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1、2第九章半角模型模型 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形已知如图：1 2= AOB；2OA=OB。O1 2 3FE连接 FB，将FOB 绕点 O 旋转AB至FOA 的位置，连接 FE、FE， 可得OEFOEF。F4O1 2 3FE模型分析AB（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是 90含 45，120含 60。模型实例例 1如图，已知正方形 ABCD 中，MAN=45，它的两边分别交线段 CB、DC 于点 M、N。（1） 求证：BM+DN=MN；（2） 作 A
2、HMN 于点 H，求证：AH=AB。A DNBMC例 2在等边ABC 的两边 AB、AC 上分别有两点 M、N，D 为ABC 外一点， 且MDN=60，BDC=60，BD=DC。探究：当 M、N 分别在线段 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系。（1）如图，当 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； （2）如图，当 DMDN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。AAMMNNB C BD图11D图C例 3如图，在四边形 ABCD 中，B+ADC=180，E、F 分别是 BC、CD 延长1线上的点，且EAF= BAD。求证：EF=BE-FD。2
3、AFBDCE热搜精练1如图，正方形 ABCD，M 在 CB 延长线上，N 在 DC 延长线，MAN=45。 求证：MN=DN-BM。ADMBCN2已知，如图，在 ABC 中，BAC=90，AB=AC，点 D、E 分别为线段 BC 上两动点，若DAE=45。探究线段 BD、DE、EC 三条线段之间的数量 关系。小明的思路是：把AEC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABE， 连接 ED，使问题得劲解决。请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想 BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动到线段 CB 的延长线上时，
4、如图，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给 予证明。AABD图CE D B E图12C2BA图3已知，在等边ABC 中，点 O 是边 AC、BC 的垂直平分线的交点，M、N 分别在直线 AC、BC 上，且MON=60。（1） 如图，当 CM=CN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时，请写出 AM、CN、MN 三者之间的数量关系；（2） 如图，当 CMCN 时，M、N 分别在边 AC、BC 上时，（1）中的结论是 否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3） 如图，当点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN
5、、MN 三者之间的数量关N系。CCCMNMNMOOOA图1BA图2 3B4如图，在四边形 ABCD 中，B+D=180，AB=AD，E、F 分别是线段 BC、CD 上的点，且 BE+FD=EF。求证：EAF=12BAD。DABFE C35如图，已知四边形 ABCD，EAF 的两边分别与 DC 的延长线交于点 F，与 CB 的延长线交于点 E 连接 EF。（1） 若四边形 ABCD 为正方形，当EAF=45时，EF 与 DF、BE 之间有怎样 的数量关系？（只需直接写出结论）（2） 如图，如果四边形 ABCD 中，AB=AD，ABC 与ADC 互补，当EAF=证明；12BAD 时，EF 与 DF、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并（3）在（2）中，若 BC=4，DC=7，CF=2，求CEF 的周长（直接写出结论即 可）。AAEEBDBCDF图1FC图24