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1、1,振动与波动,主讲教师：惠娟利,2,机械振动,一、简谐振动的定义,1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的规律变化，称这个物体在作简谐振动或简谐运动。,2、两个特例：“弹簧振子”和“单摆” 。,弹簧振子,单摆,3,动力学特征：,动力学方程：,运动方程：,弹簧振子,单摆,注1：弹簧振子水平放置，竖直放置或放在固定的光滑斜面上都可以做简谐振动。,注2：,4,例1. 如图，用六根拉伸的长度均为10cm的弹簧将一质量m为10g的物体悬挂起来。每个弹簧上的拉力均为5N，如果将物体垂直于图面向外稍微拉动一下，然后释放，则该物体m振动的频率为_Hz,解：,设物体
2、相对图面的垂直位移为x，,弹簧相对面的倾角为，,物体受弹簧合力(指向图面)为F,则：x=lsin， F=6fsin6f,其中l为弹簧长度，f为一根弹簧拉力,f 阻碍的增大，f 0,(1986.二.1),振动频率：,5,例2.质量为m的质点在水平光滑面上,两侧各接一弹性系数为k的弹簧,如图,弹簧另一端被固定于壁上,L为两弹簧自然长度,如使m向右有一小位移后,静止施放,则质点每秒通过原点的次数为_,(1987.二.2),解：,质点离开其平衡位置位移为x,所受合力为-2kx.由牛顿定律,其自由振动方程为:,其振动频率为：,质点每秒通过原点为 次。,6,二、简谐振动的特征量,1、振幅 A,2、角频率（
3、圆频率）,：质点离开平衡位置的最大距离。,: 2秒内质点的振动数。,对弹簧振子：,对单摆：,由振动系统本身的性质决定。,由振动系统的初始状态决定。,7,例3. 利用单摆测定重力加速度g，已知摆的周期T为2s，测量摆长的相对误差为0.05%，用秒表测量时间的误差约为0.05s，如果要求测量结果g的相对误差小于0.1%，则至少要数_个周期的摆动。 (1985.二.8),解：,由于单摆有等时性，摆动周期总相同，因此测定重力加速度可测n个周期时间t=nT来减小测量误差，,单摆周期公式,改写成,8,则误差传递公式为：,代入已有数据有：,解得：,(1989.二.1)，,同类型的题：,(1991.二.12)
4、,9,3、 相位（位相，周相）：,反映质点的运动状态。,t =0 时位相值 ，称初相，,( t + )是 t 时刻的相位，,由振动系统的初始状态决定。,为方便计，规定：,注：角频率就是相位的变化速率。,10,4、两个同频率简谐振动的相位差：,它们的相差为：,（也可写成 ）,两质点振动步调相同,(同相),两质点振动步调相反,(反相),质点2 比质点1 相位超前,质点2 比质点1 相位滞后,注1：超前与滞后是相对的。,注2：通常将 限制在。,11,三、 简谐振动的速度和加速度,1、位移:,2、速度:,3、 加速度:,为速度振幅；速度比位移的相位超前,为加速度振幅；加速度与位移反相。,（1） x、v
5、、a 周期均为T。,（2）v比 x 超前/2，,a与 x 反相。,都是简谐振动,12,t,(x-t 曲线叫振动曲线),13,2、t =0时， 与x 轴正向夹角为 。,1、矢量 （模与振幅等值)以匀角速度(与角频率等值)逆时针旋转。,这样,矢量逆时针匀角速度旋转过程中，其端点M在x 轴上的投影点坐标为： x = A cos (t + ) 恰为x 轴上简谐振动。,3、t =t 时， 与x 轴正向夹角为(t + )。,四、 简谐振动的旋转矢量表示法,14,4、 旋转矢量法的应用,已知振动曲线画旋转矢 量在任意时刻的位置：,利用旋转矢量制 作振动曲线：,（1）画图,（2）求振动初相,（3）求两个简谐振
6、动的相位差,（4）两个简谐振动的合成问题,15,五、简谐振动的能量,以水平弹簧振子为例：,16,六、阻尼振动 受迫振动 共振,因受阻力作用振幅不断减小的振动叫阻尼振动。,（1）阻尼振动的动力学方程,动力学方程:,其解按大小有三种情况。,（：阻力系数）,称为阻尼因子。,1、阻尼振动,17,振幅按指数规律衰减的振动，不是周期运动，是往复运动。,（2）阻尼振动的运动学特征,无往复性, 经较长时间单调返回平衡位置。,无往复性，能很快地返回平衡位置。, 0（欠阻尼状态，如放在水中）, = 0（临界阻尼状态如放在甘油中）, 0 （过阻尼状态，如放在沥青中）,18,例4.一个弹簧振子的质量为1.0kg，自由
