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1、引例1: 掷一个骰子，已知掷出了偶数点，求掷出的是2的概率.,引例2: 在52 张扑克中任取一张,已知是草花的条件下,求是5的概率.,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的任意两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,一般地，设A、B是中的两个事件，则,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.在不了解案情细节(事件B)前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为甲、 乙、 丙分别为P(A1)、 P(A2)、 P(A3)，但在知道案情细 （知道B发生后）这个估计就有了变化.比如原来认为作案可能性较小
2、的某甲，现在变成了重点嫌疑犯. 即 P(A1 | B)变大，P(A2 | B)， P(A3 | B)变小,条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系,若,一般地,概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系,联系：事件A，B都发生了,区别：,（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异， B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。,（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本 空间；在P（AB）中，样本空间仍为 。,因而有,条件概率也是概率, 故具有概率的性质：,3)可列可加性,1)非负性,2)规范性,3). 设B1，B2,两两不相容，则有,乘法法则,推广,某厂生产的灯泡能用
3、1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率,解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时,所求概率为,例1,练一练,某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。,解 设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁”,则,所求概率为,2,例 下表给出了乌龟的寿命表，试求下面一些事件的条件概率：,（1）活到60岁的乌龟再活40年的概率是多少？,由于活到100岁的乌龟一定活到60岁，所以有,于是,例1 掷两颗均匀骰子,求在已知第一颗掷出6点条件
4、下“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法(定义）1:,解法（缩小样本空间）2:,解: 设A=第一颗掷出6点 B=掷出点数之和不小于10,应用定义,在A发生后的 缩减样本空间 中计算,例2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任 意抽出2张, 已知其中1张是假钞. 求2 张 都是假钞的概率.,解一 令 A 表示 “其中1张是假钞”.,B表示 “2 张都是假钞”,由缩减样本空间法得,下面两种解法哪个正确？,例2,解二 令 A 表示“抽到2 张都是假钞”.,B表示“2 张中至少有1张假钞”,则所求概率是 （而不是 ！）.,所以,例3 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件产品, 已知所取两件
5、产品中至少有一件是不合格品, 则另一件也是不合格品的概率为多少?,解: 设A=“两件产品中至少有一件是不合格品” B=“两件产品都不合格品”,4,又因为,故所求的概为:,例：一个学生欲到图书馆借一本参考书图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2问该学生在该图书馆能够借到书的概率是多少？,例： 盒中有3个红球，2个白球。每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球3次,试求第1、2次取得白球、第3次取得红球的概率。,例4 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两 两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效 的概
6、率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概 率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有 效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个 报警设备有效的概率.,设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效,已知,求,解,例4,解,由,即,故,解法二,例3 盒中装有50个产品, 其中30个一等品，20个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率.,解 令 Ai 为第 i 次取到一等品,（1）
7、,例3,(3),提问：第三次才取得一等品的概率, 是,（2）直接解更简单,（2）,(4),练一练,甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1）甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签的概率。,解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”,则,三、全概率公式与贝叶斯公式,例:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率
8、。,B,样本空间的划分,称该式为全概率公式。,例 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率,解,设1 ，2 ，3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，表示产品为次品 显然，1 ，2 ，3 构成完备事件组依题意，有,(1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%, (|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%,(1|),例4： 一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用
