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1、1,多元线性回归预测法,多元线性回归模型 估计回归参数 多元线性回归模型的检验 预测区间 标准化回归系数,2,一、多元线性回归模型,设随机变量y与x1,x2,xp一般变量的线性回归模型为,(4-20),其中， 是p+1个未知参数， 称为回归常数， 称为回归系数。y称为因变量，而x1,x2,xp是p个可以精确测量并可控制的一般变量，称为自变量。 是随机误差，对随机误差项假定,3,对一个实际问题，如果我们获得n组观测数据（xi1,xi2,xip;yi), i=1,2,n，则线性回归模型式（4-20）可表示为,写成矩阵形式为,(4-21),4,其中,(4-22),5,二、估计回归参数,回归系数B的估
2、计 采用最小二乘法估计，设观察值与模型估计值的残差为E，则,其中,(4-23),根据最小平方法要求，应有,即,6,由极值原理，根据矩阵求导法则，对B求导，并令其等于零，则得,整理得回归系数向量B的估计值,(4-24),7,2. 二元线性回归方程回归系数的估计,二元线性回归方程为,此时,得出 的计算公式如下：,(4-25),8,(4-28),(4-27),(4-26),9,以上计算公式较繁，较易算的计算公式为,(4-30),(4-29),(4-31),10,三、多元回归模型的检验,1. 复相关系数检验 检验线性关系密切程度的指标称为相关系数，在多元回归模型中，由于自变量在两个以上，所以称为复相关
3、系数.,样本复相关系数的计算公式是,(4-32),11,复相关系数检验的步骤为：,第一步，计算复相关系数 二元回归方程复相关系数的计算常用其简捷公式,(4-33),三元回归方程R计算常用其简捷公式,(4-34),12,第二步，根据回归模型的自由度n-p和给定的显著性水平值 查相关系数临界表，得 值,第三步，判断。若 ，表明变量之间线性相关显著，检验通过，这时回归模型可用来进行预测。若 ，表明变量之间线性相关关系不显著，检验通不过，这时的回归模型不能用来预测，应分析原因，对回归模型重新加以处理。,13,2. 拟合优度检验,拟合优度用于检验回归方程对样本观测值的拟合程度。 定义复可决系数R2,(4
4、-35),复可决系数R2是检验多元线性回归模型拟合优度的度量指标，R2越接近1，表示拟合得越好；反之，则拟合得不好。,14,定义一个校正R2，记为,(4-36),这里，n-p是残差平方和 的自由度，n-1是总离差平方和 的自由度。 根据式（4-35）和（4-36）可得与之间关系如下,(4-37),（1）当 时， 。说明中包含了自变量个数的影响，随着自变量个数的增加， 总小于 . (2) 尽管 总是非负的，但 都可能为负。若 为负， 取值为0。,15,3. 回归方程的显著性检验F检验,原假设,如果H0被接受，则表明随机变量y与x1,x2,xp之间的关系由线性回归模型表示不合适。 F检验程序如下：
5、 第一步，计算统计量F的值。,(4-38),16,第二步，对给定的显著性水平 ，查F分布表，得临界值,第三步，判断。若 ，则认为回归方程有显著意义，也就是p1=p2=pp=0不成立；反之，则认为回归方程不显著.,F统计量与可决系数，相关系数有以下关系：,(4-39),(4-40),17,回归系数的显著性检验t检验 检验假设,如果接受原假设 H0j ，则 xj 不显著；如果拒绝原假设 H0j ，则 xj是显著的。 t检验的具体步骤如下： 第一步，计算估计标准误差 其中二元和三元估计标准误差的简捷公式分别为,(4-41),18,第二步，计算样本标准差 式中 Cjj 为矩阵 (XX)-1 对角线上第
6、j个元素。 第三步，计算 t 统计量,(4-43),(4-42),(4-44),(4-45),19,第四步，对给定的显著水平 ，查自由度为n-p的t 分 布表，得 。 第五步，判断。若 ，则回归系数 与零 有显著差异，必须保留 在原回归方程中，否则应 去掉 重新建立回归方程。,20,5.自相关检验DW检验 （1）DW检验,(4-46),其中 ： ，是 的估计值。 因 的最初序号也必须是1，所以分子求和公式必须从2开始。将式（4-46）展开，得,(4-47),21,在大样本情况下，即n30，可以认为 所以上式可以写成 （4-48） R1是 与 的相关系数 的估计量。当 与 正自相关时， R1 1
7、,DW 0；当 与 负相关时， R1 -1,DW 4；若不存在自相关或相关程度很小时， R1 0,DW 2 。从式（4-48）可以看出，DW值在04之间。,22,根据DW统计量，检验模型是否存在自相关，其步骤如下： 第一步，利用最小平方法求回归模型及残差 ； 第二步，利用式（4-46）、（4-47）或（4-48）可以计算DW 统计量； 第三步，确立假设 ，即假定回归模型不存在自相关； 第四步，根据给定的检验水平及自变量个数p从DW检验表中查得相应临界值 。 第五步，判断。DW的取值域在04之间。 在 DW小于等于2时， DW检验法则规定： 如DW ,认为 无自相关； 如 DW ,不能确定 是否
