《大学物理讲稿(第2章力学中的守恒定律)第四节.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理讲稿(第2章力学中的守恒定律)第四节.docx（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、t2.2动量第 2 章力学中的守恒定律 动量守恒定律本节从冲量作用和质点(系)动量变化的因果关系出发，把牛顿运动定律所揭 示的力的瞬时效应延长为力对时间的累积效应，导出反映冲量与动量之间联系的 动量定理，将动量定理应用于质点系统，可导出力学中又一守恒定律动量守 恒定律。动量定理和动量守恒定律，为我们求解动力学问题开辟了又一条不同于 动能角度的新途径。一、冲量1. 冲量动量及动量定理力学中的冲量概念 , 也是从实践中概括出来的 . 大量事实表明 , 一个物体的运 动速度的变化 , 决定了两个因素 : 第一是作用力的大小 ; 第二是力的作用时间长短 . 例如 : 当火车启动时 , 要达到一定的速度
2、 , 必须是机车的作用力作用一段时间 , 如果 机车的牵引力很大 , 在较短的时间内就可以达到这个速度 ; 若机车的牵引力较小 , 那么就需要较长的时间才能达到这个速度 . 由此可见 , 物体运动状态的改变 , 不仅 与作用力有关 , 还与力的作用时间有关 . 为此 , 我们研究力对时间的累积作用 ,这种 累积作用可用冲量来表示.恒力的冲量设从 t 到 t 的这段时间内,有一恒力 F 作用在物体上,我们把力 0与力所作用时间的乘积称为力的冲量,用 I 表示,即v v I =F ( t -t )0(2.20)变力的冲量 对于变力 , 不能用式 (2.20)计算冲量 .但在极短时间间隔 Dt 内,
3、 可v v认为力的大小和方向都恒定,若 F 表示极短时间 Dt 内的作用力,则 DI =FDt 叫力 F 在 Dt 时间内的元冲量 . 对于 t t 较长的时间 , 可将其0分割为许多很小的时间间隔 Dt ,在任意 Dt 中力都可以i iv视为恒定并用 F 表示 , 将力在各 Dt 的元冲量求矢量和i i并取极限,即可得到力在 时间内的总冲量,即vI =limDt 0v tF Dt =i i0vFdt(2.21)这就是说,定义变力 F 在一段时间内对时间 t 的积分为该力在该段时间内的冲 量.显然,由于力是矢量,力的冲量也是矢量.vvv在研究变力对时间累积作用时 , 还常用到平均力 ( 力对时
4、间的平均值 ) 概念, 于 是变力的冲量又可表示为v tI =t0v v Fdt =F (t -t )0(2.22)亦即变力的冲量等于的平均力与力作用时间的乘积。 在国际单位制中,冲量的单位是牛顿秒( NS ) .量纲为 MLT-1.当力的方向沿某一直线时,变力的冲量也可用图线进行直观的讨论:如图 2.12 所示,变力的冲量其大小可用图中力曲线之下从 t 到 t 的曲边梯形面积表示;若取0宽为 t- t 的矩形并使其面积与力曲线之下的曲边梯形面积相等 , 则此矩形的高即 0等于平均力的大小.2. 动量早在牛顿定律建立之前 ,人们在研究物体的碰撞和打击等现象时 ,就萌发了运 动量的概念 . 例如
5、 ,17 世纪惠更斯就曾经指出 :质量相等的两个物体正碰后交换速 度 ; 用锤击钉 , 锤子的运动就传给了钉子 , 使钉子获得 运动 并钻进木头或墙壁 . 总 之,在碰撞、打击等现象中,均发生着运动量的传递.这种在机械运动中被传递的 运动量如何量度?人们在实践中总结出这种运动量与物体的质量、速度均有关 系.牛顿在 1687 年发表的自然哲学的数学原理中,已明确了动量的定义:运动 的量是用它的速度和质量一起来量度的 .也就是把物体 ( 即质点 ) 的质量与速度的 乘积定义为质点的运动量.用 P 表示,即vP =mu(2.23)在国际单位制中,动量的单位为千克米秒(kgm/s)。由动量定义可知 ,
