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1、复合泊松模型-破产概率估计关键词：复合泊松过程 正态 特征函数 估计一、 复合泊松过程的定义及性质1.泊松过程：满足下列三条件的随机过程 X=X(t),t0叫做泊松过程。P(X(0)=0)=1 。 不相交区间上增量相互独立，即对一切 0t1t2s）的概率分布为泊松分布，即， 式中 （t）为非降非负函数。若 X 还满足X(t)-X(s）的分布仅依赖于 t-s，则称 X 为齐次泊松过程；这时 （t)=t，式中常数 0 称为过程的强度，因为 EX(t)=（t)=t， 等于单位时间 内事件的平均发生次数。非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过 程。对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度
2、为 1 的左（或右）连续阶 梯函数。可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊 松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。直观 上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多 只发生一次，它们的累计次数就是一个泊松过程。在应用中很多场合都近似地满 足这些条件。例如某系统在时段0,t ）内产生故障的次数，一真空管在加热 t 秒 后阴极发射的电子总数，都可假定为泊松过程。描述随机事件累计发生次数的过程通常称为计数过程（见点过程）。一个简 单而且局部有限的计数过程X(t），t0，往往也可以用它依次发生跳跃（即发生 随机事件）的时刻
3、Tn，n1 来规定，即取 T0=0，Tn=inft:X(t）n ，n1 ，而 当 TntTn+1 时，X（t）=n。若以，表示 X(t）发生相邻两次跳跃的时间间距， 则计数过程是齐次泊松过程的充分必要条件为 n ，n1 是相互独立同分布的， 且，其中 为某一非负常数。齐次泊松过程的另一个特征是：固定t,X(t）是参数 为 t 的泊松分布随机变量，而当 X(t)=k 已知的条件下，X 的 k 个跳跃时刻与 k 个在 0,t ）上均匀分布且相互独立的随机变量的次序统计量（见统计量）有相同 的分布。泊松过程的这一特征常作为构造多指标泊松过程的出发点。从马尔可夫1 / 3Nmm m过程来看，齐次泊松过
4、程是时间空间都为齐次的纯生马尔可夫链。从鞅来看，齐 次泊松过程 X 是使X(t)-t,t0 为鞅的跃度为 1 的计数过程。较泊松过程稍为广泛的计数过程是更新过程，更新过程的跳跃时间间距是 相互独立同分布的，但不一定是指数分布。这类过程常被用来描写某些设备的累 计故障次数。若对跳跃时间间距不作任何假定，就成为一般的计数过程或称一维 点过程。假如某设备在0，t）时段内故障的累计次数 N(t）是泊松过程，而每次 故障造成的耗损不尽相同，用随机变量 Yi 表示第 i 次耗损，则在0,t）内总的耗 损为 N(t）。当N(t），t0为齐次泊松过程，Yi,i1 又是相互独立同分布且与N(t） 独立时，X=X
5、(t），t0称为复合泊松过程。由于N(t),t0可以用其跳跃时刻Ti,i1 来规定，因而复合泊松过程可用(Tn ，Yn),n1来规定，即若对(Tn,Yn),n1的 统计特性不作任何假定，这样规定的 X 便是一种一般地描述系统跳跃变化的随 机过程，常称为标值点过程，也称多变点过程或跳跃过程。泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。泊松过程在物 理、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域中都有广泛的应用。在经典风险 模型中，索赔过程经常用一个复合泊松过程来描述。许多学者对模型进行了深入 的研究，比较有吸引力的改进是用两个复合泊松过程描述索赔过程的多险种风险 模型。由于索赔过程的复杂化，
6、使得在经典风险模型种的一些较好结论难以在新 模型中得到类似证明。因此首先讨论复合泊松分布及过程的可加性，在参数比较 大的情况下，可以用正态过程与之近似，以便运用正态过程的优良特性更好地处 理有关问题。2.复合泊松分布：复合泊松分布在概率论和保险模型中有着很重要的应用。关于复合泊松过程的一些定义及性质：定义 1： S =k =1X ，其中 N 表示理赔次数， X 表示第 k 次的理赔金额，N k k与 X 是相互独立的，则当 N 服从 Poisson 分布时，S 具有复合 Poisson 分布。 k如果一个随机变量 X 满足性质：对任何一个独立随机变量序列 X ,. X 使得1 nX = X +
7、. +X ，则称 X 是无穷可分的。当把复合泊松分布类扩展成一个更大 1 n的类时，使其对极限运算封闭，我们便得到了 无穷可分类，该类包含伽玛分布 和正态。定理 1：（复合泊松分布的可加性）如果 S ,., S 是一列独立的复合泊松随机1 m变量，分别具有参数 li和理赔分布 P ，i=1,2,m, 那么 S =iS 仍然是一个复合 ii =1泊松随机变量，具有参数 l=l,P ( x) =ii =1 i =12 / 3lilP ( x ).i在经典的破产模型中，到 t 时刻的风险 St 是一个复合泊松过程，而 Poisson 过程具有普通性，即在充分小的时间内跳至多为 1，也就是至多有一次索赔，而 在实际中，我们经常会遇到在同一时刻有两个以上的顾客要求索赔的情形。比如 我们考虑汽车保险，若到 t 时刻为止发生事故的车辆总数 N(t),且 N(t)为一 Poisson 过程，所以在充分小的时间内至多有一辆车发生事故，然而每次发生事故所导致 要求索赔的人数却不至一个，它可能服从一离散分布，根据这一要求我们对经典 模型进行推广，即考虑把复合泊松过程之中的普通性要求去掉后如何来解决一系 列相应问题。3 / 3