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1、 第七章 求极值及解线性规划问题命令与例题在一些实际问题中, 经常遇到需要知道某个已知函数（带有条件约束或不带条件约束）在哪些点取得极大值或极小值的问题，所考虑的已知函数常称为目标函数， Mathematica提供了求目标函数的局部极小值命令和线性规划（即带有线性条件约束的线性目标函数在约束范围内的极小和极大值）命令。 7.1求函数的局部极值Mathematica只给出了求局部极小值的命令，如果要求局部极大值只要把命令中的目标函数加上负号即可，即把“目标函数”变为“-目标函数”就可以求局部极大值了。 Mathematica求函数局部极小值的一般形式为: FindMinimum 目标函数, 自变
2、量名1，初始值1, 自变量名2，初始值2,具体的拟合命令有:命令形式1：FindMinimum fx, x, x0功能：以 x0为初值, 求一元函数f(x)在x0附近的局部极小值。命令形式2：FindMinimum fx, x, x0 , x1功能：以 x0和x1为初值，求一元函数f(x)在它们附近的局部极小值。命令形式3：FindMinimum fx, x, x0 , xmin,xmax 功能：以 x0为初值, 求一元函数f(x)在x0附近的局部极小值, 如果中途计算超出自变量范围xmin,xmax, 则终止计算。命令形式4：FindMinimum fx,y,., x, x0,y, y0,功
3、能：以点(x0, y0,)为初值, 求多元函数f(x,y,)在(x0, y0,)附近的局部极小值。注意：1）所有命令结果显示形式为：极小值, 自变量 - 极小值点 2）把上面命令中的目标函数f写为 f, 对应的命令就可以用来求局部极大值了，但要注意的是此时求出的结果是f的局部极小值，因此，还要把所求出的极小值前面加上负号才是所要的局部极大值。 3）命令2主要用于目标函数没有导数的情况。 4) 求多元函数的极值时，初值(x0, y0,)可以根据实际问题来猜测，对二元函数的极值还可以借助等高线图中的环绕区域得到。 例题例1. 求函数y=3x4-5x2+x-1, 在-2,2的极大值、极小值和最大值、
4、最小值。解: 先画出函数图形，再确定求极值的初值和命令。Mathematica 命令为: In1:= Plot3x4-5x2+x-1,x,-2,2Out1=-Graphics-从图中看到函数在-1和1附近有两个极小值点，在0附近有一个极大值点，用Mathematica 命令求之：In2:=FindMinimum3x4-5x2+x-1,x,1Out2= -2.19701, x - 0.858028 （*函数在 x=0.858028取得极小值-2.19701In3:=FindMinimum3x4-5x2+x-1,x,-1Out3= -4.01997, x - -0.959273 （*函数在 x=-
5、0.959273取得极小值-4.01997In4:=FindMinimum-(3x4-5x2+x-1), x,0Out4= 0.949693, x - 0.101245 （*函数在 x=0.101245取得极大值-0.949693In5:= 3x4-5x2+x-1/.x-2 （*计算函数在 x=-2的值Out5=25 In6:= 3x4-5x2+x-1/.x-2 （*计算函数在 x=2的值Out6=29 故所求函数在-2,2的x=2处取得最大值29, 在x=-0.959273处取得最小值为-4.01997。例2. 求函数z= e2x(x+y2+2y)，在区间-1,1-2,1内的极值。解: 本题
6、限制了求极值的范围，为确定初值，借助等高线图Mathematica命令为 In7:= ContourPlotExp2x*(x+y2+2y),x,-1,1,y,-2,1, Contours-20, ContourShading-False, PlotPoints-30从图中可知函数在（0.45,-1.2）可能有极值，取x0=0.45，y0= -1.1, 再用求极值命令In8:= FindMinimumExp2x*(x+y2+2y), x, 0.45, y, -1.1Out8= -1.35914, x - 0.5, y - -1.求得函数在 x= 0.5, ，y= -1取得极小值-1.35914。
7、例3. 求函数f(x,y,z)=x 4+siny-cosz,在点（0，5，4）附近的极小值 。解: In9:= FindMinimumx4+Siny-Cosz,x,0,y,5,z,4 Out9= -2., x - 0., y - 4.71239, z - 6.28319故函数在 （0, 4.71239, 6.28319）取得极小值-2。数学实验：用Mathematica 求条件极值。7.2 解线性规划问题线性规划是运筹学的一个重要分支，应用很广。线性规划问题可以描述为求一组非负变量，这些非负变量在满足一定线性约束的条件下，使一个线性目标函数取得极小（大）值的问题，线性规划的标准形式为：目标函数
