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1、2.2.1.1 等差数列【教学目标】1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式.2. 运用等差数列的通项公式解决相关问题.【教学重难点】1. 重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式.1. 等差数列概念的理解.【课前预习框架】.课题导入上节课我们学习了数列的定义、给出数列和表示数列的几种方法列举法、通项公 式、递推公式、图像法.这些方法从不同的角度反映出数列的特点.下面我们看这样几个数 列.四个数列如下：0，3，6，9，12，15，11，16，21，2610，4，-2，-8，-14，-20105，115，125，135，145观察：请同学们仔细观察，以上四个数列有什么共同特征？共同特征：
2、从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；(误：每 相邻两项的差相等应指明作差的顺序是后项减前项).我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列.新知1.等差数列概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数 列就叫做等差数列 ，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.注：(1)公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；(2)对于数列a n,若anan -1=d (与 n 无关的数或字母)，n2，nN+，则此数列是等差数列，d 为公差.思考：(1).数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ (2).等差数列的通项公
3、式是什么？2.等差数列的通项公式等差数列的定义是由一个数列相邻两项之间关系而得若一个等差数列a n的首项是a1，公差是 d，则根据等差数列的定义可得：a -a =d 2 1即：a =a +d 2 1a -a =d 3 2即：a =a +d =a +2d 3 2 1a -a =d 4 3即：a =a +d =a +3d 4 3 1由此归纳出等差数列的通项公式： a =a +( n -1) dn 1因此，已知一个数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差 d，便可求得其通项an.由上述关系还可得： a =a +( m -1) dm 1即：则：a =a -( m -1) d 1 ma =a +( n
4、-1) d n 1=a -( m -1)d +( n -1)d m=a +( n -m) dm即等差数列的第二通项公式： a =a +( n -m) dn m由此可得公差d =a -am nm -n【例题解析】例 1 (1)求等差数列 13，9，5，的第 16 项(2) -137 是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？解：(1)由已知a =13, d =9 -13 =-4 1，以及 n=16得a =13 +(16 -1) (-4) =-47 16.(2)由已知a =-5, d =-9-( -5) =-4 1得该数列通项公式为：a =-4n -1 n.由题意可知，本题是要回答是
5、否存在正整数 n，使得 -137 =-4n -1 解得 n=34，即-137 是这个数列的第 34 项.成立，例 2 已知数列an的通项公式a =kn +b n，其中k、b是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看a -ann -1（n2）是不是一个与 n 无关的常数.解：当 n2 时, （取数列an中的任意相邻两项an -1与an（n2）a -an n -1=( kn +b ) -k ( n -1) +b =kn +b -( kn -k +b ) =k为常数an是等差数列，首项a =k +b 1，公差为k.注：
6、若 k=0，则 a 是公差为 0 的等差数列，即为常数列 b，b，b，n若 k0，则 a 是关于 n 的一次式，从图像上看，表示数列的各点均在一次函数ny=kx+b 的图像上，一次项的系数是公差，直线在 y 轴上的截距为 b.数列 a 为等差数列的充要条件是其通项 a =kn+b (k、b 是常数)，称其为第 3 通 n n项公式.判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个.【课堂总结】1、 等差数列的概念；2、 判断一个数列是不是等差数列的依据；3、 等差数列的通项公式.【作业】1. 求等差数列 1，5，9，的第 6 项与第 18 项.2. 求等差数列 15，9，3，的第
7、16 项.2. 120 是不是等差数列8，4，0，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理 由.4.20 是不是等差数列 0，3 明理由.12，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说参考答案1. 解：根据题意可知： a =1，d=51=4.1该数列的通项公式为： a =1+（n1）4，n即 a =4n3（n 1，nN*）na6=463=21，a18=4183=69.评述：本题关键是求出该等差数列的通项公式.2. 解：根据题意可知：a1=15，d=915=6.则该数列的通项公式为：an=15+（n1）（6），即：an=6n+21，从而 a =616+21=75. 163. 解：根据题意可得：a1= 8，d=4(8)=4.则此数列通项公式为：an=8+（n1）4=4n12.令 4n12=120，解得：n=33，因此，120 是这个数列的第 33 项.4. 解：由题意可知：a1=0，d=312此数列的通项公式为：an7 7 = n+ ，2 2令7 7 47 n+ =20，解得 n= ，2 2 77 7又因为 n+ =20 没有正整数解， 2 2所以20 不是这个数列的项.