7、振动的本征频率为2Hz ，当存在某个大小与振子速率成正比的阻尼力时，恰好处于临界阻尼振动状态，则弹簧的劲度系数K= N/m，阻尼力大小与速率的比例系数g = kg/s。,解：,已知m=1.0kg，0=2Hz，,临界阻尼振动条件,(十七届.一.4),19,例5.水平弹簧振子系统中，弹簧的劲度系数为k，振子质量为m，水平运动阻力大小与振子运动速率成正比，比例系数为 g ，振子的运动方程_，形成低阻尼振动的条件是_。,解：,将牛顿第二定律用于振子，得,(2001.一.1),形成低阻尼振动的条件为：,20,2、 受迫振动,系统受力：,弹性力 -kx,振动方程：,周期性策动力 F=F0cost,：在外来
8、策动力作用下的振动,阻尼力,稳态解:,x=Bcos( t+),特点:,稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化.,(1)频率: 等于策动力的频率 ,(2)振幅:,(3)初相:,21,例6.固有频率为0的弹簧振子，在阻尼很小的情况下，受到频率为20的余弦策动力作用，作受迫振动并达到稳定状态，振幅为A。若在振子经平衡位置时撤去策动力，则自由振动的振幅A与A的关系是_.,稳定振动时振子频率即策动力频率，圆频率为 2(2)，,解：,A=2A,经平衡位置时速度最大为: V=。,撤去策动力后，速度仍为V，做自由振动，其圆频率0，仍有关系V=A,A=A, A=/A=2A,(1996.一.2),22,3、共振,在
9、一定条件下, 振幅出现 极大值,出现剧烈振动的现象。,共振频率 :,共振振幅 :,（1） 位移共振,（2）速度共振,速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。,（参考教材P161-162）,23,七、 一维简谐振动的合成,1、 同方向、同频率的两个简谐振动的合成,x = x1+ x2,=A cos( t+ ),两种特殊情况：,（1）,若A1=A2，A = 2A1，,（2）,若A1 = A2，A = 0。称为干涉相消。,称为干涉相长。,24,2、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成 拍,为简化问题，设两谐振动的振幅和相位都相等。,x = x1+ x2,合振动
10、不是简谐振动。,当 2 1时， 2- 1 2+ 1,随缓变；,随快变。,合振动可看作振幅缓变的“简谐振动”。,25,x,t,26,拍,拍频 : 单位时间内强弱变化的次数。,合振动的强弱A02(t)随 t 变化的现象拍(beat),设拍周期为Tb,实例：双簧口琴、双簧管(oboe)、钢琴(piano)调音(钢琴与标准音叉声波形成拍拍频越小，说明钢琴的音越准)。,27,3、 两个同频率相互垂直的简谐振动的合成,x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2),消去时间，,得合运动的轨迹方程：,（1）合运动一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范围内的一个椭圆；,（2）椭圆
11、的性质(方位、长短轴、左右旋 )在 A1 、A2确定之后, 主要决定于 =2-1。,28, = 5/4, = 7/4, = , = 3/4,Q, = /4,P,.,29,设振幅Ax=Ay，位相差,则上式表示的合振动就是圆周运动：,30,例7. 两个线振动合成一个圆运动的条件是(1984.二.2),答案：,同频率；同振幅；两振动互相垂直；位相差为,k=0，1，2，,31,4、两个不同频率相互垂直简谐振动的合成,（1）两分振动频率相差很小, = ( 2- 1) t + ( 2- 1),可看作两频率相等而位相差随缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。,轨迹称为李萨如图形(Lissajous f
12、igures),（2）两振动的频率相差较大，但成整数比,应用：测频率已知一个振动的频率，可以根据李萨如图形求出另一个振动的频率。,32,x:y,y- x=0,33,机械波,一、机械波的基本特征,1、 机械波产生条件:,（1）波源,（2）弹性媒质,由以弹性力互相联系着的质点组成。,产生振动。,传播振动。,（1）波动中每一个质点均在其平衡位置附近振动，不“随波逐流”，传播的是振动状态。,2、 波动的特征：,（2）波动中，传播方向上各质点的振动依次滞后，即后动的点在相上总滞后于先动的点。各点的振动频率均与波源的相同。,（3）波源作一次全振动，将传出一个完整的波形。,34,（2）波振面 由振动相位相同
