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1、,基本不等式训练题ab1(2019长春调研)“a0,b0”是“ab0,b0 时, ab,即 ab 2,当 ab 时,ab0,b0”不是“ab 2”的充分条件当 ab0,b0 不一定成立,故“a0,b0”不是“ab0,b0” 2 ab 是“ab0,y0,且 x2y2,则 xy( )A有最大值为 11C有最大值为2B有最小值为 11D有最小值为2解析:选 C 因为 x0,y0,x2y2,1所以 x2y2 x2y,即 22 2xy,xy ,21当且仅当 x2y,即 x1,y 时,等号成立21所以 xy 有最大值,且最大值为 .21 23若实数 a,b 满足 ab,则 ab 的最小值为( )a bA
2、2C2 2B2D41 2解析:选 C 因为 ab,所以 a0,b0,a b1 2 1 2 由 ab 2 2a b a b2ab所以 ab2 2(当且仅当 b2a 时取等号),所以 ab 的最小值为 2 2.1 14已知 a0,b0,a,b 的等比中项是 1,且 mb ,na ,则 mn 的最小值是a b( )y xy xy x x x 22A3C5B4D61 1解析:选 B 由题意知 ab1,mb 2b,na 2a,mn2(ab)4 aba b4,当且仅当 ab1 时取等号,故 mn 的最小值为 4.5(2019长春质量监测)已知 x0,y0,且 4xyxy,则 xy 的最小值为( )A8C1
3、2B9D164 1 4 1 4x y解析:选 B 由 4xyxy 得 1,则 xy(xy) 142 4 4x y59,当且仅当 ,即 x3,y6 时取“”,故选 B.y x6若正数 x,y 满足 4x29y23xy30,则 xy 的最大值为( )4A35C45B3D2解析:选 D 304x29y23xy2 36x2y23xy, 即 3015xy,所以 xy2,2 3当且仅当 4x29y2,即 x 3,y 时等号成立3故 xy 的最大值为 2.2 37设 x0,则函数 yx 的最小值为( )2x1 2A0C11B23D2解析:选 A yx2 3 1 2x1 2 21 221x2 1 1 20,当
4、且仅 2 1x21 1 1当 x ,即 x 时等号成立所以函数的最小值为 0.故选 A. 2 1 2x218已知 x1,y1,且 log x, ,log y 成等比数列,则 xy 有( )4A最小值 2 B最小值 22222222222222xx2baabC最大值 2 D最大值 21 1解析:选 A x1,y1,log x0,log y0.又log x, ,log y 成等比数列,4 161log xlog y,由基本不等式,得 log xlog y2 log xlog y ,当且仅当 log x21log y 时取等号,故 log (xy) ,即 xy 2.选 A.29当 3x12 时,函数
5、 yxxx的最大值为_解析:yxxx x2 15x36 x36 x 15236x 153, x36当且仅当 x ,即 x6 时,y 3.x max答案:3m10(2018南昌摸底调研)已知函数 yx (x2)的最小值为 6,则正数 m 的值为x2_解析:x2,m0,yx2m22xmx222 m2,当 xm2 m时取等号,又函数 yx (x2)的最小值为 6,2 m26,解得 m4.x2答案:4111(2018天津高考)已知 a,bR,且 a3b60,则 2a 的最小值为_8解析:a3b60,a3b6.12 2 23b2 2a23b82 21a3b2 26223 .4a3b,当且仅当a3b60,
6、即a3, b1时等号成立1答案:412(2018聊城一模)已知 a0,b0,3ab2ab,则 ab 的最小值为_3 1解析:由 a0,b0,3ab2ab,得 1,2b 2ab a1275x60120 8 4 900 8x x 3 1 3a b所以 ab(ab) 2 2 3,当且仅当 b 3a 时等号成立,则 a2 2 2b 2ab 的最小值为 2 3.答案:2 313(2019孝感模拟)经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y x 130x ,x50, 12,x80,120.,(1) 该型号汽车的速度为多少时,可使得每小时
7、耗油量最少?(2) 已知 A,B 两地相距 120 km,假定该型号汽车匀速从 A 地驶向 B 地,则汽车速度为 多少时总耗油量最少?1 1解:(1)当 x50,80)时,y (x2130x4 900) (x65)2675,75 751所以当 x65 时,y 取得最小值,最小值为 6759.75x当 x80,120时,函数 y12 单调递减,故当 x120 时,y 取得最小值,最小值60120为 12 10.60因为 910,所以当 x65,即该型号汽车的速度为 65 km/h 时,可使得每小时耗油量最 少120(2)设总耗油量为 l L,由题意可知 ly ,x当 x50,80)时,ly x 130 5 52x4 900 13016, x 4 900当且仅当 x ,即 x70 时,l 取得最小值,最小值为 16;x120 1 440当 x80,120时,ly 2 为减函数,x x所以当 x120 时,l 取得最小值,最小值为 10.因为 1016,所以当速度为 120 km/h 时,总耗油量最少