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1、 .海淀区高二年级第二学期期中练习数 学(理科)2019.4学校班级姓名成绩本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟.一、选择题:本大题共8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数z 1 2 i的虚部是A. 2B. 2C. 2iD. 2i2.下列导数运算错误的是()A. (x ) 2xB. (cosx) sinxC. (x lnx) 1 lnxD. (2 ) 2 l n221xx3. 函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的极大值点的个数为()A. 0C. 2B. 1D. 3x4.若函数 f(x)的导函数 f(x) x(2 x
2、)e ,则下列关系一定成立的是x()A. f(2) 0B. f(0) f(1)C. f(2) f(1)D. f(2) f(3)5. 已知两个命题:p:“若复数z,z 满足z z 0,则z z .”1 21212q :“存在唯一的一个实数对(a,b)使得 a bi i(2 i).”其真假情况是( )p qA. 真 假p qB. 假 假p qC. 假 真p qD. 真 真1v6若小球自由落体的运动方程为s (t) gt2(g 为常数),该小球在t 1到t 3 的平均速度为 ,在t 22vvv的瞬时速度为 ,则 和 关系为()22Av vBv vCv vD 不能确定2227.如图,过原点斜率为k 的
3、直线与曲线 y lnx 交于两点A(x,y ) B(x ,y ),.11221y k 的取值范围是(0, ).eA1x1x2x1xk.x21 当x (x ,x )时, f (x) kx lnx 先减后增且恒为负.12以上结论中所有正确结论的序号是(). .A.B.C.D.8.已知函数 f (x) ax bx cx d,其导函数的图象如图所示,则函数32f (x) 的图象可能是()xO1yyyyxO1xxO 1D.O1A.B.C.二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上.1+2i9.计算=_.i10 (x 3)dx _.20x11.已知 f (x),则
4、 f(x) _x 112. 方程(x 1)ex 1的解的个数为_.三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.(本小题 12 分)f (x) ax bx cx f(x)的部分值如下表所示:,其导函数为已知函数x32-306183048f (x)-24-10-10-90根据表中数据,回答下列问题:c()实数 的值为_;当 x _时, f(x)取得极大值(将答案填写在横线上).()求实数a ,b 的值. .()若 f(x)在(m ,m 2)上单调递减,求m 的取值范围.14.(本小题 10 分)如图,四棱锥 B ACDE 的底面 ACDE 满足 D
5、E /AC,AC=2DE .()若 DC平面 ABC, ABBC,求证:平面 ABE平面 BCD ;()求证:在平面ABE 内不存在直线与DC 平行;某同学用分析法证明第(1)问,用反证法证明第 (2)问,证明过程如下,请你在横线上填上合适的内容.()证明:欲证平面ABE平面 BCD ,ED只需证_,.ACB .由已知 AB BC ,只需证_,由已知 DC 平面 ABC 可得 DC AB 成立,所以平面 ABE 平面 BCD .()证明:假设_,又因为 DC 平面ABE ,所以 DC /平面ABE .又因为平面ACDE 平面ABE = AE ,所以_,又因为 DE /AC,所以 ACDE 是平
6、行四边形,所以 AC DE ,这与_矛盾,所以假设错误,原结论正确.15.(本小题 12 分)已知函数f (x) lnx ax(a R ).f (x)()若函数 在点(1, f(1) )处的切线与直线y 2x平行,求实数 的值及该切线方程;a()若对任意的x (0, ),都有 f (x) 1成立,求实数a 的取值范围. .16. (本小题 8 分)请阅读问题 1 的解答过程,然后借鉴问题 1 的解题思路完成问题 2 的解答:问题 1:已知数集A a,a , a 1 a aa ,n 2 具有性质P:n12n12aa对任意的i,j 1 i j n ,aa 与A两数中至少有一个属于 .若数集a ,2
7、,3a,P具有性质 ,求jij14ia,a 的值.14. .解:对于集合中最大的数aa a a 3 a a ,2 a a,因为,.44444444a a a所以都属于该集合., ,4,所以.4a144aaa2 ,a 3 a 1,a 6所以a1,4,故.44231144问题 2:已知数集A a,a , a 0 a aa ,n 2 具有性质P:n12n12对任意的i,j 1 i j n ,a a 与a a 两数中至少有一个属于 .若数集Aa ,1,3a,P具有性质 ,求ijji14a,a 的值.1417. (本小题 10 分)1f (x) (x 0)xx xxS x x1x已知函数,对于正数 ,