13、的点联成的面（同相面），简称波面。,3、波的几何描述,（1）波射线,表示波的传播方向的射线。简称波线。,某时刻处在最前面的波面，称为波前。,（3）波形曲线：表示任一时刻同一波线上各质元相对于各自平衡位置的分布情况曲线。,4、波的特征量,波速、波长与波频,波速由介质的性质决定， 波频由波源的振动频率决定（波源、观测者均不动时） 。,35,二、 平面简谐行波,写出波线上某点x0 的振动方程； 建立坐标系； 在波线上任取一点x，并写出该点处质点的振动相对于x0 处质点落后或超前的时间：,将x0 处质点的振动表达式中的 t 加上或减去 t 即可。,即从振动落后或超前的角度考虑问题并求得波动方程。,或者
14、：在相位里加上或减去 即可。,1、波函数：,（1）建立一维平面简谐波波函数的一般步骤：,36,（2）波函数的意义：, x 一定，y t 给出 x 点的振动方程。, t 一定，y x 给出 t 时刻空间各点位移分布，即波形曲线。, 一般地 y =y (x, t ) 表波线上各质点在不同时刻的位移，反映了波形的传播。,y ( x+x , t +t ) = y (x,t) , 其中x = u t 。,37,2、 波的能量 波的强度,（1）波动能量的特点, 波动质元中总能量：W= Wk + Wp const ，随时间 t 作周期性的变化。, 对某一质元，其动能与势能等值同相。同时达最大，同时为0 。,
15、质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度 , 同时其形变也最大，因而动能、势能最大；质元在最大位移时，动能、势能均为零。, 波的实质是能量的传播过程，且波的能量是以波的传播速度和方向传播的。,38,例8.某时刻的弦波如图示，此时图中用实线示出的弦段中，振动动能最大的部位在_处，振动势能最大的部位在_处。,解：因B处的拉伸最甚，故B处的振动势能最大（第二空），本题是行波（不是驻波），而行波的振动动能恒等于振动势能，故振动动能的最大部位也在B处（第一空）,39,波动传播时，介质单位体 积内的总机械能。,（2）能量密度：,（3）平均能量密度（对时间平均),（适于各种弹性波）,（特征）,单位时间内垂直通
16、过某一截面的能量, 称为波通过该截面的能流，或叫能通量。,（4）能流P :,在一个周期内能流的平均值称为平均能流:,40,通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流 称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。,（5） 能流密度（波的强度）,对无吸收媒质：波传播时振幅的变化 平面波：A1= A2 ； 球面波： A1 r1 = A2 r2,3、声波，次声波和超声波（参考教材P183）,41,例9.声波是_(填“横波”或“纵波”).若声波波源是置于空气中的一个球面物，它发出的球面简谐波在与球心相距 r0处的振动振幅为A0，不计空气对声波能量吸收等引起的损耗，则在 rr0 处声波振动振幅为A=_。
17、,声波是纵波,解：,波的强度(能流密度),r0处的平均能流密度为,r处的平均能流密度为,不计能量的损耗，有,(2001.一.2),42,4、惠更斯原理,（1）原理内容:,介质中波传到的各点, 都可看作是发射子波的波源 (点波源)。在以后的任一时刻, 这些子波面的包络面（包迹）就是该时刻的波前 。,（2） 应用：,已知某时刻的波振面，用作图法确定下一时刻的波振面。,t,t+t,用惠更斯原理作图法解释波的衍射现象 。,用惠更斯原理作图法解释波的反射和折射规律。（参考教材P187-188）,43,5、波的干涉,（1）波的叠加原理,波动互不相干地按自身的方式传播，在波的交汇处，质元的振动是相交汇的各个
18、波单独传播时激发的振动之和。,同频率、同振动方向、 相位差恒定。,（2） 相干条件：,（3）干涉规律,相干波源：,两列相干波在P点引起的振动, P,44,叠加结果：,干涉加强的条件：,干涉减弱的条件：,10= 20 时，,相长干涉,相消干涉,45,三、驻波,1、驻波的形成：两列振幅相同的相干波在同一直线上相向传播时交汇处产生的干涉。,2、驻波的方程,3、驻波的特点,（2）频率特点：,（3）振幅特点：,（4）相位特点：,各质点同频率,（5）能量特点：,能量不传播,（1）驻波的波形：,不随时间改变,46,4、实际驻波的产生,5、半波损失,（对入射）,（1）波密波疏，反射点无相位突变；,（2）波疏波
