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1、线 段 的 和 差 问 题薛志军(湖南长沙中南大学附属实验中学 410083)线段的和差问题是几何证明中常见的题型，它与证明线段相等紧密相联.一般来说，通过作辅助线可转化为线段相等问题.解决线段的和差问题，需要综合应用三角形全等，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含有30角的直角三角形的性质，线段中垂线的性质，角平分线性质，三角形，梯形中位线性质等知识.因此，通过此问题的讨论，一方面，帮助学生对与之相关的知识、定理进行梳理，系统化，进而建构有效的知识系统；另一方面，使他们在学习具体的几何知识的同时，掌握“化归”的数学思想方法.一、 利用图形中已有的线段和差关系进行证明例1 已知：如图1，在
2、ABC中，ABC的平分线与ACB相邻外角ACG的平分线相交于D，DEBC交AB于E，交AC于F.求证：EF=BE-CF.分析 要证EF=BE-CF，而图中有EF=ED-FD，若能证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出.说明 本题利用了等腰三角形的判定来证明线段的 差的问题. (图1) 例2 已知：如图2，ABC中，BAC=90o，AB=AC，AE是过点A的一条直线且B，C在AE的异侧，BDAE于D，CEAE于E. 求证：BD=DE+CE. 分析 本题主要利用BADACE，得BD=AE，AD=CE，从而得BD=AE=DE+AD=DE+CE.说明 本题主要利用三角形全等的方法直接证明线段的和的问
3、题. (图2) 二、截长法（在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证明余下的线段等于第二条线段）例3 已知：如图3，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE.分析 要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出AFCADC.证明 在EA上截取EF=BE，连结CF. CEAB于E,CF=CB .1=B .1+2=180，B+D=180, (图3)2=D .FAC=DAC，AC=AC,AFCADC. AF=AD. AE=A
4、F+EF, AE=AD+BE.三、补短法（延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段）例4 已知: 如图4，在ABC中,BAC=2B,CD是ACB的平分线.求征: BC=AC+AD .证明 延长CA至E，使AE=AD，连结DE .E=EDA . (图4)BAC=E+EDA=2E .BAC=2B , B=E.在CDE和CDB中 .1=2，CD=CD，E=B ,CDECDB .CE=CB ,BC=CE=EA+AC=AD+AC .四、旋转法例5 已知:如图5，已知F为正方形ABCD的边BC上一点，AE平分DAF.求证：DE=AF-BF.分析 将ADE绕A点顺时针旋转90，则AEA
5、E. 可证E，B，F共线，E= EAF (图5) 则有AF= EF.DE=BE=EF-BF=AF-BF.五、等积变换法例6 已知:如图6，已知在ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，如果在BC上取一点F，过F作FGAB于G，作FHAC于H.求证：FG+FH=BD.分析 连接AF. (图6)得BD=GF+FH . 例7 已知:如图7，在ABC中，A=90，D是AC上一点，BD=CD，P是BC上任一点，PEBD于E，PFAC于F.求证：PE+PF=AB.分析 连接PD .由 , (图7) 得得AB=PE+PF.六、归一法（将处于不同位置的线段转化到同一条线段中来）例8 已知:如图8，已知平行四
6、边形ABCD的对角线交于O，点P是BD上任一点（异于B，O，D三点），过P点作平行于AC的直线交直线AD于E，交BA的延长线于F.求证：AC=PE+PF.分析 ，, 且OB=OD= , (图8).即 . ，即AC=PE+PF.七、特殊定理法证明线段的和差时，可适当添加辅助线，以便于运用某些特殊的定理.这些 特殊的定理包括：三角形，梯形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等.例9 已知:如图9，AB是的直径，直线MN与 相切于C，AEMN于E，BFMN于F.求证：AE+BF=AB. 分析 连接OC，则有OCMN.AEMN，BFMN,AEOCBF . (图9)OA=OB,EC=CF.AE+BF=2OC=AB. 6