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1、第一次课第一章三角形的证明性质定理知识点一：等腰三角形（垂直平分线点到点的距离相等）1、 全等三角形的性质及判定全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。判定三角形全等的四种方法：SSS, SAS, ASA, AAS.2、 等腰三角形的性质 定理：1 等腰三角形，两底角相等（等边 对等角）。2 等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。( “三线合一”)3 等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。（特殊线段相等）。 等腰三角形的判定 定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。知识点二：等边三角形1、 等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个
2、内角都相等，且都等于 60。判定定理3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个 顶点的距离相等。（证明“三点共线”：先作出其中两条边的交点，再证明该点在第三条线上） 知识点六：角平分线 （点到边）1、 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。2、 角平分线性质定理的符号语言：D 在ABC 的角平分线 BM 上，且 DEAB，DFBC，DE=DF。 3、 角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。 4、 平分线判定定理的符号语言（ABC）：DEAB，DFBC，且 DE=DF，所以 D 在ABC 的角平分线
3、。性质定理2、 等边三角形的判定定理：有一个角是 60的等腰三角形 是等边三角形。（角平分线点到边的距离相等）三个角都相等的三角形是等边三角形。知识点三：反证法步骤：假设：假设结论不成立；推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论； 假设不成立； 原命题成立。知识点四：直角三角形1、 直角三角形性质定理：1 角的角度：直角三角形，两锐角互余。2 边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。2、 直角三角形的判定定理：1 角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。2 边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此
4、 三角形是直角三角形。）3、 特殊的直角三角形：判定定理3、三角形三内角的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三角形三条 边的距离相等。知识点七：尺规作图：1、 线段垂直平分线的画法：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径 画弧线。得到两个交点(两交点交于线段的两侧)。连接这两个交点。2、 等腰三角形的画法：已知，求作例：已知等腰三角形的底和高，求作等腰三角形。已知：线段 a 和 b.求作：等腰三角形ABC，使 BC=B，高 AD=a.解：作法：1. 作射线 BE ；2. 在射线 BE 上取一点 C，使 BC=b；作线段 BC 的垂直平分线 MN，交
5、BC 于点 D；在直角三角形中，有一个角是 30，则它所对的直角边是斜边的一半。 在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为 30。以点 D 为圆心，以 a 为半径画弧，交 MN 于 A； 连接 AB、AC.4、“HL ”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。（注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。）则ABC 就是所求作的三角形。 4、 角平分线的画法（ABC）：知识点五：垂直平分线 （点到点）1、 性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、 判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。以角的顶点 B
6、 为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交 AB、BC 于点 M、N； 分别以 M、N 分别为圆心，以大于 1/2MN 为半径画弧，两弧交于点 O； 连接 BO 。专题一：证明线段相等1、如图，已知 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AC 上一点，BE 与 AD 交 于点 F，若 AE=EF，求证：AC=BF.5、工人师傅要测量 A 山山顶的垂线到山一脚的距离 AF.直接测量十分烦琐,恰巧有一 B 山已被开发成功.已知 B 山 A 山等高,且两山斜坡长度 DF 与 NP 也相等.若山已知距离 BP 为 100 米,那么能否直接判定 A 山距离 AF 也为 100 米呢?2、已知:如图
7、,ABC 是等边三角形,BD 是 AC 边上的高,延长 BC 到 E,使 CE=CD,求证:BD=DE 。专题四：角平分线的应用6、如图， ， ， ，若 ，则 7 ABC 中,C=90 DEAB 于 D,交 AC 于 E,若 BC=BD,AC=5cm.则_ 。AE+ED=_.AD专题二：证明角相等3、如图，已知等 ABC，现 ABC 折叠，使 A 点落在 BC 边上 D 点，折痕为EBEF，求证：BED=FDCC8、已知：线段 a 和 b.求作：等腰三角 ABC，使 AB=AC=a，高 AD=b.4.已知:如图 ABC（ABAC）中,D、E 在 BC 上,且 DE=EC,过 D 作 DF/BA 交 AE 于 点 F,DF=AC.求证:AE 平分BAC专题三：直角三角形的应用9、如图， ABC 中，ABC=45，CDAB，BEAC，垂足分别为 D， E，F 为 BC 中点，BE 与 DF，DC 分别交于点 G，H，ABE=CBE。 （1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由。（2）求证： 。