19、密，反射点相位突变.,“半波损失”,弦的固有频率（本征频率）,（3）反射波及其描述,47,入射波波形延拓，“砍”掉半个波形后平移至分界面处再翻折即得到反射波波形,入射波波形延拓，再翻折即得到反射波波形,（3）反射波及其描述,48,例10.如图所示，在坐标原点o处有一波源，它所激发的振动表达式为 yo=cos2pnt 。该振动以平面波形式沿x轴正方向传播，在距波源d处有一平面将波全反射回来（反射时无半波损失），则在坐标x处反射波的表达式为_.(1984.二.1),49,解：,在波源坐标原点o处的振动方程为,入射波使B点振动的振动方程为,上式亦为反射波使B点振动的振动方程。,反射波使P点振动的振动
20、方程为：,答案：(3),50,例11.在一根线密度为=1g/m的弦上形成驻波，弦的张力为T=10N，若入射波与反射波分别为,波的频率为=50Hz,则在t=1/3s时的波形曲线为( ),(1987.一.1),51,例11.在一根线密度为=1g/m的弦上形成驻波，弦的张力为T=10N，若入射波与反射波分别为,波的频率为=50Hz,则在t=1/3s时的波形曲线为( ),(1987.一.1),解：,驻波,正与图形()相符。,52,例12. 驻波可看作两列行波叠加而成，下图中圆点（）代表一维驻波的波节位置，叉（）代表其波腹位置。若已知一列行波在不同时刻的波形图依时序图（a）、（b）、（c）所示。试在各图
21、中画出另一列行波在相应时刻的波形图（以虚线表示）,(1995.一.8),53,解：两列行波叠加形成驻波时，它们在各波腹处引起的分振动必同相，而在波节处的必反相，据此可绘出另一列行波相应时刻的波形图。,54,例13.标准声源能发出频率为 Hz的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若在音叉的臂上粘一小块橡皮泥，则拍频增加，音叉的故有频率 _ .将上述音叉置于盛水的玻璃管口，调节管中水面的高度，当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在L=0.34m和1.03m时产生相继的两次共鸣，由以上数据算得声波在空气中的传播速度为_.,解：,拍频为1.5Hz时有两种可能,音叉粘上橡皮泥
22、后质量增加，频率n应减小，,(1993.一.6),55,此时拍频增加，由此可判断出,共鸣时气柱内形成驻波，,共鸣时的气柱高度应满足关系,故第一、二此共鸣时气柱的高度差,56,四、机械波的多普勒效应( Doppler Effect ),当波源S和接收器R有相对运动时, 接收器所测得的频率 R不等于波源振动频率S的现象。,参考系为媒质；,S和R相互靠近时Vs , VR 为正；,波源振动频率S，波的频率(媒质的振动频率) ， 接收到的频率R。,1、波源静止, 接收器运动 (VS =0, 设 VR0),媒质的振动频率： = S,波相对于观察者的速度：,波长：,（R ）,单位时间内 R 所接收的波的个数
23、为(感觉到的频率)：,57,2、接收器R静止, 波源运动 (VR=0, VS0),t=0时S发出第一个“波峰”, 经历TS 时间，S 前进VSTS，再发第二个“波峰”，两波峰之间的距离即就是介质中缩短了的波长：,3、接收器、波源都运动,（S R）,设 VS 、VR均0,若波源和观察者的运动不在两者的连线上，VS，VR应为速度在连线上的分量。,58,例14.声波在空气中的传播速度为u1 ，在铜板中的传播速度为u2 ，设频率为 的声波从图中静止的波源S发出，经空气传播到以速度 V u1 向前运动的平行铜板，在铜板的正前方有一静止的接收者B,则S接收到的由铜板反射回的声波频率1=_，B接收到的由铜板
24、反射回的声波频率 2 =_。( 与V平行）,(1994.一.6),解：,波源S静止，以速度V 运动的铜板左侧接收到的声波频率为,(1),59,S接收到的运动的铜板上反射回的声波频率为,(2),B处接收到的运动铜板前方发射的声波频率为（声波在铜板中传播，虽然速度改变了，但频率不变）,(3),由(1)(2)得,由(1)(3)得,60,例15.一维谐振子沿x轴作振幅为A的简谐振动。求证：在振动区间内任一x处振子出现的概率线密度（即x处附近无限小区间内单位距离上振子出现的概率）,证：因振子在x x+dx区间出现的概率正比于振子在上述区间的时间间隔dt与振动周期 的比值，设比例常量为C，则有,代入,，化为 ,由谐振动方程，x=Acos(t+),求得,(1995.二.14),61,由归一化条件，有,解方程得C=2，代回式可得,命题得证。,代入式，得概率密度,62,下周讲课内容：热学,素材和资料部分来自网络，如有帮助请下载!,