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1、 .相似三角形模型及应用相似证明中的基本模型A 字形AD AE DEAE AD DE图 字型，结论：=AB AC BC=，图反 字型，结论：=AC AB BC=AADF BG=EF GCAH - aa图双 字型，结论：，图含正方形 字形，结论=（ 为正方形边长）aAAAHBCAAAAIFFDEEEDEDCBD H G CBGBCBC图图图图8 字型AO BO ABAO BO AB图8 字型，结论：=OD CO CD，图反 8 字型，结论：=CO DO CD、四点共圆AE DF=BE CF111图双 8 字型，结论：，图 8 字型，结论：+AB CD EF=A图，结论：EF EG=、=SSAED
2、SBECSABECDEAAEBABABBDAFGOOFEECDCDDBCCDFC图图图图图一线三等角型结论：出现两个相似三角形Word 文档 .AAAE60ADEAHDEFEECBCDBBC CCBCDFBD图图图图角分线定理与射影定理AB BD=AC DCAB BD，图外角分线型，结论： =AC CD图角分线型，结论：图斜射影定理型，结论：AB2 BD BC，=图射影定理型，结论：1、=AC2 AD AB，2、CD2=AD BD，3、= BC2 BD BAEAACADBDCBCBBDCAD梅涅劳斯型常用辅助线AAAADDDGDEEEGEBCFBCFBBG CFCF中考满分必做题考点一 相似三
3、角形【例1】 如图， 、 是 D的边、AC AB上的点，且AD AC AE AB ，求证：ADE= .=D EABCBAEDBCWord 文档 .【例2】 如图，在 DABC 中，的长.于 ，AD BC D CE AB E于 ，DABC 的面积是DBDE面积的 4 倍，AC= 6 ，求DEAEBDC【例3】 如图，ABC 中，ABC = 60 ，点 是一点，使得APB = BPC = CPA PA = 8，PC = 6，PABC则=_PBAPBC【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF + EBGAHGDFEBC考点二：相似三角形与边的比例考点说明：可运用相似三角形模型，常用
4、 字形与8字形A【例5】 在 DABC 中，=，BD CE DE的延长线交的延长线于 ， 求证：.BCPAD BP AE CP=AEDBCP【例6】 如图，在DABC 的边上取一点 ，在D取一点 ，使AD AE=，直线和DE BC的延长线相ABACEBP BD=CP CE交于 ，求证：PADEPBCWord 文档 .【例7】 如图， 、 为边ABC BC上的两点，且满足，一条平行于 的直线分别交ACMNBM MN NC=、AB AM和的延长线于点 、 和 .D E FAN= 3DE求证：.EFADEBMNCF考点三：相似三角形与接矩形考点说明：接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似
5、三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边 长为1.5 米，面积为1.5 平方米，工人师傅要把它加工成一个AB面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。甲设计的方案如图所示，乙设计的方案如图所示，你认为哪位同学设计的方案较好，请说明理由（加工损耗忽略不计）CDBCGEDFFB EAA【例8】 DABC 中，正方形的两个顶点 、 在E F上，另两个顶点 、 分别在、 上，ABEFGHBCGHACBC =15 BC,边上的高AD=10 ,求.SWEFGHAAGHFEMCBEDFCBDWord 文档 .【例9】 如图，已知 DABC 中， AC = 5，AB =
6、11，BC = 4 5 ，四边形为正方形，其中 ， 在边D EDEGFG AB，BC 上， F ， 在上，求正方形的边长ACCDEAFGB【例10】如图，已知DABC 中，四边形为正方形， ， 在线段D EAC BC F G AB， 上， ， 在 上，如果DEGFS= S=1， S= 3 ，求 DABC 的面积DADFDCDEDBEGCDEAFGB【例11】如图，在DABC 中，= 5 ，BC = 3，C= 4 ，动点E（与点 A ， 不重合）在边上，EF ACABAC交 于 点AB BC F（1）当 DECF 的面积与四边形（2）当 DECF 的周长与四边形的面积相等时，求CE 的长的周长相
7、等时，求CE 的长EABFEABF（3）试问在上是否存在点 ，使得 DEFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；ABP若存在，请求出 EF 的长CEFAB考点四：与平行四边形有关的相似问题【例12】如图，已知平行四边形 ABCD中，过点 B 的直线顺次与 AC 、AD 及CD 的延长线相交于点 E 、F 、G ，若 BE = 5 ， EF = 2 ，则 FG 的长是_Word 文档 .GFADEBC【例13】如图，已知，2 =DE AB OA OC OE，求证：AD BC.CDEOAB【例14】如图，Y ABCD 的对角线相交于点 ，在的延长线上任取一点 ，连接交OE BC于点 ，若O
8、ABEFAB = a，AD = c，BE = b ,求 BF 的值DCOFEBA【例15】如图：矩形的面积是 36，在 AB，AD 边上分别取点 E ，F ，使得AE= 3EB ， DF = 2AF ，ABCD且与DE CF的交点为点 ，求 DO的面积。FODBEBCEODAAFK【例16】如图，已知在矩形中， E 为 AD的中点，EF EC交 AB 于 F ，连接（ AB AE ）.ABCDFC（1） DAEF 与 DECF 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.AB（2）设= 是否存在这样的 值，使得DAEF D ，若存在，证明你的结论并求出 值；BCF kkkBC若不存在
