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1、 平面向量的坐标运算、线段的定比分点典型例题精析例 1 平面内有三个已知点 A(1，2)，B(7，0)，C(5，6)，求，2，3【分析】 本题涉及向量的坐标表示、向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算，均需正确掌握其运算法则【解】A(1，2)，B(7，0)，C(5，6)，=(71，02)=(6，2)，(51，62)=(6，8)，(66，28)(0，10)，=(66，28)(12，6)，或=(75，06)=(12，6)=(12，4)(3，4)(9，8)3=(6，2)3(6，8)=(6，2)(18，24)(618，224)=(24，22)， 或3=(6，2)3(6，8)(6，2)(18，24)
2、(618，224)=(24，22)例 2 用坐标法证明0【证明】 设 A(a ，a )，B(b ，b )，C(c ，c )，则212112=(b a ，b a )，2112=(c b ，c b )，2112=(a c ，a c )，2112=(b a ，b a )(c b ，c b )1 1 2 2 1 1 2 2(a c ，a c )2112=(b a c b a c ，b a c211111122b a c )222=(0，0)=0【说明】 这个证明过程完全是三个点坐标的计算，无需考虑三个点 A，B，C 是共线还是不共线的位置关系同时，对这个结论的更一般形式，即几个向量顺次首尾相接，组成一
3、条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了： 例 3 已知 M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，且的值，求 y【分析】 先由已知点坐标分别求出向量行的充要条件求解 y及的坐标，再由向量平【解法一】 利用向量平行充要条件的坐标表达式M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，(1，1)，=(1，y1)，(1)(y1)1(1)0解得 y=2【解法二】 利用向量共线的定理由已知，故有且仅有一个实数 ，使=M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)(1，1)，=(1，y1)，(1，y1)= (1，1)，(1，y1)=( ， )解得 1，y2y=2例 4 已知
4、ABC的三个顶点的坐标为 A(0，0)，B(4，0)，C(3，6)，边 AB，BC，CA的中点分别为 D，E，F，且ABC的重心为 G，求： 【分析】 解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点 D，E，F的坐标，再利用三角形重心 G的坐标公式求得 G的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量【解】 A(0，0)，B(4，0)，C(3，6)，且 D，E，F分别为 AB，BC，CA的中点，G为ABC的重心， 【说明】 本题中的(3)，(4)具有一般性，我们将在例 5 中作一般结论的推证，另外结论(3)与(4)本身有着必然的联系，因为 G 为ABC 的例 5 如图 522，在ABC
5、 中，D，E，F 分别为 AB，【证明】 必要性 充分性l( m)即 (mk)0l是不共线的，故 mk=0，且 m0，由于与lmk 更为简捷：例 6 如图 523，在ABC 中，D，E，F 分别为边 BC，【分析】 要证ABC 与DEF 的重心相同，实际上是证表示重心的两点重合，一种方法是利用向量相等，另一种方法是证明两个重心的坐标相同【证法一】设ABC 的重心为 G，DEF 的重心为 G，且设 则对于平面内的任意一点 O，有G 与 G重合故ABC 与DEF 的重心相同【证法二】 设ABC 三点的坐标分别为 A(a ，a )，B(b ，b )，C(c ，c )，1212其重心 G 的坐标为(g
6、 ，g )DEF 三个顶点的坐标分别为 D(d ，d )，E(e ，e )，121F(f ，f )，其重心 G的坐标为(g ，g )，则212121212 同理 d e f =a b c 2222 22G 与 G重合故ABC 与DEF 的重心相同【证法三】利用例 5 的结论设 G 为ABC 的重心，则设 G为DEF 的重心，则据例 5 的结论，可知 ABC 与DEF 的重心相同【说明】 证法一使用的是线段定比分点的向量式证法二使用的是线段定比分点的坐标公式而证法三，利用了三角形中两个重要的结论：G 为ABC重心=0；CA ，AB 上的点)例 7 如图 524，在ABC 中，D 为边 BC 上的点，且=k，E为 DA 上一点，且=l，延长 BE 交 AC 于 F，求 F 分有向线段的比 故由此可解得 【解】 设=a，=c，分别将，用，的线性组合表示=k， 又 =l，又由 F分有向线段的比为 ，即 =，可知又 B，E，F三点共线， =t，tR 由于 a，c 为不共线向量，故两式相除，消去 t，得