8、 ： minS= c 1x 1 + c 2x 2 + + c n x n a11 x 1 + a12 x 2 +.+ a1n x n = b 1 a21 x 1 + a22 x 2 +. + a2n x n = b2约束条件： . a m1x 1 + a m2x 2 +.+ a mn x n = b m x 1 ,x 2 , x n 0这里x 1 ,x 2 , x n 是变量， c i, aij ,bi都是已知常数，且bi 0，约束条件常用符号:s.t.表示。 线性规划的一般形式为：目标函数 ： minS= c 1x 1 + c 2x 2 + + c n x n a11 x 1 + a12 x
9、 2 +.+ a1n x n b 1 a21 x 1 + a22 x 2 +. + a2n x n b2s.t. . a m1 x 1 + a m2 x 2 +.+ a mn x n b m 式中符号“”可以是关系符号：, 极小值点1，自变量2 - 极小值点2，。2） 命令2结果形式为：极大值, 自变量1 - 极大值点1，自变量2 - 极大值点2，。3） 上面命令中的f为线性规划中的目标函数,它必须是变量x1,x2,的线性函数。4） 上面命令中的inequalities为线性规划中的约束不等式组,每个关系式必须用逗号分隔。5） 上面命令中的x1,x2,线性规划中的自变量名称,它们必须取非负值且
10、可以用其它符号名。 例题 例4. 求线性规划问题 MaxS= 17x 1 -20 x 2 +18 x 3 x 1 - x 2 +x 3 10s.t. x 1 + x 3 5 x 1 5解: 本题用命令2求之。Mathematica 命令为: In10:= ConstrainedMax17x1-20x2+18x3, x1-x2+x310,x120, x1, x2, x3Out10= 160, x1 - 0, x2 - 10, x3 - 20计算结果可得所求目标函数极大值为160，对应的极大值点为（0，10，20）。例5. 求线性规划问题 Min m= 13x -y +5z x +y =7, s.
11、t. y + z 2, y0,z0 解: 本题用命令1求之。Mathematica 命令为: In11:= ConstrainedMin13x-y+5z, x+y=7, y+z2, y0, z0, x,y,z Out11= 16, x - 2, y - 10, z - 0计算结果可得所求目标函数极小值为16，对应的极小值点为（0，10，0）。例6. 现有三种食品A1,A2,A3,各含有两种营养成分B1,B2, 每单位食物Ai含有Bj成分的数量及每种食物的单价如下表所示: 种类成分A1A2A3营养成分需要量 B12045 B22314 单价423问应如何选购食物,才能既满足对营养成分B1,B2的
12、需要,又使费用最少？解: 设购买食品A1,A2,A3的数量分别为 x 1, x 2,x 3,花费的费用为S,则本问题可以用以下的数学模型来描述： Min S= 4x 1 +2x 2 +3x 3 2x 1 + 4x 3 5 s.t. 2x 1 + 3x 2 +x 3 4 x 1 , x 2 , x 3 0解: 用Mathematica 命令为: In12:= ConstrainedMax4x1+2x2+3x3, 2x1+4x3=5, 2x1+3x2+x3=4,x1=0,x2=0,x3=0 , x1, x2, x3Out12=67/12, x1 - 0, x2 - 11/12, x3 - 5/4
13、计算结果显示购买11/12数量的食品A2, 5/4数量的食品A3可以满足本问题的要求,此时的花费的费用为67/12。例7. 求线性规划问题 Min f = -x-3y-3z, 3x+y+2z+ v =5 s.t. x+ z+ 2v+w =2 x+ 2z+u+2v =6 x, y, z, u, v, w0解: 本题用命令1求之。Mathematica 命令为: In13:= ConstrainedMin-x-3y-3z, 3x+y+2z+v=5, x+z+2v+w=2, x+2z+u+2v=6, x, y, z, u, v, w Out13= -15, x - 0, y - 5, z - 0, u - 6, v - 0, w - 2计算结果可得所求目标函数极小值为-15，对应的极小值点为(x, y, z, u, v, w)=(0,5,0,6,0,2）。98