程 x2pxq0 的两根，121212所以，x ，x 也是一元二次方程 x2(x x )xx x 0121212典型考题3 【典型例题】如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”（1）请问一元二次方程 x26x+80 是倍根方程吗？如果是，请说明理由（2）若一元二次方程 x2+
6、bx+c0 是倍根方程，且方程有一个根为 2，求 b、c 的值【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为 1，2 时， b3，c2；当方程根为 2，4 时 b6，c8【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 6x+80，解得 x 2，x 4，212x 2x ，21一元二次方程 x26x+80 是倍根方程；（2）方程 x2+bx+c0 是倍根方程，且方程有一个根为 2，方程的另一个根是 1 或 4，当方程根为 1，2 时，b1+2，解得 b3，c122；当方程根为 2，4 时b2+4，解得 b6，c248【变式训练】求方程 x22x20 的根 x ，x （x x ），并求
7、x 2+2x 的值121212【答案】6【解析】方程 x22x20 的根 x ，x ，12x - 2x - 2 = 0 x x+ =2.21，112( )x + 2x = 2x + 2+ 2x = 2 x + x + 2 = 22+ 2 = 6.2121212【能力提升】已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m20 有两根 ，4 (1)求 m 的取值范围；(2)若 +0求 m 的值【答案】(1)m ；(2)m 的值为 3【解析】(1)由题意知，(2m+3) 41m 0，22解得：m ；(2)由根与系数的关系得：+(2m+3)，m ，2+0，(2 +3)+ 20，mm解得： 1，
8、3，mm11由(1)知 m ，所以 1 应舍去，m1的值为 3m专题验收测试题1已知 x ，x 是关于 x 的方程 x mx30 的两个根，下面结论一定正确的是（）212Ax +x 0Bx xCx 0Dx 0，x 0x12121212【答案】B【解析】解：（ ）241（3） 2+40，mm方程 2 30 有两个不相等的实数根，x mx x x12故选： B2已知关于 x 的一元二次方程 2x +mx30 的一个根是1，则另一个根是（）23232A1B1CD【答案】C【解析】5 设方程的另一根为 ，x13根据根与系数的关系可得：1 ，x123解得 x12故选： C3用配方法解一元二次方程 x +
9、4x50，此方程可变形为（）2A（x+2） 9B（x2） 9C（x+2） 1D（x2） 12222【答案】A【解析】解： 2+4 50，x xx2+4x5，+4x+2 5+2 ，x222（ +2）29，x故选： A4有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 90 场，每两队之间都比赛 2 场，则下列方程中符合题意的是（）11A x（x1）90 B x（x+1）90 Cx（x1）90Dx（x+1）9022【答案】C【解析】解：由题意可得，x（x1）90，故选：C35关于 x 的一元二次方程 x 2x+m0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（）2Am3Bm3Cm3Dm3【答案】C【解析】
10、3解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，3b24ac（2解得 m3）241m0，6 故选：C16关于 x 的方程（m2）x x+ 0 有实数根，则 m 的取值范围（）23m45525Am 且 m2BmCmDm3 且 m222【答案】C【解析】1当 m20，即 m2 时，关于 x 的方程（m2）x2x+ 0 有一个实数根，4当 m20 时，1关于 x 的方程（m2）x2x+ 0 有实数根，413m4（m2） 0，45解得：m ，25m 的取值范围是 m ，2故选：C7关于 x 的一元二次方程 x （m+2）x+m0 根的情况是（）2A有两个不相等的实数根C没有实数根
11、【答案】AB有两个相等的实数根D无法确定【解析】由关于 的一元二次方程 2（ +2） + 0，x mxxm得到 1， （ +2）， ，c mabm（ +2） 4 +4 +44 +40，m2m m2 mm m2则方程有两个不相等的实数根，故选 A8下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A2x +30Bx 2xCx +4x10Dx 8x+1602222【答案】A【解析】A、024240，即方程没有实数根，符合题意；7 B、4040，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C、16+4200，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、64640，方程有两个相等的实数根，不符合题意，故选： Aa9欧几里
12、得的原本记载，形如 x +axb 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB90，BC ，222a 则该方程的一个正根是（ ，再在斜边AC b上截取）ABBD2AAC 的长【答案】B【解析】BAD 的长CBC 的长DCD 的长a欧几里得的原本记载，形如 2+ 2 的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB90， ，x ax b BCAC2a ， ，再在斜边b上截取ABBD2aa设 ，根据勾股定理得：（ + ）2 2+（ ）2，AD xxb22整理得： 2+ 2，x ax b则该方程的一个正根是的长，AD故选： B10若关于 x 的一元二次方程 ax +2x5=0 的两根中有且仅有一根在 0 和
