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1、高考数学全套知识点1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合 A =x|y =lg x，B=y|y =lg x，C =(x,y)|y =lg x，A、 B 、C 中 元 素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合 A =x|x2-2x -3 =0，B=x|ax=1若B A，则实数a的值构成的集合为（答：-1，0， 13）3. 注意下列性质：（1）集合 a，a ， a 的所有子集的个数是 2 n ；1 2 n（3）德摩根定律
2、：CU(AUB)=(CA)IU(CUB)，C(AIB)=(CA)U(CB)U U U4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” ( )，“且” ( ) 和- 1 - / 42“非” ( ).若p q为真，当且仅当p、q均为真若p q为真，当且仅当p、q至少有一个为真若p为真，当且仅当p为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。7. 对映射的概念了解吗？映射 f：AB，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对 应元素的唯一性，哪几种
3、对应能构成映射？（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？10. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f (x) 的定义域是 a，b，b-a0，则函数F(x) =f (x) +f ( -x) 的定 _。（答： a，-a）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？义 域 是12. 反函数存在的条件是什么？- 2 - / 42()（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数 f (x) =1+x-x2(x0) (x
4、1) -x x 0) 个单位18. 你掌握常用的图象变换了吗？f (x) 与f ( -x) 的图象关于 y轴 对称f (x) 与 -f (x) 的图象关于 x轴 对称f (x) 与 -f ( -x) 的图象关于 原点 对称f (x) 与f -1(x) 的图象关于 直线y =x 对称f (x) 与f (2a -x) 的图象关于 直线x =a 对称f (x) 与 -f (2a -x) 的图象关于 点 (a， 0) 对称将y =f (x) 图象 右移a (a 0) 个单位y =f (x +a) y =f (x -a)上移b(b0) 个单位 下移b (b 0) 个单位y =f (x +a) +b y
5、=f (x +a) -b注意如下“翻折”变换：- 6 - / 422( )( )2yy=log xO 1 x19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？（1）一次函数： y =kx +b (k0)（ 2 ）反比例函数： y =k kk 0 推广为y =b + k 0 是中心 O ( a，b) x x -a的双曲线。（ 3）二次函数y =ax 2 +bx +c (a0)=ax +b 4ac -b +2a 4a2图象为抛物线应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程2 求闭区间m，n上的最值。3 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。- 7 - / 42一元二次方程根的
6、分布问题。D0如：二次方程ax 2 +bx +c =0 的两根都大于k b- k2af (k) 0由图象记性质！ （注意底数的限定！）（6 ）“对勾函数” y =x +kx(k0)利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？- 8 - / 42aaaa20. 你在基本运算上常出现错误吗？logaM 1 =log M -log N， log n M = log MN n21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）（ 2 ）x R，f (x) 满足f (xy) =f (x) +f (y) ，证明f (x) 是偶函数。22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？- 9 - / 42（二次
7、函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调 性法，导数法等。）如求下列函数的最值：23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式 吗？24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义- 10 - / 42p p 又如：求函数y = 1 - 2 cos -x的定义域和值域。2 （ 1 - 2 cos -x） =1 - 2 sin x 02 sin x 22，如图：25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、 对称轴吗？- 11 - / 42( )p pp p py =sin x的增区间为 2kp
8、-， 2kp+ k Z 2 2 p 3p 减区间为 2kp+ ， 2kp+ 2 2 (kZ)图象的对称点为 (kp，0)，对称轴为x =kp+ y =cos x的增区间为2kp，2kp+p(kZ)p2(kZ)减区间为 2kp+p，2kp+2p(kZ)图象的对称点为kp+ ， 0 2 ，对称轴为x =kp(kZ)y =tan x的增区间为 k p- ， kp+ 2 2 k Z26. 正弦型函数y = Asin(wx+j)的图象和性质要熟记。或y=Acos(wx+j)（1）振幅 | A| ，周期 T =2p| w|若 f (x0)=A ，则 x =x 为对称轴。0若f (x0)=0，则(x0，0)
