数列求和方法汇编及.docx

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1、数列求和方法汇编及典题训练数列求和方法汇编【教学目标】一、知识目标1 熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2 能运用倒序相加、错位相减、裂项相消等重要的 数学方法进行求和运算；3 熟记一些常用的数列的和的公式二、能力目标培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归 纳”的数学思想方法，以及创新意识，渗透运用定义、分 类讨论、转化与化归等数学思想三、情感目标通过数列求和的学习，培养学生的严谨的思维品质， 使学生体会知识之间的联系和差异，激发学生的学习兴 趣【教学重点】1 求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通 项公式；2 求和过程中注意分类讨论思想的运用；3 转化思想的运用；【教学难

2、点】错位相减法、裂项相消法的应用【知识点梳理】1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。0/3911n2+L +n3错位相减法：4裂项相消法：nnn（1）等差数列的求和公式：Sn=n(a +a ) n( n -1) 1 n =na + d2 2（2）等比数列的求和公式na ( q =1) S =a (1 -q )n 11 -q( q 1)（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法：nk =1k2=12+22+32+L +n2=n ( n +1)(2n +1)6n n( n +1) k 3 =13 +23 +33 3 = 2 k =1如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之

3、积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此 法推导的比如a等差,b等比,求a b +a b +L +a b 的和.n n 1 1 2 2 n n把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见拆项公式：1 n ( n +1)=1 1-n n +1；1 1 1 1= ( - ) n ( n +2) 2 n n +21 1 1 1= ( - )(2 n -1)(2 n +1) 2 2n -1 2n +1n n!=( n +1)!-n!5分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列相加或相减组成，则

4、求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减6并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 a (1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，S 10029929829722212(10099)(9897) (21)5 050.7倒序相加法：如果一个数列 a 的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和1/39公式即是用此法推导的8其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法，导数法等【典型例题】题型一、公式法求和例题 1：已知数列a 是首项 a 4，公比 q1 的等n 1比数列，S 是其前

5、 n 项和，且 4a ，a ，2a 成等差数列 n 1 5 3(1) 求公比 q 的值；(2) 求 T a a a a 的值n 2 4 6 2n【解析】(1)由题意得 2a 4a 2a .5 1 3a 是等比数列且 a 4，公比 q1，n 12a q414a 2a q21 1，q4q2 20，解得 q22(舍去)或 q21，q1.(2)a ，a ，a ，a 是首项为 a 4(2 4 6 2n 21)4，公比为 q21 的等比数列，T na 4n.n 2【点评】应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性， 尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项 和公式2/39a +a +a +L+a

6、12n2123123n变式 1：已知数列 a满足 a =-4n +21n n（1）证明 a是等差数列；n（2）求 1 2 3 n，解： （1 ） an+1-a = -4( n 1), a nn是以 17 为首项，公差为-4 的等差数列（ 2 ）显然 a 是递减数列，令 a =0 ，得 n =n n214 当 n 0, 当 n 6 时， a 0, 设 S = a +a +an n n 1 2 n(17+(-4n+21)n 当 n 0, q 0 1，所以1 1 a = , q = 1 2 2，所以数列 的通项公式为ann（ ）1 n N*a = n （2）解：由（1），得bn=2 n +5 2 n

7、 +5 1a = 2 n +1 2n +3 2n +1 2 n +3 2n所以 2 1 1 b = - 2n +1 2n +3 2=1 (2 n +1)2n -1-1(2 n +3)2n所以S =b +b +L +b n 1 2 n= - + - +L + 3 5 2 52 7 2 1 1 - 故数列1 1= -n3 2 n +3 2的前 项和b nn1 1S = -3 2 n +3 2n【点评】有时候需要根据实际情况自己去拼凑。题型四、错位相减法求和例题 4：已知数列1,3a ,5a2, L , (2 n -1) an -1( a 0)，求前 n 项和。【解析】S =1 +3a +5 a n

8、2+L +(2 n -1) an -1(1)aS = a +3a n2+5 a3+L +(2 n -1) an(2)(1)-(2):(1-a)Sn=1 +2 a +2 a2+2 a3+L +2 an -1-(2 n -1) an当a 1时, (1 -a ) S =1 +n2 a (1 -a n -1) (1 -a ) 2-(2 n -1)nS =n1 +a -(2 n +1) a n +(2n -1) a(1 -a ) 2n +1当a =1时, S =nn27/39 变式 5nnC+3C+5C+L +(2 n +1) C【点评】 1、已知数列各项是等差数列 1，3，5，2n-1与等比数列a0