9、，说明理由.Word 文档 .AEDFBC考点五 与梯形有关的相似问题【例17】如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为 ， ，则梯形的面积p qABCD22是（）DCq2Op2AB( )( )22 p + q B p + qAC22p2q2p2+q2+pqDP2+q2+p2+ q2【例18】如图，梯形 ABCD中， ADBC ，两条对角线 AC 、 BD相交于O ，若 S: S=1: 9 ，那么AODCOBS: S= _BOCDOCADOCB【例19】如图，在梯形 ABCD中，ADBC ，AD = 3，BC = 9，AB = 6 ,CD = 4 ，若 EF BC ，且梯形
10、AEFD与梯形 EBCF 的周长相等，求 的长EFADEFCBWord 文档 .【例20】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB CD M AB/ /， 是的中点，分别连接、AC BD MD MC、，且与AC MD交于点 ， 与E DB MC交于 .F（1）求证：/ /EF CD（2）若AB a CD b= , = ，求的长.EFMABFECD【例21】如图，在梯形 ABCD 中， ADBC ， AD = a，BC = b，E ，F 分别是 AD，BC 的中点， AF 交 BE于 ， 于 ，求 的长交P CE DF QPQEADQPOBCF【例22】如图，已知梯形中， /AD BC， = 90
11、， = ,AB a AD b BC= ,b a b DE DC DE= 2 （ ）,ABCD于点 ，连接 .ECA交AB（1）判断DDCE 与 DADE， DDCE 与 DBCE 是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出 、 满足什么关系时，它们就能相似.EabDAEBC考点六：相似三角形与实际问题考点说明：常见的题型如测量树高、楼高，或者路灯下影子长度等问题【例23】小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5 米和15米。已知小华的身高为1.6 米，那么他所住楼房的高度为_米【例24】如图，王华同学晚上由路灯 下的
12、 处走到 处时，测得影子的长为1米，他继续往前走3米ABCCD的长为 2 米，已知王华的身高是1.5 米，那么路灯 的高度 等于（AB到达 处时，测得影子）EEFAA.4.5 米B.6 米C.7.2 米D.8 米AWord 文档BEFC D .考点七：位似考点说明:位似可以考察作图题，也可以填空题的形式展现，但是难度相对较简单【例25】如图，DABC 与 D 的位似中心为点 ，若A B ABC= 2 ， = 5 ，则D与 D 的面积比A B CA B COAB是_，与 的比是_AC A CABBOCC【例26】作一个多边形的位似图形，若相似比已知，下列说法中错误的是（A.位似中心可以是多边形的
13、一个顶点 B.位似中心可以任意选取）C.所作出位似图形的大小与位似中心的位置无关D.所作出位似图形的大小与位似中心的位置有关【例27】如图是由边长为 1 个单位的小正方形组成的88 正方形网格， 为一个定点，在网格中画出一个O直角三角形，要求满足满足下列条件：三个顶点都是小正方形的顶点， 是一条直角边的中点，斜边O长，且以 为位似中心，相似比为3的位似图形也在正方形网格，这样的三角形能画出几个？O5OOOOO考点八：“旋转相似三角形”模型 考点说明：此模型结合了相似与旋转的知识，在很多的几何综合问题中都能看到它的影子，因此也是非常重要的相似基本模型【例28】如图，在DABC和 DADE中， ，
14、ABC = ADE=BAD CAE（1）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）（2）请分别说明两对三角形相似的理由AEDWord 文档BC .【例29】我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：_（2）如图（1），在梯形 ABCD中， ADBC ， AC BD ，垂足为O AD求证：证明：+=+DC，即四边形 ABCD是等平方和四边形AD2BC2AB22OBC如果将图（1）中的DAOD 绕点O 按逆时针方向旋转a 度（0 a 0 ），= ，= ，第（1）题中得到的
15、结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5 为例简要说明理由DAAADDEFEGFGBBBCCCFG图6图4图5E1（3）在第（2）题图 5 中，连结，且 = 3 ， = 2 ， = ，求+DG的值DG 、 BEabkBE222考点九：“双垂直”模型考点说明:射影定理图形，虽然在考纲中并没有要求射影定理，但是还是建议学生熟练掌握，为顺利结题提供方法和思路，以及它的变形【例31】如图，直角ABC 中，AB AC AD BC证明：=BD BC，=CD BC，=BD CDAB2AC2AD2ADBCWord 文档 .【例32】如图， Rt ABC = 90，点 在上，AC= ， 是BD AD M AB的中点，于 ，点ME AC E PCD中是的中点，连接DP求证： BE DPMECCDEPABBM考点十：“一线三等角”模型考点说明：一线三等角模型也是相似三角形中常见的图形之一【例33】如图， = = = 90 ，求证： = AB DE BC CDBDACEEABDC【例34】如图，等边的边长为 ， 为上一点，且，DABC3BC=1PBP为 AC 上一点，若APD = 60 ，则CD 的长为（）AD3223123D.A.B.C.4DBPCWord 文档