9、为对称点，反之也对。（ 2 ）五点作图：令 wx +j依次为 0 ， 图象。p 3p，p， ， 2 p，求出 x 与y，依点 2 2（x，y）作（ 3）根据图象求解析式。（求A、w、j值）- 12 - / 42a =(h，k)p解条件组求w、j值D正切型函数 y =A tan(wx+j)，T=p| w|27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角 的范围。28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：（1）点P（x，y） P （x ，y ），则平移至x =x +h y
10、 =y +k（ 2）曲线f (x，y) =0沿向量 a =(h，k) 平移后的方程为f (x -h，y -k) =0如：函数 y =2 sin 2x -1 的图象经过怎样的变换才能得到 y =sin x 的 4 图象？- 13 - / 42( )30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？“ kp2a”化为 a 的三角函数“奇变，偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。如： cos9 p4+tan 7 p- +sin 21p = 6 又如：函数 y =sin a+tan a cos a+cot a，则 y的值为A. 正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值31. 熟练掌握
11、两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：- 14 - / 42213 2应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含 三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：（1）角的变换：如 b=(a+b)-a，a+b b a =a- - -b2 2 2 （2） 名的变换：化弦或化切（3） 次数的变换：升、降幂公式（4） 形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。如：已知sin acos a1 -cos2a=1， tan(a-b)=-，求tan(b-2a)的值。3（由已知得：sin acos a cos a= =1， tan a = 2 sin 2
12、a 2 sin a12 tan(b-2a)=tan(b-a)-a=tan(b-a)-tana 1 +tan(b-a)tana=2 1-= ）2 1 81 +3 232. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）a =2R sin Aa b c 正弦定理： = = =2R b =2R sin B sin A sin B sin Cc =2R sin C- 15 - / 42p p- ， （1）求角C；（ 1）由已知式得： 1 -cos(A+B)+2cos2C -1 =1（ 2）由正弦定理及 a2=b2+12c2得：3
13、3. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 反正弦： arcsin x - ， ， x -1，1 2 2 反余弦：arccosx 0，p，x-1，1反正切： arctan x p p 2 2 ， (xR)34. 不等式的性质有哪些？- 16 - / 42a +b2答案：C35. 利用均值不等式：a2+b22ab (a，bR+)；a+b2 ab ；ab 求最值时，你是否注 2 意到“a，b R +”且“等号成立”时的条件，积 ( ab) 或和(a +b) 其中之一为定 值？（一正、 二定、三相等）注意如下结论：当且仅当a =b时等号成立。如：若x 0 ，2 -3x -4x的最大值为当且仅当 3x
14、 =4 2 3，又 x 0 ， x = 时， y =2 -4 3） x 3 max（2x+22y2 2x +2y=2 21，最小值为2 2）36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）- 17 - / 42并注意简单放缩法的应用。37. 解分式不等式f (x)f (x)a(a0)的一般步骤是什么？（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后
15、取各段的并集。） 例如：解不等式 |x -3|-x +1 12）41. 会用不等式| a|-|b| |a b| |a|+|b| 证明较简单的不等问题如：设 f (x) =x2-x +13，实数 a满足 | x -a| 1证明：- 18 - / 42（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“问题） 如：a f (x) 恒成立 a f (x) 恒成立 a f (x) 的最大值a f (x) 能成立 a f (x) 的最小值例如：对于一切实数x，若 x -3 +x +2 a恒成立，则a的取值范围是（设 u = x -3 + x +2 ，它表示数轴上到
16、两定点 -2 和3距离之和43. 等差数列的定义与性质定义： an +1-a =d (d为常数 ) ，a =a + n n 1(n-1)d等差中项：x， A，y成等差数列 2A =x +y前n 项和 S = n(a+a )n1 n1=na +1n(n-1) 2d性质： a是等差数列 n（ 2 ）数列 a2 n -1，a，ka2 nn+b仍为等差数列；（3）若三个数成等差数列，可设为a -d，a，a +d；- 19 - / 42nnnnn1nn11a S（4 ）若a ，b 是等差数列 S ，T 为前 n项和，则 m = 2 m -1 ；b Tm 2 m -1（ 5） an为等差数列 S =ann