9、, a , a 2 , L , an -1对应项积，可用错位相减法求和。2、运用等比数列前 n 项和公式时，要注意公比 讨论。q =1或q 13、错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等 比数列 的公比 ；将两个等式相减；利用等比数列c qn的前 n 项和的公式求和 .已知 a =n 2 n -1 ，求数列 a 的前 n 项和 S . n【解析】 S =1g2 0 +2 g21 +L +( n -1)g2 n -2 +n g2 nn -12S =1g21 n+2 g22+L +( n -1)g2n -1+n g2n得S =n g2 n -1g2 0 -21 -L 2 n -1 =n g2 n

10、 -2 n +1n【点评】注意识别数列形式，运用相应的方法题型五、倒序相加法求和例题 5：求证：0 1 2n n n【解析】令S =C 0 +3C 1 +5C 2 +L +(2 n +1)C n n n n n n则S =(2 n +1) C n +(2 n -1) C n -1 +L +5C 2 +3C 1 +C 0 n n n n n nnn=( n +1)2(1)(2)nQ Cm =C n -m n n (1) +(2)有 : 2 S =(2 n +2)Cn0n+(2 n +2)C1n+(2 n +2)C2n+L +(2 n +2)Cnn等式成立 S =( n +1) C 0 +C 1

11、+C 2 +L +C n =( n +1) 2nn n n n n【点评】解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数 列，可以运用倒序相加法求和 .8/3910+L + f101010：10= f10 10=L = f10101010+L + f10101010+L + f1010101010nnn变式 6：已知函数 f (x)=2x2 x+ 2（1）证明： f (x)+f(1-x)=1；（2）求 f1 +f2 8 +f9 的值 .【解析】f1 +f9 2 +f8 5 +f5 =1令S = f则S = f1 9 + f+ f2 8 8 2 + f+ f9 1 两式相加得：2 S =9 f1 +f

12、9 =99 所以 S = .2题型六、并项求和例 6：S 10029929829722212【解析】 S 100299298297222 12(100 99)(9897)(21)5 050.【点评】一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则 称之为并项求和形如 a (1)nf(n)类型，可采用两项 合并求解题型七、其它求和方法（归纳猜想法，奇偶法等供参考）9/39na =-2n -2( -1)6n -5 ( n为奇数)nnna =11a =42(1+6 n -5)n -1S=+=+nnn例 7：已知数列a,a =-2 n -( -1) n nn, 求Sn。【解析】：an=-2n +2( -1

13、)n，若n =2 m, 则Sn=S2 m2 m=-2(1 +2 +3 +L +2 m) +2 ( -1)kk =1S =-2(1 +2 +3 +L +2 m) =-(2 m +1)2 m =-n( n +1) n若n =2 m -1, 则S =Sn2 m -1=S2 m-a2 m=-(2 m +1)2 m +22 m -( -1)2 m =-(2 m +1)2 m +2(2 m -1)=-4m 2 +2 m -2 =-(n +1) 2 +( n +1) -2 =-n2 -n -2-n(n +1) ( n为正偶数) S =-n 2 -n -2 ( n为正奇数)【点评】： ，通过分组，对 n 分奇

14、偶讨论求和。nn变式 7：已知数列 的通项 ，求其前 项和 a a = n S2n (n为偶数)【解析】：奇数项组成以 为首项，公差为 12 的等差数 列，偶数项组成以 为首项，公比为 4 的等比数列； 当 为奇数时，奇数项有 n +1 项，偶数项有 n -1 项，n2 2n +1 2 4(1-4 2 ) ( n +1)(3n -2) 4(2 n -1 -1) ，2 1 -4 2 3当 为偶数时，奇数项和偶数项分别有 n 项，n2Sn=n2(1+6 n -5)4(1-4 2 ) n(3n -2) 4(2 n + = +2 1 -4 2 3-1)，所以，(n +1)(3n -2) 4(2 n -

15、1 -1)+ 2 3S =n(3n -2) 4(2 n -1)+ 2 3( n为奇数)(n为偶数)例 8：借助导数求和p ( x ) =1 +2 x +3 x n2+L +nxn -1( x 1, n N*)10/39( )n -1nSn【解析】p ( x ) =( x +x 2 +L x n ) = nx -x n +1 1 -x=1 -( n +1)x n (1-x )+nx2n +1【点评】本题可以用错位相减法完成，用导数法求和也 可以。变式 8：借助导数求和C 1 +2C 2 +3C 3 +L +nC nn n n n【解析】由二项式定理(1+x ) n =C 0 +C 1 x +C

16、2 x 2 +L Cn n n求导得 ，令 n 1 +x =C 1 +2C 2 x +3C 3 x 2 +L +nC n x n -1 x =1n n n n得C 1 +2C 2 +3C 3 +L +nC n =n 2n-1n n n n【方法与技巧总结】nnxn。1 数列求和需注意方法的选取：关键是看数列的通项公 式，根据通项选择适当的方法；1 求和过程中注意分类讨论思想的运用；【巩固练习】1求下列数列的前 项和 ： （1）5，55，555，5555，59(10n -1)，；（2）1 1 1 1 , , ,L , ,13 2 4 3 5 n( n +2)L；11/39（3）a =n1n +