13、 1 之间（不含 0 和 1），则 a 的取2值范围是（ ）Aa3Ba3Ca3Da3【答案】B【解析】试题分析：当 x=0 时，y=5；当 x=1 时，y=a3，函数与 x 轴在 0 和 1 之间有一个交点，则 a30，解得：a3考点：一元二次方程与函数11一元二次方程 x（x+5）x+5 的解为_【答案】x 5，x 1128 【解析】解：方程整理得：x（x+5）（x+5）0，分解因式得：（x+5）（x1）0，解得：x 5，x 1，12故答案为：x 5，x 11212一元二次方程 x 3x20 的两根为 x ，x ，则 x +3x +x x 2 的值为_2211221 2【答案】7【解析】解：
14、一元二次方程 x23x20 的两根为 x ，x ，12x 23x +2，x x 2，x +x 3，111 212x 2+3x +x x 23x +23（x +x ）+x x 7，121 21121 2故答案为：713若关于 x 的一元二次方程 x 3x+2+m0 无实数根，则 m 的取值范围是_21【答案】【解析】m4解：根据题意得（3）24（2+ ）0，m1解得 m41故答案为 m41 1+x x14已知 x ，x 是一元二次方程 x +3x60 的两个实数根，那么直线 y（）x（x +x ）不经222121212过第_象限【答案】二【解析】 、 是一元二次方程 2+3 60 的两个实数根，
15、x xx x12 + 3，x x6，x x12121 1 1+ =x x，212+x （x +x ） 2x x 3 2（6）21，x12221221 229 1 11( + )x - (x + x ) = x - 21 2122，yx x122该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二15已知 x=-1 是关于 x 的一元二次方程 x +(m+ 1)x-m =0 的一个实数根,则 m=_.22【答案】0 或1【解析】( )(-1) +(m+1)(-1)-m =0由题意可知：将 x= -1代入方程x+ m+ 1 x-m = 0可得整理可得：22222 + = 0mmm(m + 1)
16、 = 0 ，即m= 0或m = -1故答案为：0或 -116已知 、 是一元二次方程 x 2019x+10 的两实根，则代数式（2019）（2019）_2【答案】1【解析】、 是一元二次方程 x22019x+10 的两实根，220191，220191，1，（2019）（2019）-2019（+）+ 2019 21故答案为：117已知关于 x 的一元二次方程 x +kxk202（1）求证：无论 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；k（2）若方程的两根之和等于 3，求 的值以及方程的两个根k【答案】（1）见解析；（2） ， xx12【解析】（1）证明：因为k24（k2）k2+4k+8（k+2）2
17、+40，所以方程有两个不相等的实数根（2）由题意，得k3，所以 k3当 k3 时，方程为 x23x+10所以 x ，x 12根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式10 18四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款 10000 元，第三天收到捐款 14400 元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增长率为 10%；(2)第四天该单位能收到 13310 元捐款【解析】(1)设第二天、第三天
18、的增长率为 x，由题意，得10000(1+x) 12100，2解得： 0.1， 2.1(舍去)x1x2则 0.110%x答：捐款增长率为 10%；(2)第四天收到的捐款为 12100(1+10%)13310(元)答：第四天该单位能收到 13310 元捐款19解方程或不等式：（1）解方程：（2）解不等式；【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：（2）解：由得，由得故，20关于 x 的一元二次方程 x (2k1)x+k +10 有两个不相等的实数根 x ，x 2212(1)求实数 k 的取值范围；(2)若方程的两实数根 x ，x 满足|x |+|x |x ，求 k 的值x21212111 3【答案
19、】(1) ；(2)-2k4【解析】解：(1)根据题意得(2 1)24( 2+1)0，kk3解得 ；k4(2)x +x 2k1，x x k +1，2121 23 ，k4 + 2 10，x xk12而 2+10，x x k1 2 0， 0，xx12| |+| | ，x x x x1212( + ) ，即(2 1) 2+1，x x x x1kk122整理得 2+2 0，解得 0， 2，k kk1k23而 ，k4 2kx +（2k+1）x+k +1=0x x有两个不等实根 ， 21关于 x 的一元二次方程 2212（1）求实数 k 的取值范围；x ，xx +x =x x ，求 k 的值（2）若方程两实
20、根满足12121 2【答案】（1）k ；（2）2.【解析】（1）原方程有两个不相等的实数根，=（2k+1）2-4（k2+1）0，解得：k ，即实数 k 的取值范围是 k ；（2）根据根与系数的关系得：x +x =-（2k+1），x x =k2+1，1212又方程两实根 x 、x 满足 x +x =-x x ，121212-（2k+1）=-（k2+1），解得：k =0，k =2，1212 k ，k 只能是 222已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根求 k 的取值范围；若 k 为负整数，求此时方程的根【答案】（【解析】；（时，(1)由题意得 0，即 94(1k)0，解得 k.(2)若 k 为负整数，则 k1，原方程为 x23x20，解得 x 1，x 2.1213