17、2+bn （ a ， b 为常数，是关于 n的常数项为 0 的二次函数）S 的最值可求二次函数 S =an n n2+bn 的最值；或者求出 an中的正、负分界 项，即：a 0当a 0 ，d 0 ，解不等式组 可得S 达到最大值时的n值。a 0n +1当a 0 ，由 1a 0a 0n +1可得S 达到最小值时的n值。 n如：等差数列a，S =18，a +an n nn -1+an -2=3，S =1，则n = 344. 等比数列的定义与性质等比中项：x、G、y成等比数列 G 2 =xy，或G = xy前n项和：S = nna (q =1)a (1-qn)(q 1)1 -q（要注意 ! ）性质：
18、 an是等比数列（ 2 ）S ，S n2 n-S ，Sn3n-S 仍为等比数列 2 n- 20 - / 4212n12n -1S n145. 由S 求a 时应注意什么？n n（n =1时，a =S ，n 2 时， a =S -S1 1 n n46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法n -1）如： an1 1 1满足 a + a + + a =2n +5 2 2 2 2 n解：1 1 1n 2 时， a + a + + a =2n -1 +52 2 2 2 n -1练习数列 a满足S +S =n n n +153a ，a =4 ，求 a n +1 1n（注意到 an
19、+1S=S -S 代入得： n +1 n +1 nn=4又 S =4 ， S 1n是等比数列， Sn=4nn 2 时， a =S -Sn nn -1= =3 4n -1（2）叠乘法a n例如：数列 a 中， a =3， n +1 = ，求 aa n +1n解：n（3）等差型递推公式由a -ann -1=f (n) ，a =a ，求a ，用迭加法1 0 n- 21 - / 42nnn 2 时，a -a =f (2)2 1a -a =f (3) 3 2 两边相加，得：a -ann -1=f (n)练习数列 an，a1=1， a =3 n -1 +a nn -1(n2)，求an（4）等比型递推公式a
20、 =cann -1+d (c、d为常数，c 0 ，c 1，d 0)可转化为等比数列，设 a +x =c(ann -1+x)a +dc -1是首项为 a + 1dc -1， c为公比的等比数列练习数列 an满足a =9 ， 3a 1n +1+a =4 ，求 a nn 4 （a =8- 3（5）倒数法n -1+1）例如： a =1， a1n +12a= n ，求 a a +2nn- 22 - / 42an1 a +2 1 1 由已知得： = n = +a 2a 2 a n +1 n n1 1 1为等差数列， =1，公差为a 2147. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数
21、列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如： a是公差为d的等差数列，求 n解：nk =11a ak k +1练习求和：1 +1 1 1+ + +1 +2 1 +2 +3 1 +2 +3 + +n（2）错位相减法：若 an为等差数列， b为等比数列，求数列 annbn（差比数列）前 n项和，可由 S -qS 求S ，其中 q 为 b n n nn的公比。- 23 - / 4222 （3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。S =a +a + +a +a n 1 2 n -1 nS =a +a + +a +a n n n -1 2 1练习相加（由f (x) +
22、f1 x = + x 1 +x 21 x 11 + x 2=x 2 1+ =1 1 +x 2 1 +x 2 1 1 1原式 =f (1) + f (2) +f + f (3) +f + f (4) +f 2 3 448. 你知道储蓄、贷款问题吗？零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金 p 元，每期利率为 r，n 期后，本利和为：若按复利，如贷款问题按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款分期等额 归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第 n 次还清。如果每期利率为 r（按复利），那么每期应还- 24
23、 - / 42x 元，满足p贷款数，r利率，n还款期数49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。（m 为各类办法中的方法数） i分步计数原理： N =m m m1 2（m 为各步骤中的方法数） in（2）排列：从 n 个不同元素中，任取 m（mn）个元素，按照一定的 顺序 排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列，所有排列的个数记为 Amn.（3）组合：从 n 个不同元素中任取 m（mn）个元素并组成一组，叫做从 n 个不规定：C0n=1（ 4 ）组合数性质：50. 解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元
24、问题分类法；至多至少 问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。- 25 - / 42n -1 n +1nn如：学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类：（1）中间两个分数不相等，（2）中间两个分数相等相同两数分别取 90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有 3，4，3 种，有 10 种。共有 51015（种）情况51. 二项式定理Crn为二项式系数（区别于该项的系数）性质：（1）对称性：Crn=Cn -rn(r=0，1， 2 ， n )（2 ）系数和：
