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1、 小升初专项训练 工程篇一、小升初考试热点及命题方向罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用 4 天完成；若甲先做 2 天后，再和乙一起做，则共用 7 天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？答案：设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用4天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用 2 天。另外，已知甲先做 2 天，然后与乙合作，7 天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部工作时（每人做一半），相差刚好 2 天，那么很明显，甲在 7 天中正好完成了工程的一半，而乙在 5 天中也完成了工程的一半。
2、这样，甲单独完成要 14 天，乙单独完成要 10 天。工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“ 1” 综合。还有就是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。二、2013 年考点预测13 年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与猜想的能力，希望同学们多加练习。三、知识要点在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。【基本公式】：这三个量之间有下述一些关系式：工作效率工作时间工作总量；工作总量工作时
3、间工作效率；工作总量工作效率工作时间。为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。【规律总结】：不要求记忆，但要求能够理解和运用。（1）工效提高了 a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的 100/(100+a)。时间缩短了 a/(100+a)。（2）工效降低了 a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的 100/(100-a)。时间延长 了 a/(100-a)。(3)工效提高了 a/b, 工作总量不变的前提下，工时则变为原来的 a/(a+b)。时间缩短了b/(a+b)。(4)工效降低了 a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的 b /（b-a）。时间延长了a/(b-a)。(5)当
4、出现甲工作了一段时间 a，乙工作了一段时间 b，则通常是把条件处理为甲乙和干了 a（或 b时间）后甲单干（a-b）（或乙单干（b-a）段时间）四、典型例题解析1 涉及二者的工程问题【例 1】（）一项工程，甲单独做6天完成，乙单独做12天完成。现两人合作，途中乙因病休息了几天，这样用了 4.5天才完成任务。乙因病休息了几天？【解】：方法一：4.5 天甲完成了 4.56=3/4，乙完成了 1/4，需要（1/4）（1/12）=3天，所以乙休息了 4.5-3=1.5天。1 19）= ，而总工作量只有方法二：假设乙没休息，这样两人4.5天总共完成 4.5（6 121 11，所以多出来的 就是乙休息时间里
5、做的，所以乙休息了 =1.5天。8188 12【答】：乙休息了 1.5天。【例 2】（）有 240个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务，因此在甲车间开始加工了 4小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚 40分钟才完成任务。已知乙车间的效率是甲车间的 3倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？2【解】：40分钟 小时，乙车间一共比甲车间少用了313小时，乙车间的效率是甲车间的3213倍，乙比甲少工作 4 3 小时，但都完成了 120个零件。如果乙和甲的时间是一样331的话，那么乙就会多完成 240个零件，也就是说乙在 3 小时内可做 240个零件，所以乙每31小时完成的零件个数
6、为 2403 72个，甲每小时完成 72324个零件。3【答】：甲每小时能加工 24个零件。2涉及三者的工程问题 【例 3】（）一项工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 30 天完成。现在甲、乙两队先合做 8 天，剩下的由丙队单独做了 6 天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独做，需要几天？【解】：方法一：设工作总量为24，30120 单位，则甲队每天完成 24024=5 单位，乙队每天完成 24030=4 单位。前 8 天，甲、乙两队共完成（54）872 单位，则丙 6天完成 1207248 单位，丙每天完成 4868 单位。那么，如果从开始就让丙队单独做，需要 120815 天。方