8、, (nN ),记,如图,由,都满足+12nn2n(x ,0) (x ,f(x ) (0,f(x ),C (i 1,2,n )点(0,0) ,构成的矩形的周长为iiiiiC 4S (i 1,2, ,n).iiyx()求 ;1x()猜想 的表达式(用n表示),并用数学归纳法证明.f(x )niO xxi. .海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案数 学(理科)一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分.AABD CC CD二、填空题:本大题共 4 小题, 每小题 4 分,共 16 分.19 .2 i 10.411.12. 1(x 1 )2三、解答题:本大题共 5 小题,共 5
9、2 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.(本小题 12 分)()6,3.-分-4()解: f(x) 3ax 2bx c,-分-522f (1) 8, a ,由已知表格可得解得3 -分-7f(3) 0,b 2.()解:由()可得 f(x) 2x 4x 6 2(x 3)(x 1),-分-82由 f(x) 0可得x ( , 1) (3, ),-分-9因为 f(x)在(m ,m 2)上单调递减,所以仅需 m 2所以m 的取值范为 m 3或m14.(本小题 10 分)1或者m 3, -分-113 .-分-12. .()证明:欲证平面ABE 平面 BCD ,只需证AB 平面 BCD , -
10、分-2由已知 AB BC ,只需证 AB DC ,-分-4由已知 DC 平面 ABC 可得 DC AB 成立,所以平面 ABE 平面 BCD .()证明:假设在平面ABE 内存在直线与 DC 平行,-分-6又因为 DC平面ABE ,所以 DC /平面ABE .又因为平面 ACDE所以 DC /AE ,平面ABE = AE ,-分-8又因为 DE /AC,所以 ACDE 是平行四边形,所以 AC DE ,这与 AC 2DE 矛盾,-分-10所以假设错误,原结论正确.15.(本小题 12 分)11 axxf(x)a()解:,x 0 .-分-2x由已知可得 f (1)1 a 2,解得 a 1 .-分
11、-3因为 f(1) 1 ,所以在点(1, f(1) )处的切线方程为 y 2x 1.-分-41 l nx()解 1:若对任意x (0 , ),都有 f (x) 1成立,即a成立.-分-6x1 l nx设g (x)g (x),-分-7xlnx 2x2,令g (x) 0,解得x e ,2则 g (x),g(x)的情况如下:(0,e)e2(e)22xg (x)0g (x)-分-9所以 g(x)的最小值为g(e ) e , -分-1022所以,依题意只需实数a 满足ae ,-分-112故所求a的取值范围是( , e . -分-122解 2:当a 0时, f(x) 0 恒成立,所以函数 f(x) 的单调
12、递增区间为 (0, ). .11又因为 f(1 ) ln(1 ) a 1 1,所以不符题意,舍.-分-6aa1当a 0 时,令 f(x) 0,得x .-分-7a所以 f(x),f(x)随x的变化如下表所示:1( , )af(x)f (x)0-分-91所以 f (x) 的最大值为 f( ),-分-10a11所以,依题意只需 f( ) ln( ) 1 1即可,解得 a e .-分-112aa综上,a的取值范围是( , e .-分-12216. (本小题 8 分)解:对于集合中最大的数a ,因为a a a ,3 a a ,1 a a -分-244444444所以a a ,a 3,a 1,a a 都属
13、于该集合.-分-4444441又因为0 a 1 3 a ,所以a a a 3 a 1 a a .-分-614444441所以a a a 0,a 3 1,-分-71444即a 0 ,a 4.-分-1417. (本小题 10 分)1()解:由题意知,C 2(x f(x ) 2(x )(i 1,2, ,n),xiiiii1所以2S x (i 1,2, ,n).-分-1xiii1令 i1,得2S x ,x111又S x,且x0,故x 1.-分-211111()解:令 i2,得2S x ,x222又S x x ,x 1,且x 0,故x2 1;-分-3221212. .1令 i3,得2S x ,x333又
14、S x x x ,x 1,x 2 1,且x 0,故x 3 2;-分-431231233由此猜想,x n n 1(nN ).-分-5+n下面用数学归纳法证明:当 n1 时,x 1,命题成立;-分-61假设 nk 时命题成立,即x k k 1(kN ), -分-7+k11则当 nk1 时,2S x,又S S x ,2S x ,xxk 1k 1k 1k 1kk 1kkk11故(x ) 2x x,xkxk 1kk 1k 1由x k k 1,得x 2 kx 1 0,-分-82kk 1k 1所以x k 1 k( k 1k舍去).-分-9k 1即当 nk1 时命题成立。综上所述,对任意自然数 n,都有x n n 1成立.-分-10n.