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1、1,第三章 导数的应用,第一节 微分中值定理,第二节 函数的性质,第三节 洛必达法则,2,第三节 洛必达法则,一.未定式,二.洛必达法则,本节主要内容:,三.其他类型未定式的极限,3,一、未定式,4,例如,5,定理3.3.1（洛必达法则）设函数 f(x) 、g(x) 满足： （1） ； （2） f(x) 、g(x)在x0的某去心邻域 内可导，且 g(x) 0； （3） （A为有限数，也可为无穷大） 则,二、洛必达法则,6,1) 应用洛必达法则时，是通过分子与分母分别求导数来确定未定式的极限，而不是求商的导数.,2)上述定理对“ ”型或“ ”型的极限均成立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型
2、后才能使用洛必达法则。,定理的证明,7,不是未定式不能用洛必达法则 !,例1 求,解,8,方法一：,例2 求,方法二：,解,9,例3 求,解,10,3) 在很多情况下，要与其它求极限的方法（如,例如,而,才能达到运算简捷的目的.,等价无穷小代换或重要极限等）综合使用，,注意：,11,例4 求,解,12,例5 求,可多次使用洛必达法则，但在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。,解,13,例6 求,解,14,例7 求,使用n次洛必达法则,解,15,例8 求,解,16,4)若 不存在(),洛必达法则失效！,例如,极限不存在,?,注意,17,例9 求,不存在(),洛必达法则失效！,解,18,例10 求,能用等价无穷小代换的先代换,解,19,例11 求,分母1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效”,解,20,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型： 或,步骤：,三、其他类型未定式的极限,关键：,21,例12 求,注意到： 求导比 求导简单,解,22,例13 求,解,23,步骤：,例14 求,解,24,例15 求,解,25,步骤：,26,例16 求,解,27,例17 求,解,28,例18 求,解,29,例19 求,原式,解,