7、法二：甲工作效率为 1/24，乙的工作效率为 1/30，这样甲乙合作 8 天完成的工作量为（1/24+1/30）8=9/15，所以剩下的 1-9/15=6/15 由丙做 6 天，所以丙的工作效率为 6/156=1/15，所以丙要做 15 天。【答】：如果从开始让丙队独做，需要 15 天。【例 4】（）某工程由甲、乙两个工程队合作需要12 天完成。甲工程队工作3 天后离开，同时乙、丙两个工程队加入，又工作了 3 天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程的一半，那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成，还需要几天？【解】：可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了 3 天，干完了工程的一半。因为甲乙合作需要 1
8、2 天完成，所以甲乙两队合作 3 天共完成了全部工程的。可以算出丙队 3 天完3112 4成的工作量是。则剩下的一半工程，丙队需要独做 6 天才能完成。1 1 12 4 4【答】：还需要 6 天。【例 5】（）马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原计划马师傅每天比张师傅多加工8 个零件，共用了 15 天完成。张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就来帮忙，结果师徒俩每天反比马师傅还多加工 4 个零件，这样用了 12 天就完成了，那么马师傅每天加工多少个零件？【解】：由题意知徒弟每天加工零件 8412 个。设工作总量为12，1560 份，这样原来张、马二人的工效之和为 6015=4 份，现
9、在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为 6012=5 份，相差 1 份，表明 1 份为 12 个零件。原来两位师傅每天一共加工零件 12448 个，马师傅又比张师傅每天多 8 个，则他每天加工（488）228 个。【答】：马师傅每天加工 28 个零件。【例 6】（）有甲、乙、丙三组工人，甲组 4 人的工作，乙组需要 5 人来完成；乙组的 3 人工作，丙组需要 8 人来完成。一项工作，需要甲组 13 人来完成，乙组 15 人 3 天来完成。如果让丙组 10 人去做，需要多少天来完成？【解】：设甲组每人每天的工作量为 1，则乙组每人每天的工作量为 4/5，丙组每人每天的工作量为：4/53/8=3/1
10、0。这项工作的总工作量为：（113+4/515）3=75丙组 10 人需要干：753/1010=25（天）。 3涉及多者的工程问题【例 7】（）一项工程，45人可以若干天完成。现在 45人工作 6天后，调走 9人干其他工作。这样，完成这项工程就比原来计划多用了 4天。原计划完成这项工程用多少天？【解】：前6天的工作可看作是按原计划进行，设原计划还需要a 天完成。剩余的工作按照45人进行和实际的 45-9 = 36人进行相差 4天，表明 36人最后 4天的量相当于调走的那9个人 a 天的工作量。则a 为 364916天。原计划用 16420天。【答】：原计划用 20天完成。【例 8】（）A、B、
11、C、D、E五个人干一项工作，若 A、B、C、D四人一起干需要 6天完成；若四人干，需要 8天完工；若 A、E两人一起干，需要 12天完 工。那么，若 E一人单独干需要几天完工？【解】：可设工作总量为6，8，1224单位，则 A、B、C、D四人每天完成 4单位，B、C、D、E四人完成 3单位，表明A每天比 E多做 1单位；由题意又可知A、E两人一天完成 2单位，则 A每天完成（21）21.5单位，E每天完成（21）20.5单位。那么，如果由 E一人单独做需要 240.548天。【答】：如果由 E一人单独做需要 48天。【例 9】（）某工程如果由第一、二、三小队合干需要 12天都能完成；如果由第一
12、、三、五小队合干需要 7 天完成；如果由第二、四、五小队合干需要 8 天都能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能完成这项工程？【思路】：我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出现三次，因此题目中四种方式的效率总和为 5 个小队效率和的 2 倍再加上一、三两支小队的效率和因此，再加上一个二、四、五 3 支小队效率和，得到的结果就应该是 5 个小队效率的 3倍【解】：通过条件，我们有以下公式：（一二三四五）3=(一二三)+(一三五)+(二四五)2+(一三四)所以，5支小队效率和为：1 1 1( + + 2 + ) 3