17、n +1；（4）a , 2 a 2 ,3 a 3 , L, nan, L；12/39（5）13,2 4,3 5,L, n ( n +2), L；（6）sin2 1o +sin2 2o +sin2 3o +L L +sin2 89 o13/39， 1 2 4 n122 nnnnnn（7） 1 1 1 1 1 1 1，1 ，1 ， 2 4 2、已知等差数列 a 的前 3 项和为 6，前 8 项和为4. (1)求数列a 的通项公式；(2)设 b (4 a )qn 1(q0 ， nN*) ，求数列 b 的前 n项和 S .3、已知等差数列a满足an 2=-7, S =-244，求a +a +a +a

18、1 2 3n14/39a b 4、设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且n n， ， a =b =1 a +b =21 a +b =131 1 3 5 5 3（I）求 ， 的通项公式；a b n n（II）求数列anbn的前 n 项和 Sn5、已知 ，求（1） ；15/39nn1n2n nn（2）【课后作业】1.等比数列 的前项和 S 2a n_.，则a21+a22+a23+L +a2n2. 设S =-1+3-5 +7 -L +( -1)n (2 n -1)_.，则Sn3.4.1 1 1+ +L + = 14 4 7 (3n -2) (3n +1)1 1 1 1+ + +. +2 4

19、3 5 4 6 ( n +1)(n +3).=_5. 数列1,(1 +2),(1 +2 +2 2 ),L ,(1 +2 +2 前 n 项和S =n2+L +2n -1),L的通项公式a =n，61 3 5 2 n -1 , , , L ,2 2 2 2 3 2 n, L ;的前 n 项和为_7、在数列a 中，a 1，当 n2 时，其前 n 项和 S 满 1足 S2 a S . 16/39nnnnnn26 8nn 2n 1 (1)求 S 的表达式；S(2)设 b ，求b 的前 n 项和 T .2n18、已知等差数列 a 满足 a 0，a a 10. (1)求数列a 的通项公式； a (2)求数列

20、 的前 n 项和 17/391 2n3nnannnn9,、设数列a 满足 a 3a 32a 3n1na ，nN* 3.(1)求数列 a 的通项公式；n(2)设 b ，求数列b 的前 n 项和 S .n10、已知数列 an的通项为：a n =n2,n，n为偶奇数 项和 S 18/39，求数列 a的前 n n11、求证：（1）点 P 的纵坐标为定值；，19/39n1m nm nnn1 11 11 1ann17 33nn1 n n nnn【拓展训练】1数列a 满足：a 1，且对任意的 m，nN*都有：a a a mn，则 1 1 1 1 + + +L+a a a a1 2 3 2008=( )A40

21、16B2008C2007D200720092009100420082数列a 、b 都是公差为 1 的等差数列，若其首项满足 a b 5，a b ，且 a ，b N* 10 项的和等于 ( )，则数列 前 bA100 B85 C70 D553 设 m=1 2+2 3+3 4+ +(n-1) n ，则 m 等于 ( )A.n ( n2-1)B.1n(n+4) C.1n(n+5)32D. 1 n(n+7)24 若 S =1-2+3-4+ +(-1)n-12 n ，则 S +S 50等于( )A.1 B.-1 C.0 D.25设a 为等比数列,b 为等差数列，且 b =0,c =a +b , 若 数

22、列 c 是 1,1,2, , 则 c 的 前 10 项 和 为 ( )A.978 B.557 C.467 D.97961002-992+982-972+22-12的值是( )20/399、 1 1 11nnnnn n nnnnn123A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7一个有 2001 项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为.8若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c= .已知数列 a 是首项为 a ，公比 q 的等比数列，设 b 23log a (nN*)，数列c 4 4 4满足 c a b .(1) 求数列b 的通项公

23、式；(2) 求数列c 的前 n 项和 S .10、设数列a 满足 a 3a 32a 3n121/39na ，n n 3nannnN*.(1)求数列a 的通项公式；n(2)设 b ，求数列 b 的前 n 项和 S .n22/39n1nnnn11、已知等差数列a 的首项 a 1，公差 d0，且其第 二项、第五项、第十四项分别是等比数列 b 的第二、 三、四项(1)求数列a 与b 的通项公式；(2)设数列c 对任意自然数 n 均有c c c c1 + 2 + 3 +L+ n =a b b b b1 2 3 nn +1成立求 c c c c1 2 3 2003的值23/39nnnnna Sf( x) =6 x -212、已知数列a 的前 n 项和 S 满足:S =2an+(-1)n,n1. (1)求证数列a + 2 (-1)n是等比数列;3(2)求数列a 的通项公式；(3)证明：对任意的整数 m4,有1a4+1 1 7 +L + .a a 85 m