8、存有自相关,23,在DW大于2时， DW检验法则规定： 如4- DW ，认为 无自相关； 如 4 - DW ，不能确定 是否有自相关。 由图4-2可以看出， 值等于2时为最好。根据经验， DW统计量在1.52.5之间时表示没有显著自相关问题。,24,从图4-2可看出,DW检验的最大弊端是存在着无结论区域。无结论区域的大小与样本容量n和自变量个数p有关。当n一定时，p愈大，无结论区域也愈大；当p一定时，n愈大，无结论区就愈小。如果计算的DW统计量落到了无结论区域，那么，决策者就不能做出回归模型是否存在自相关现象的结论。,25,（2） 产生自相关的原因及补救办法,当检验结果出现 和 情况时，说明随
9、机误差项相互独立的假设不能成立，回归模型存在相关。 在实际预测中，产生自相关的原因可能是： （i）忽略了某些重要的影响要素。 （ii）错误地选用了回归模型的数学形式。 （iii）随机误差项 本身的确是相关的。 合适的补救办法是： （i）把略去的重要影响因素引入回归模型中来。 （ii）重新选择合适的回归模型形式。 （iii）增加样本容量，改变数据的准确性。,26,6. 多重共线性检验,多重共线性检验的步骤如下： 第一步，计算任何两个自变量和间的相关系数为,第二步，对自变量作中心标准化，则XX=(rij) 为自变量的相关阵。记 C=(cij)=(XX)-1 称其主对角线元素VIFj=cjj为自变量
10、xj的方差扩大因子（VIF）. 经验表明，当 时，就说明自变量xj与其余自变量之间有严重的多重共线性，且这种多重共线性可能会过度地影响最小二乘估计值。,(4-49),(4-50),27,四、预测区间,多元回归模型的预测值和预测区间计算步骤如下： （1）计算估计标准误差,（2）记预测点为X0=(X01,X02,X0P)，则预测值为,(4-51),预测误差 的样本方差为,(4-52),28,（3）当预测值 的显著性水平为 时，多元线性回归模型的预测区间为,(4-52),(4-53),由于这里X0的是一个影响因素数据向量，按公式（4-52）计算S0较复杂，故在实际预测中，一般运用SY代替S0近似地估
11、计预测区间.,29,五、标准化回归系数,如果先将所有的变量xj和因变量进行标准化，取得标准化变量 和 ，再进行回归便可以得到标准化回归方程,因为z变量是无量纲变量，所以它们的回归系数称为标准化回归系数，它表示当其它变量不变时，xj变化一个标准单位，y的标准差的平均变化 。由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，于是 之间可以互相比较，它们绝对值的大小就代表了各自对y作用的大小。,30,计算 的另一种计算方法为,其中sy和sj分别为原变量y和原自变量sj的标准差。一般统计软件都能够同时输出回归系数 和标准化回归系数 .,31,案例,承上例，该饮料公司的许多零售点设在体育比 赛场地，该公司明白，
12、当比赛一边倒时，观众会 比往常喝得多一些，因为这时观众就有时间注意 到口渴，而不是把注意力完全集中在比赛场上。 因此，可以利用比赛结束时的比分差作为第 二个自变量，其预测模型就成为： 饮料销售量=b0+b1气温+ b2比分差,32,表4-5 二元回归分析计算表,33,34,解 （1）设饮料销售量为y，气温为x1，比分差为x2，则二元回归模型为 （2）计算回归系数。,35,所求回归预测模型为：,36,（3）R检验,当显著水平 =0.05， =10-3=7时， =0.666， 因 ，说明相关关系显著。,37,(4) 拟合优度检验,由此可见，此回归模型解释了饮料销售变差的94.9%，而一元线性回归模
13、型只解释了饮料销售量变差的74%。,(5) F检验,当显著水平 =0.05时，F0.05（3-1，10-3）=4.74 ，说明回归效果非常显著。,38,(6) t检验,这个数据与一元线性回归获得的标准误差65相比，多元回归的标准误差缩小了一半多，在对标准性要求更高的预测中，就能表现出这种误差缩小的好处。,39,当显著水平 =0.05时，t0.05/2（10-3）=2.365 因为 和 均大于t0.05/2（7）=2.365， 故拒绝假设b1=0和b2=0。因此可以断言，气温和比分差对饮料销售量有显著影响。,40,(7) DW检验,41,当显著水平 =0.05，p=3,n=10时,查DW检验表，
14、因DW检验表中样本容量n最低为15，故取dL=0.82和dU=1.75, 即DW统计量在dU=1.75 DW=2.19 4- Du=2.25之间。检验结果表明回归模型不存在自相关。,42,(8) 多重共线性检验,自变量x1和x2之间的相关系数,说明本题没有多重共线性的问题。,43,(9) 预测,（i）当气温 ，比分差x2=8时，代入回归模型得的点估计值为,（ii）当显著性水平 =0.10，自由度n-p=7时，查t分布表得 t0.05（7）=1.895 预测区间 这是一个很大的改进，因为对一元线性回归模型而言，概率为90%的置信区间为458+130，而对于二元线性回归模型，当气温为 ，比分差为8时，其预测的近似置信范围在375491箱之间，其概率保证程度为90%。,