13、=12 7 8 421164水箱注水的工程问题【例 10】（）水池安装 A、B、C、D、E五根水管，有的专门放水，有的专门进水。如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示：A，BC，DE，AD，EB，C2610315 如果选用一根水管注水，要尽快把空池注满，问应选用哪根水管？答：D。提示：由题中的表可以看出注水的速度的大小。比较第一列与第三列得 BE，比较第一列与第五列得 AC，比较第二列与第五列得 DB，比较第二列与第四列得 EC，比较第三列与第四列得 DA。【例 11】（）有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和 B注水，在相1同时间内甲、乙两管注水量之比 7：5。
14、经过2 时，A、B 两池中已注入水之和恰好是一池3水。此后，甲管的注水速度提高25，乙管的注水速度降低 30。当甲管注满 A池时，乙管还需多长时间注满 B池？1【解】：因为相同时间内甲、乙两管注水量之比7：5不变，所以经过2 恰好是一池水时，375甲乙水管分别注入一池水的、12 12。如果注水速度不变，那么注满一池水甲、乙管分别还需注水速度变化后，注满一池水甲、乙水管分别还需所以，当甲水管注满 A池时，乙水管注满 B池还需5 较复杂的工程问题【例 12】（）一项工程，乙单独做需要 17天完成；如果第一天由甲作，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替
15、轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工作要多少天完成？来源：人大附测试题【解】：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同。现在乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数。于是可表示为：竖线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做一天等于甲做半天，乙做17天相当于甲做 8.5天。【例 13】（）有甲乙两个工程，现分别由A、B 两个施工队完成。在晴天A 队完成工程需要 8 天，B 队完成工程需要 12 天，在雨天，A 施工队的工作效率下降 60，B 施工队的工作效率下降 20。最后两个施工队同时完成这两项工程，问
16、施工的日子里雨天有多少天？【解】：10 天。 晴天时，A 施工队比 B 的工作效率高：1/81/12=1/24雨天时，B 施工队比 A 的工作效率高：1/12（120）1/8（160）=1/60要想两队同时完成，则由 1/24：1/60=5/2 可知，必须是每 2 个晴天有 5 个雨天，而此时完成工程的：1/82+1/80.45=1/2，故整个工程共有 4 个晴天，10 个雨天。【教师选讲】：有一个蓄水池装有 9 根水管，其中一根为进水管，其余 8 根为相同的出水管。进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水。后来有人打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已经注入了一些水）。如果把 8 根进水
17、管全部打开，需要 3 小时把池内的水全部排出；如果仅打开 5 根出水管，需要 6 小时把池内的水全部排光。问要想在 4.5 小时内把池内的水全部排出，需要同时打开几根出水管？【解】：这道题是“牛吃草”问题与工程问题的综合。设每根出水管 1 小时的排水量为单位“1”。8 根出水管 3 小时共排水 24 单位，5 根出水管 6小时共排除水 30 小时，表明进水管 633 小时进水 30246 单位，则进水速度为每小时 2 单位，池中原有水 242318 或 302618 单位。如果要在 4.5 小时内将水全部排出，池中原有的水加上这段时间内进水管注入的水一共为1824.527 单位，每小时排水 2
18、74.56 单位，则需要同时打开 6 根出水管。【拓展】“牛吃草”问题例题选讲：有一片牧场，草每天匀速生长，如果牧民在此放24 只羊，则 6 天吃完草；如果放牧 21 只羊，则 8 天吃完，每天吃草的量都是相等的问：1、如果放牧 16 只羊，则几天可以吃完牧草？2、要是牧草永远吃不完，最多放几只羊？【解 】：1、设草每天吃 1 份。24 只羊，则 6 天吃完草,说明 6 天长的草+原来的草共 246=144;21 只羊，8 天吃完,说明 8 天长的草+原来的草共 218=168 份; 所以两天长的草 168-144=24份，即每天长 12 份,这样原来草为 144-612=72 份，那么草地每
