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1、1,变形几何关系,物理关系,静力关系,5-4 等直圆杆扭转时的应力强度条件,推导应力公式的思路：,2,一、圆杆扭转时横截面上的应力,从三个方面 1. 变形几何方面 来推导应力：2.物理方面 3.静力学方面,1.变形几何方面,3,观察到下列现象: (1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没变化 (2)纵向线仍近似为直线, 但都倾斜了同一角度 (3）表面方格变为菱形。,平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。,CL5TU5,4,横截面上距形心为的任一点处应变,剪应力方向垂直于半径。根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时,2. 物理
2、方面,(a),(b),结论：横截面上任一点的剪应变与该点到圆心的距离成正比。,5,3.静力学方面,结论：横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比。,6,由(b)式：,即圆截面的边缘处。,WP 称为抗扭截面系数或抗扭截面模量， 单位：m3、cm3、mm3。,7,圆,圆环,8,例5-3内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。,解：,9,例5-4一厚度为30mm、内直径为230mm 的空心圆管，承受扭矩T=180 kNm 。试求管中的最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。,解：(1)
3、 利用薄壁管的近似理论可求得,(2) 利用精确的扭转理论可求得,10,例5-5 图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm, M1=6kNm, M2=4kNm, 材料的切变模量 G=80GPa.,（1） 画轴的扭矩图；,（2） 求轴的最大切应力,并指出其位置.,11,解:（1）画轴的扭矩图,BC段,T1+Me2=0,T2+Me2-Me1=0,T2 =2kNm,AB段,（+）,最大扭矩发生在BC段 Tmax=4kNm,12,（2）求轴的最大切应力, 并指出其位置,max,最大切应力发生在截面的周边上,且垂直于半径.,max,13,二.斜截面上的应力,14,低碳钢扭转试验演示,15,低碳钢扭
4、转破坏断口,16,低碳钢扭转试验开始,低碳钢扭转试验结束,低碳钢扭转破坏断口,17,铸铁扭转破坏试验演示,18,铸铁扭转破坏断口,19,铸铁扭转破坏试验过程,铸铁扭转破坏断口,20,思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？,21,三.强度条件,(3)确定许可载荷:已知杆的截面尺寸、许用切应力，确定许用荷载。,(1)校核杆的强度:已知荷载、截面尺寸、许用切应力，验算构件是否满足强度条件；,(2)设计截面:已知荷载、许用切应力 ,按强度条件，确定截面尺寸；,强度条件解决三问题,22,例5-6 如图所示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，
5、BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩为MA=22kN.m，MB=36kNm，Mc=14kNm。已知材料的许用剪应力 ，试校核该轴的强度。,解：,求得两段的扭矩，并绘出扭矩图。,AB段之扭矩比BC段之扭矩大，但两段轴的直径不同，需要分别校核两段轴的强度。,AB段,BC段,该轴满足强度条件的要求。,23,例5-7 实心圆轴1和空心圆轴2（图a、b）材料,扭转力偶矩M 和长度l 均相等,最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比 = 0.8 ,试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.,l,l,(a),(b),分析：设实心圆截面直径为d1,空心圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ;
6、又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为 T .,已知：,d,d2,D2,24,因此,解得,两轴材料、长度均相同,故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比,在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻,即节省材料.,25,例5-8 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力 =30M Pa, 试校核其强度。,T,m,解：求扭矩及扭矩图,计算并校核剪应力强度,此轴满足强度要求。,x,26,例 5-9 已知 T=1.5 kN . m，t = 50 MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。,解：1. 确定实心圆轴直径,27,2. 确定空
7、心圆轴内、外径,3. 重量比较,空心轴远比实心轴轻,28,解：1. 扭矩分析,例 5-9 R050 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 = 5 mm，d2 = 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，t = 50 MPa，试校核圆管强度。,29,2. 强度校核,危险截面：,截面 A与 B,30,练习：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。,解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为1
8、,31,思考：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？,8,16,思考：图示铸铁圆轴受扭时，在 面上发生断裂，其破坏是由 应力引起的。在图上画出破坏的截面。,45 螺旋,最大拉,32,5-5 圆轴的扭转变形刚度条件,一.扭转变形,33,公式适用条件：,1）当p（剪切比例极限）公式才成立,2）仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）,讨论：1、,2、多外力偶的圆轴：,注意：算扭转变形时，变形公式中的扭矩要考虑正负号。,34,二.圆轴扭转时的刚度条件,单位长度的扭角称为扭角率，用 表示。,对于精密机械,一般机械,35,(1)绘扭矩图,4,-2,(
9、2)计算IP：,5-10空心圆轴，外径mm，内径mm，AB=lmm，M4.m，M6.m,，求C截面对A、B截面的相对扭转角。,解:,36,(3)算相对扭角,“+”号表示面向C截面观察时，该截面相对于A（或B） 截面逆时针转动。,37,例5-11水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为 d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅垂位移。,解：,AB杆的转角,C点位移,38,解：计算扭矩、绘扭矩图：,例5-12圆截面杆AB左端固定，承受均布力偶作用，其力偶矩 集度（单位长度上的力偶矩）为m=20N.m/m，已知直径D=20mm，l=2m，材料G=80MPa =30
10、0MPa。单位长度的许用扭角=20/m，试进行强度和刚度校核，并计算A、B两截面的相对扭角。,39,2）校核强度：,3）校核刚度：,40,3）计算B-A：,取微段dx研究,“+”号表示面向B截面观察时，该截面相对于A截面逆时针转动。,41,由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5 。已知材料的许用切应力t = 40 MPa，切变模量G= 80 GPa。轴的最大扭矩Tmax = 9.56 kNm，许可单位长度扭转角j=0.3 ()/m。试选择轴的直径。,例 5-13,42,1. 按强度条件求所需外直径D,例 5-13,解：,43,2. 按刚度条件求所需外直径D,例 5-13,
11、44,3. 空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知,例 5-13,45,例5-14：图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA， MB与MC 作用，试计算该轴的总扭转角AC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。 已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。,解：1扭转变形分析,利用截面法，得AB段、BC段的扭矩分别为：T1180 Nm， T2-140 Nm,46,设其扭转角分别为AB和BC，则：,47,各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。,由此得轴A
12、C的总扭转角为,2 刚度校核 轴AC为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：,可见，该轴的扭转刚度符合要求。,48,例5-15：某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？,49,解：图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：,T,x,7.024, 4.21,(kNm),50,综上：,全
13、轴选同一直径时,由刚度条件得：,51, 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为75mm。,T,x, 4.21,(kNm),2.814,52,练习 圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90变为 88。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩。,解：由,53,练习 传动轴传递外力偶矩5kNm,材料的=30MPa, G=80GPa, =0.5/m,试选择轴的直径。,解：,目录,54,练习 试计算图示圆锥形轴的扭转角,解：,55,思考：从图a所示受扭圆杆中取出的分离体如图b所示。根据横截面上切应力沿直径CD的分布规律，由切应力互等定理可知径向截面ABCD上沿圆轴的半径方向亦有如图所示分布的切应力。试问此径向截面上切应力所构成的合力偶矩是与什么力偶矩平衡的？ （答案：与左右横截面上的切应力在水平方向产生的分力偶矩平衡，具体分析参见胡增强编材料力学学习指导p41-42）,56,Any question ?,57,祝大家学习愉快!,58,Thank Everybody !,