25、C0n+C1n+ +Cnn=2n（3）最值：n 为偶数时，n1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第n +12 n项，二项式系数为C 2n；n为奇数时， (n +1) 为偶数，中间两项的二项式系数最大即第n +1 n +1项及第 +1项，其二项式系数为 C 2 =C 2 2 2- 26 - / 42如：在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项系数为 （用数字表示）共有12 项，中间两项系数的绝对值最大，且为第122=6或第 7 项由Cr11x11-r( -1)r，取r =5即第6项系数为负值为最小：又如：(1-2x)2004=a +a x +a x0 1 22+ +a2004x2004
26、(xR)，则(a+a )+(a+a 0 1 02)+(a+a 03)+ +(a+a02004)=（用数字作答）令 x =1，得： a +a + +a0 22004=1原式 =2003a +(a+a + +a )0 0 1 200452. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？=2003 1 +1 =2004 ）（1） 必然事件 W， P(W)=1，不可能事件 f，P( f) =0（2） 包含关系：A B，“A发生必导致B发生”称B包含A。A B（ 3）事件的和（并）： A +B 或 A UB “ A与B 至少有一个发生”叫做 A与B 的 和 （并）。（4 ）事件的积（交）：AB或A IB“A与B同时发
27、生”叫做A与B的积。（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。- 27 - / 42（6）对立事件（互逆事件）：“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A A UA =W， A IA =f（7）独立事件：A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独 立事件。A与B独立，A与 B ，A与B，A与B 也相互独立。53. 对某一事件概率的求法：分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即P(A) =A包含的等可能结果 m=一次试验的等可能结果的总数 n（2） 若 A、B 互斥，则 P (A+B)=P(A) +P(B)（3）
28、若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)（4） P(A) =1 -P(A)（5） 如果在一次试验中 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生如：设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取 2 件都是次品；（2）从中任取 5 件恰有 2 件次品；- 28 - / 42（3）从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品；解析：有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），n103而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”P =3C 2 4 2 6 +4 310 33=44125（4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。解
29、析：一件一件抽取（有顺序）分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等 性。55. 对总体分布的估计用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和 方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（2） 决定组距和组数；（3） 决定分点
30、；（4） 列频率分布表；（5） 画频率直方图。其中，频率 =小长方形的面积 =组距频率组距- 29 - / 421n12n a a =bb a (b 0) 存在唯一实数l，使 b =la样本平均值： x = (x+x + +x )1 2 n样本方差：S 2 = 1 (x-x)2+(x-x)2+(x-x)2n如：从 10 名女生与 5 名男生中选 6 名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组 成此参赛队的概率为_。56. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量既有大小又有方向的量。（ 2 ）向量的模有向线段的长度，| a|（ 3）单位向量 | a | =1， a =0 0（ 4 ）零向量 0
31、，| 0| =0| a|（5）相等的向量 长度相等 方向相同 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（6）并线向量（平行向量）方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 （7）向量的加、减法如图：- 30 - / 42 ( ) （8）平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。（9）向量的坐标表示i ， j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得a =x i +y j ，称 ( x，y) 为向量 a 的坐标，记作： a = x，y ，即为向量的坐标 表示。57. 平面向量的数量积（1） a b =|a| | b|cos q叫做向量 a 与 b 的数量积（或内积）。- 31 - / 42 ( ) ( 数量积的几何意义：a b 等于| a| 与 b 在 a 的方向上的射影| b|cos q的乘积。 （2）数量积的运算法则注意：数量积不满足结合律(a b) c a (b c)（3）重要性质：设 a = x ，y ， b = x ，y1 1 22) a b a b =|a| | b| 或 a b =-|a| | b| a =lb （ b 0 ，l惟一确定）练习 （1）已知正方形ABCD，边长为1， AB =a ， BC =b ， AC =c ，则答案：（ 2 ）若向量 a