19、天长的草够 12 头羊吃一天.如果放 16 头羊，那么 12 头够吃长出来的草，还剩下 4 头吃原来的 72 份，这样可以吃 18 天。2、若要牧草永远吃不完,羊只能吃新长的草,所以最多只能放 12 头羊.补充试题：一 块 1500 平方米的牧场上长满牧草，每天都匀速生长。可供 18 头牛吃 16 天，或是供 27 头牛吃 8 天。如果这片牧场有 6000 平方米，6 天中最多可供几头牛吃？【解】：设每天吃 1 份，这样 18 头牛吃 16 天共 1816=288 份，供 27 头牛吃 8 天共 216 份，多出来 288-216=72 份就是 8 天多长出来的，所以每天草长 9 份，这样原来
20、草总共是 288-916=144 份，现在牧场有 6000 平方米，所以是原来的 4 倍，所以现在草有 1444=576，每天长 36 份，这样每天新长的草要 36 头牛吃，而原来的草要吃 6 天，要 5766=96 头牛，所以总共要 132 头牛。【课外知识】牛吃草问题由于打字员的辞职，一个公司积压下一批需要打印的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打印的材料。假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的、固定的（单位是负天）。如果公司聘任 5 名打字员，24 天就恰好打完所有材料；如果公司聘任 9 名 打字员，12 天就恰好打完所有材料。公司聘任了苦干名打字员，工作 8 天之后，由于业务
21、减少，每大新增的需要打印的材料少了一半，结果这些打字员共用40 天才恰好完成打字工作。问：公司聘任了多少名打字员？【分析】解这类型题的关键需要了解打印材料的有关情况：积压下的材料数量和每天增加的材料数量。其解法和解决牛吃草问题类似。【解】设每个打字员 1 天打字为 1，则 5 名打字员 24 天打了 524120，9 名打字员 12 天打了 912108。材料每天增加（120108）（2412）l。原有材料 12024196。40 天实际材料总量 9618（408）12120。打字员人数 120403（人）。答：公司聘任了 3 名打字员。【评注】本例把聘任制问题迁移到牛吃草问题中，这种简便新颖
22、的解法令人拍案叫绝！小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）涉及二者的工程问题2）涉及三者的工程问题3）涉及多者的工程问题4）水箱注水的工程问题5）较为复杂的工程问题参见例 1，2参见例 3，4，5，6参见例 7，8，9参见例 10，11参见例 12，13，作业题（注：作业题-例题类型对照表，供参考）题 1，4，6，7类型 1；题 2类型 4；题 3，5类型 5，题 8类型 21、（）某工程限期完成，甲队单独做正好按期完成，乙队单独做误期 3 天才能完成，现在两队合作 2 天后，余下的工程再由乙队独做，也正好按期完成。那么该工程限期是多少天？【解】：6 天。由题可知，甲 2 天的工作量相当于乙
23、 3 天的 工作量，所以工程期限为：2（3（32）=23=6 天。2（）某水池有甲、乙、丙 3 个放水管，每小时甲能放水 100 升，乙能放水 125 升。 现在先使用甲放水，2 小时后，又开始使用乙管，一段时间后再开丙管，让甲、乙、丙3 管同时放水，直到把水放完。计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等。那么水池中原有多少水？【解】：甲开始 2 小时放水 200 升，最后 3 管放的水相同，而乙管每小时比甲管多放 25 升水，所以乙管放水的时间为 200258 小时，放水量为 12581000 升。因此池中原有水 3000 升。3（）张师傅加工 540 个零件。他前一半时间每分生产 8 个
24、，后一半时间每分生产12 个，正好完成任务。当他完成任务的 45时，恰好是上午 9 点。张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？【解】：平均每分加工（812）210（件），加工 540 件共需 54 分。由题意知，前 27 分加工了 827216（件），540 件的 45是 243 件，24321627（件），这 27 件是以每分112 件的速度加工的，所用时间为2712=2 （分）。到 点时加工所用的时间为9412 29 （分）127+=29 15分秒。所以开始时是 时830 45分 秒。444. （） 甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半，甲完成任务的 1/3 时乙加工了 5
25、0 个零件，甲完成 3/5 时乙完成了一半。问：这批零件共多少个？【解】：360 个。提示：甲完成 3/5 时乙完成了一半，效率比为 6：5。所以乙加工 50 个零件的时候甲应该加工了 60 个。占 1/3。所以甲的总任务 180 个。这批零件为 360 个。5. （）李师傅加工一批零件，第一天加工了 48 个，第二天比第一天多加工 25，第三天比第二天多加工 5，三天共完成这批零件的 95。这批零件共有多少个？解：481125（1105）95180（个）。6. （） 单独完成一件工程，甲需要 24 天，乙需要 32 天。若甲先做若干天以后乙接着做，则共用 26 天时间，问：甲独做了几天？12
