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1、 一元二次方程的根与系数的关系知识点 一元二次方程的根与系数的关系()+ bx + c = 0 a 0,b - 4ac 0x , x1x , x1若一元二次方程 ax22的两个根分别为，则方程的两个根和系22bac+ x = -x x =数 a，b，c 有如下关系： x，。1212a- 4x - 7 = 0x , x x + x =x x =，例 已知方程 x2的两个根分别是则。121212题型 1 一元二次方程根与系数的关系的应用+ bx + c = 0x = -2 x = 4 ，则b + c例 1若关于 x 的一元二次方程 xB.10 C.-6 D.-1若 m ，n 是方程 x2的两个实数
2、根分别为，的值是（）12A.-10+ x -1= 0m + 2m + n的值为变式2的两个实数根，则2。题型 2 已知含字母的一元二次方程的一根，求字母的值及方程的另一根5x + kx - 6 = 0的一个根为 2，求它的另一个根及 的值.k例2已知方程2+ mx + 3 = 0变式已知方程 x2的一个根是 1，则它的另一个根是， m 的值是.题型 3 已知一元二次方程两根的关系，求字母的值或取值范围-3x + k +1= 0的两个根的平方和小于 5，求 的取值范围.k例 3关于 x 的一元二次方程 x2( )+ m + 3 x + m +1 = 0x , x1x + x = 4变式值是已知关
3、于 x 的一元二次方程 x2的两个实数根分别为，若22，则 m 的212., xx - 4x + m = 0x + x - x x =1x + x =m =，变式设 x是方程2的两个实数根，且，则。12121 212题型 4 利用根与系数的关系求对称式的值+ 3x -1= 0的两个实数根分别为a,b，不解方程求下列各式的值例 4已知方程 x2b a+( )( )a ba b aba 1 b 1- -（4）+（1）22 ；（2）33 ；（3）；a b1 -5x - 2 = 0a ab b+2 的值为变式变式已知a,b是一元二次方程 2x的两个实数根，则2.1 1, x是方程5x2 -3x - 2
4、 = 0的两个实数根，则+x x的值为设x1212 1 1 ( )变式已知是一元二次方程22x1, xx - 4x +1= 0x + x + 的两个实数根，求 的值212x x12题型 5 创新题, xx + 3x -5 = 0x +1 x +1的两个根，求以 和 为根的一个一元二次方程。例 5已知是方程2x1212变式已知实数满足12，.x1, xx x =x + x =x , x7，则以 为根的一元二次方程是2121212易错点 忽视一元二次方程的根的判别式的符号( ), xx + 2m +1 x + m +1 = 0x + x =15 时，求m的两个实数根，当例6已知是关于 的一元二次方
5、程x2222x1212的值。( )( )- 3 x - 2 - p = 0.变式已知关于 的方程x2x（1）求证：无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根。p2 , xx + x = 3x xp求实数 的值（2）设方程的两个实数根分别为x，且满足2212121 2【巩固练习】1、已知方程 x2 + x -1= 0的两个实数根分别为a,b，则下列说法不正确的是（）1 1a b1B.ab= -1a b31+ = -+=+ = -A.C.22D.a b1 1-5x + 2 = 0x , x1+x x2、已知方程 x2的两个根分别为，则的值为。212- 6x - k -1= 03、已知关于 x 的一元
6、二次方程 x2的一根为 2，则方程的另一根为。3 +13 -1为根的方程是4、以和。()( )( )+ m - 2 x +1 = 01+ ma + a 1+ mb + b5、已知a 、 是方程 x2的两个根，则22 的值为。b+ 2x -5 = 0m - mn + 3m + n6、已知m 、n 是方程 x2的两个实数根，则2=。7、已知一元二次方程 x2- 2x + m = 0。（1）若方程有两个实数根，求m 的取值范围；, xx +3x = 3，求 m 的值.（2）若方程的两个实数根分别为x，且1212( ) k2 + k + 2 x + = 08、关于 x 的方程kx有两个不相等的实数根4（1）求k 的取值范围.（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.( )+ 2 a -1 x + a - 7a - 4 = 0x , x1x x -3x -3x - 2 = 0，且满足 ，求9、已知关于 x 的方程 x22的两个根分别为21 2123 4a + 21+的值。2 - 4 a a( )10、已知关于 的方程 x22x- 2 k -1 x + k = 0x , x有两个实数根12（1）求k 的取值范围；| x + x |= x x -1（2）若，求k 的值。121 24