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1、数列求和专题,民乐一中 高二数学组 张宏俪,数,列,求,和,求数列的前 n 项和的几种方法：,1 运 用 公 式 法,3 错 位 相 减 法,4 裂 项 相 消 法,2 分组求和 法（分析通项法）,5 倒序相加求和法,1.公式法：,等差数列的前n项和公式： 等比数列的前n项和公式 ,例1：,求和：,1、看通项，是什么数列，用哪个公式； 2、注意项数,公式法,练习 求和： 1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an),在求等比数列前n项和时，要特别注意公比q是否为1。当q不确定时要对q分q=1和q1两种情况讨论求解。,对策：,(an、bn为等差或等比数列。）,2.分组求和法,例2.求下面数列的前
2、n项和,练习.求下列数列的前n项和,2、1,3 ，32 ，3 ,规律概括：如果一个数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用分组求和法：在本章我们主要遇到如下两种形式的数列.其一：通项公式为： 其二：通项公式为：,如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.,既anbn型,等差,等比,3、错位相减法：,例3、求和Sn =1+2x+3x2+nxn-1 (x0,1),分析,这是一个等差数列n与一个等比数列xn-1的对应相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？,Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1 ,xSn = x + 2x2 + (n
3、-1)xn-1 + nxn ,(1-x)Sn =1 + x + x2+ + xn-1 - nxn,n项,例3、求和Sn =1+2x+3x2+ +nxn-1 (x0,1),解： Sn =1 + 2x +3x2 + +nxn-1,xSn = x + 2x2 + + (n-1)xn-1+nxn, -，得： (1-x) Sn =1+x+x2+ + xn-1 - nxn,练习.已知数列1,3a,5a2，(2n1)an1(a0)，求其前n项和,当a1时，Snn2.,设数列 满足a13a232a33n1an ，aN*. (1)求数列 的通项； (2)设bn ，求数列 的前n项和Sn.,练习,练习： 求和Sn
4、= 1/2+3/4+5/8+(2n-1)/2n,答案：,4、裂项求和法：,把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法.（见到分式型的要往这种方法联想）,注、特别是对于 ，其中 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 (其中dan1an),评：裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。,常见的拆项公式有：,求数列 ,的前n项和.,练习：,5倒序相加法 如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数
5、，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的,例6： 1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=？,局部重组转化为常见数列,六、并项求和,练习1：,练习2： 已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1), 1)求S20,S21 2)求Sn,S20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39,S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）,=20,=-21,七.奇偶法 通过分组，对n分奇偶讨论求和,(3) 数列an中，an2n(1)n，求Sn.,练习：求和,例8：已知数列5，55，555，555，求满足前4项条件的数列的通项公式及前n项
6、和公式。,练习：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+ +(1+2+22+2n-1),八. 构造通项求和,通项,=2n-1,先求通项 再处理通项,九.周期转化法 如果一个数列具有周期性，那么只要求出了数列在一个周期内各项的和，就可以利用这个和与周期的性质对数列的前n项和进行转化合并,周期为4，和为1003,本课小结：数列求和的一般步骤：,等差、等比数列直接应用求和公式求和。 非等差、等比的数列，通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列，常用方法有倒序相加法、错位相减法、拆项并组法 不能转化为等差、等比的数列，往往通过裂项相消法求和。,(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和,数列求和的方法,(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： 转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成 不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和,