9、抽签的方法来解决.,5张同样的卡片，只有一张上写“入场券”，其余什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”,后抽比先抽的确吃亏吗？,解：用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,即,则 表示“第i个人未抽到入场券”,由于,因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入 场券，必须第1个人未抽到，,由乘法公式,计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人
10、要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,例2：n张奖券中有2张有奖的，求第k个人中奖的概率,所求概率为,例：设袋中有3个白球，2个红球。现用掷骰子的办法决定取球的数量。如果掷出的点数小于3，则从中取2个球；否则从中取3个球。用X表示取出的白球数， （1）求PX=2 （2）如果已知取出2个白球，问掷出的点数不超过3的概率是多少？,解：设A=掷出的点数不超过3；B=取出2个白球；,称该式为贝叶斯公式。,每100件产品为一批, 已知每批产品中 次品数
11、不超过4件, 每批产品中有 i 件 次品的概率为,从每批产品中不放回地取10件进行检验,若 发现有不合格产品,则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率 (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率,例5,例5,解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,4,A 为一批产品通过检验,则,已知P( Bi )如表中所示，且,由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与,结果如下表所示,1.0 0.9 0.809 0.727 0.652,0.123 0.221 0.397 0.179 0.080,i 较大时，,例6 由于随机干扰,
12、在无线电通讯中发出信 号“ ”, 收到信号“ ”,“不清”,“ ” 的概率分 别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ ”,收到信号 “ ”,“不清”,“ ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9. 已知在发出的信号中, “ ”和“ ”出现的概 率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ ”还是“ ”的概率 哪个大？,解 设原发信号为“ ” 为事件 B1 原发信号为“ ”为事件 B2,收到信号“不清” 为事件 A,例6,已知：,可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ ”的可能性大,例7：商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1,2只次品
13、的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例8：(1)在你外出度假时，你托邻居帮你浇快要凋谢的花，若不浇水花凋谢的概率为0.8，浇水花仍会凋谢的概率为0.15，你有90%的把握确信邻居会记着帮你浇花，求 (1)在你回来时，花活着的概率； (2)如果花凋谢了，你的邻居忘记帮你浇花的概率.,例9:学生在考试中做
14、一道有四个选项的单项选择题,如果他不知道正确答案,就做随机猜测,假设学生知道正确答案的概率为0.2.现从卷面看题答对了, 求该学生确实知道正确答案的概率,例10: ：数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号，问发射端发的是0的概率是多少?,0.067,解：设A=发射端发射信号“0”， B=接收端接收到信号“1”,0 (0.55),0 1
15、 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),例5 (P17)有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球； A2从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,定理2 (p18) 设A1，, An是S的一个划分，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件BS，有,式(1.4.6)就称为贝叶斯公式。,思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的
16、是白球的概率是多少？,答:,甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？,解,设B=“从乙箱中取出白球”，,A=“从甲箱中取出白球”，,则,例7,已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。,例8,例6.由于修理状况不同,机器生产次品部件服从三种不同的概率.如果机器正常运作,它以概率0.02生产次品部件.如果机器老化,它以概率0.1生产次品部件.如果它需要修理,它以概率0.3生产次品部件.机器正常运作的概率为
17、0.8,老化的概率为0.1,需要修理的概率为0.1.随机取一个部件是次品的概率.,例. 某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。,公,Bayes,式,在医学上的应用,应用,应用举例 肠癌普查,设事件 表示第 i 次检查为阳性,事件B,表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：,某患者首次检查反应为阳性, 试判断该,患者是否已患肠癌？ 若三次检查反应均为,阳性呢？,由Bayes 公式得,首次检查反应为阳性 患肠癌的概率并不大,接连两次检查为阳性 患肠癌的可能性过半,两次检查反应均为阳性,还不能断,定患者已患肠癌.,连续三次检查为阳性,几
18、乎可断定已患肠癌,例8 用甲胎蛋白法普查肝癌,令C =被检验者患肝癌A =甲胎蛋白检验呈阳性由资料已知P(A|C)=0.95, 而被检验者未患肝癌的情况下甲胎蛋白检验呈阳性的概率为0.1, 又已知某地居民的肝癌发病率P(C)=0.0004, 在普查中查出一批甲胎蛋白检验呈阳性的人,求这批人中真的患肝癌的概率P(C|A)=0.00378 .,复查后确实有病：,第三次复查后确实有病：,第四次复查后确实有病：,一个部件经销商从仓库购买部件。这些部件要么由A供应商生产，要么由B供应商生产，但部件上没有标识出是哪家供应商供应的。每次发货或每一批的所有零件都是由一个供应商生产的。平均来看，A供应商生产的产品中有2.5%的不合格品，B供应商生产的产品中有5.0%的不合格品。 仓库声称70%的部件是A供应商生产的，30%的部件是B供应商生产的。如果经销商随机地从一批产品中抽取4个部件并发现有一个部件是不合格品，问：这批产品是A供应商生产的概率是多少？ 问题：对于给定的批，随机抽取4个部件包含一个不合格件时，该批来自A供应商的概率是多少？ A. 0.4422；B. 0.5580；C. 0.6915；D. 0.3085转载请注明出自( 六西格玛品质网 ),本贴地址:,