26、6 13 26 =32 16【解】：如果 26 天都由乙来做，他能完成的工作量为32可是由于有甲参与其中，所以实际上 26 天完成了整个工作111甲做一天比乙做一天多做-=24 32 96113所以甲做的天数为=18天。(1- ) 16 967. （） 修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？ 8. （）有 A，B 两堆同样多的煤，如果只装运一堆煤，那么甲车需要 20 时，乙车需要 24 时，丙车需要 30 时。现在甲车装运 A 堆煤，乙车装运 B 堆煤，丙车开始先装运 A堆煤，中途转向装运 B 堆煤
27、，三车同时开始，同时结束装完这两堆煤。丙车装运 A 堆煤用了多少时间？【解】：以装运一堆煤的工作量为 1，则三车共同完成的工作量9、（）某筑路队按照旧施工方法制定了施工计划，干了 4 天后改用新施工方法，由于新施工方法比旧施工方法效率高 50，因此比计划提前 1 天完工。如果用旧施工方法干了 200 米后就改用新施工方法，那么可以比计划提前 2 天完工。问：原计划每天筑路多少米？几天完工？【解】：新、旧施工方法的效率之比为 150100，用旧施工方法干 3 天等于用新施工方法干2 天。又由于用旧施工方法干 4 天后改用新施工方法可提前 1 天，所以用旧施工方法干 1 天后改用新施工方法可提前
28、2 天。再由题设条件知，用旧施工方法 1 天筑路 200 米，需 7 天完成。名校真题 测试卷 7 （工程篇）时间：15 分钟 满分 5 分1 （06 年三帆中学 考题）姓名_ 测试成绩_原计划 18 个人植树，按计划工作了 2 小时后，有 3 个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种 1 棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植_棵树.2 （05 年首师附中考题）一项工程，甲做 10 天乙 20 天完成，甲 15 天乙 12 也能完成。现乙先做 4 天，问甲还要多少天完成？ 3 （05年人大附中考题）一部书稿，甲单独打字要 14小时完成，乙单独打字要 20小时完成。如果先由甲打 1小
29、时，然后由乙接替甲打 1 小时，再由甲接替乙打 1 小时，两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？4 （06年西城四中考题）如果用甲、乙、丙三那根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时 20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时 15分钟可以灌满，那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池的水需要 _小时。5(01年北大附中考题)一项工程，预计15个工人每天做 4个小时，18天可以完成。为了赶工期，增加3人并且每天工作时间增加 1小时，可以提前_天完工。【附答案】1【解】： 3人被抽走后，剩下 15人都多植树 1棵，这样每小时都总共多植树
30、15棵树，因为还是按期完成任务，所以这 15棵树肯定是 3人原来要种的，所以原来每人要植树 153=5棵。2【解】：甲 10天+乙 20天=1；甲 15天+乙 12天=1，所以工作量：甲 10天+乙 20天=甲 15天+乙 12天，等式两端消去相等的工作量得：乙 8天=甲 5天，即乙工作 8天的工作5量让甲去做只要 5天就能完成，那么整个工程全让甲做要 15+12 =22.5天。现在乙了 48 5天就相当于甲做了 4 =2.5 天，所以甲还要做 20 天。81【解】：甲的工作效率= ，乙的工作效率=141173，合作工效=，甲乙交替工作相20414017 140=140 174当于甲乙一起合作
31、 1 小时，这样 1=8，所以合作了 8 小时，这样还剩下17174155就是甲做的，所以甲还要做 =317 14 17，所以两人总共作了 8+8+小时。174【解】：方法一：（编者推荐用法）甲、乙、丙 60 分钟可以灌满，甲、乙两管 80 分钟可以灌满，乙、丙两根水管 75 分钟可以灌满；这样我们先找出 60、80、75 的最小公倍数，即 1200，所以我们假设水池总共有 1200 份，这样甲、乙、丙每分钟灌 120060=20 份，甲、乙每分钟灌 120080=15 份，乙、丙每分钟灌 120075=16 份，所以乙每分钟灌 15+16-20=111200份，这样乙单独灌水要 120011=分钟。11方法二：设工作效率求解，省略。5【解】：假设每个工人每小时做一份，这样总工程量=15418=1080 份，增加3 人每天增加 1 小时，那么需要的时间=1080（15+3）(4+1)=12 天，所以提前 6 天完成。