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1、2019 年上海高中数学 强化训练（立体几何）类型一：转化1、位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置 关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。例 1-1 已知三棱锥 SABC 中，ABC90，侧棱 SA底面 ABC，点 A 在棱 SB 和 SC 上的射影分别是 点 E、F。求证 EFSC。SFEACB图1例 1-2 设矩形 ABCD，E、F 分别为 AB 、CD 的中点，以 EF 为棱将矩形折成二面角 AEFC (如图2)。1求证：平面 AB E平面 C DF。1 12、降维转化由三维空间向二维平面转
2、化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的 基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理 的证明就是转化为三角形全等的平面问题。例 1-3 如图-3，在直三棱柱 ABCA B C 中，AB=BC=1 1 12，BB =2，1ABC =90，E、F 分别为 AA 、1C B 的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 1 1.1例 1-4 如图-4 直四棱柱ABCD -A B C D 中，AA =21 1 1 1 1，底面 ABCD 是直角梯形，A 是直角，AB|CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线
3、BC1与 DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）备注：实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。 3、割补转化“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟 知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。例 1-5 如图 5，三棱锥 PABC 中，已知 PABC，PABCn,PA 与 BC 的公垂线 EDh，1求证：三棱锥 PABC 的体积 V n2h.6PEACB图5D24、等积转化“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的“等 积转化”（或称等积变换）
4、是以面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联 系，从而使问题得到解决。例 1-6 如图，已知 ABCDA B C D 是棱长为 a 的正方体，E、F 分别为棱 AA 与 CC 的中点，求四棱锥1 1 1 1 1 1A EBFD 的体积。1 1A1D1B1C1EFA1B CD5、抽象向具体转化例 7 A、B、C 是球 O 面上三点，弧 AB、AC、BC 的度数分别是 90、90、60。求球 O 夹在二面角 BAOC 间部分的体积。AO CB图83类型二：数学思想的应用：立方体是高中课本里空间图形中的最基本、最常用、最重要的几何体。首先：其本身中的点、线、面的位置关系包涵了
5、空间图形中的所有的位置关系；其次：它与代数(如：不等式、函数与数列、排列组合等)、三角、解析几何有着密切联系。 因而它是高考命题的热点.下面从数学思想方法方面探究其重要性.1、体现数形结合思想例 2-1 如图，在棱长为 2 的正方体ABCD -A B C D1 1 1 1中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC 、AD1的中点.那么异面直线 OE 和FD1所成的角q的余弦值等于（ ）.(A)10 15(B)5 5(C)4 2(D)5 3例 2-2 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A）3p（B）4p（C）3 3p（D）6pD1C1A1B1E
6、DCFOAB注：“补形割体”构造模型 ,进行适当的变形为熟悉的模型从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决 , 是处理空间图形中惯用的手段.42、体现转化与化归思想例 2-3 下列 5 个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 面 MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）_.P PMPlNllNMlMlNlNMPN PM 注：本题中选中平面 MNP 作为“参照系”,可清淅解题思路,明确解题目标.例 2-4 如图，在正方体 ABCD-A B C D 中，P 是侧面 BB C C 内一动点，若 P 到直线 BC 与直线 C D 的距离相等
7、，1 1 1 1 1 1 1 1则动点 P 的轨迹所在的曲线是（A） 直线（B） 圆 （C） 双曲线 （D） 抛物线A1D1B1C1PDCAB注：立几中的解几问题是近年来才露脸的题型,要求熟练掌握立体几何和解析几何所有知识内容,更要有跳 跃的思维,较强的转换能力.53、体现分类讨论思想例 3-1 如图，E、F 分别为正方体的面 ADD A 、面 BCC B 的中心，则四边形 BFD E 在该正方体的面上1 1 1 1 1的射影可能是_。（要求：把可能的图的序号都填上）注：截面、射影的问题是空间图形和平面问题间变换的一种重要题型,象本题一样的定性分析题一定要抓 住图形的特性(平行、垂直等)进行分
8、析.例 3-2 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为(A)56 (B) 52 (C)48 (D)40注：以几何体为载体考查排列与组合的有关问题是高考的传统题型 ,要做到不重复不遗漏地分类并且注意 几何体的结构特点去求解.4、体现函数与方程思想例 4-1 如图，正方形 ABCD 、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、 ABEF 互相垂直.点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若CM =BN =a (0 a 2). C（1）求 MN 的长； （2）当 a 为何值时，MN的长最小；DMBK NEAF注：对空间图形中含有一些“动态”因素(象距离、角度等)的问题,可考虑能否把这一动源作为自变量,构 造目标函数,用函数的思想来处理.例 4-2 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA B C D 中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点.试确1 1 1 1定点 F 的使得 D E平面 AB F.1 1ZA1D1B1C1A DYXBECF6