6、 动量是矢量 , 其方向与速度方向相同 ; 且它是比速度更具有 普遍意义的状态量 ,它反映运动物体所具有的机械作用能力的大小 . 如高速飞行的 质量很小的子弹,命中敌人时可给敌人以致命的打击 ;低速行驶但质量很大的汽车 也会给予不慎相撞的行人可怕的伤害 , 都是由于运动物体动量大 ,而具有很大机械 作用能力的结果.3. 动量定理牛顿第二定律可写为 积分可得vv d ( mu) v F =ma = d ( mu) =Fdtdtv vtttv t vI =Fdt =mu-mu0(2.24)t0上式表明 : 物体 (即质点 ) 所受的合外力的冲量 ( 过程量) 等于物体动量 ( 状态量 ) 的增量
7、( 即末动量与初动量的矢量差 ), 此即为动量定理 . 动量定理在直角坐标系中 的分量式为I =xt0F dt =mu -mu x x0xI =Fdt =mu -mu y y y0yI =zt0t0F dt =mu -mu z z0z对动量定理的理解应注意以下几点:(1) 质点的动量定理是从牛顿定律导出的 , 它们都是说明物体运动状态与外 力作用的关系.所不同的是,牛顿第二定律说明任意时刻质点动量的变化率与该时 刻外力之间的关系 , 而动量定理则说明任意时间间隔内质点动量的变化量与该时 间间隔内外力冲量之间的关系.(2) 质点的动量定理表明合外力的冲量方向与受力质点的动量的增量方向 一致 ,
8、而不是与质点某时刻的动量方向相同 . 例如 : 在质点作斜上抛运动并达到最 高点的过程中 , 质点所受合外力为重力 ( 不计空气阻力 ), 故合力的冲量方向铅直向 下,质点在这段时间内动量的增量 Dmu也同样铅直向下.(3) 质点动量定理应用于碰撞、打击问题时十分方便.因为这类问题的特点是 力的作用时间仅为百分之几秒 , 甚至千分之几秒 ,而在这极短的时间内力急剧地上 升至很大数值 , 然后又急剧地减小为零 , 这种力称为冲力 . 冲力的方向一般是不变 的 , 但大小不易测定 . 然而物体的动量变化比较容易确定 , 因此可以根据动量定理 来计算力的冲量大小,而无需考虑运动过程中冲量变化的细节.
9、(4) 同牛顿第二定律一样 , 质点的动量定理仅适用于惯性系 . 而且在一切惯性 系中形式都相同.例题 2.7 质量为 M =3 103kg 的重锤,从高度为 h=1.5m 处自由落到受锻压的工件上 , 使工件发生形变 , 如果作用时间 Dt =10 锤不反弹.-3s ,试求锤对工件的平均冲力 .假设解：取重锤为研究对象,在锤与工件相互作用前,锤是一个自由落体,在与工件 刚接触时, 锤的速度为 u= 2gh .Dt时间后,锤静止在工件上 .在这段时间内 ,锤除了v2受向下的重力 P 以外,还受到工件对它的向上的冲力 N 作用.用平均冲力 N 代替 N .由动量定理得v v( P +N )Dt
10、=0 -Mu取铅直向下为坐标轴的正向，有 P -N =-Mu M=- 2 ghDt Dt N =P +MDt2 gh =1.63 10 7 N则锤对工件的平均冲力方向向下 , 大小与 N 相等 . 由于 N / P =560 , 表示若将锤静 止放在工件上,工件所受压力等于重力,而打击时,却能产生比锤所受重力大 560 倍 的冲力,此即为锻压的基本原理.由此例可见:(1) 当冲力很大时( 很小时),一些常见的力(如重力)与它比较,可忽略;(2) 动量定理是矢量关系 , 解题时一定要把各力和速度的方向弄清楚 , 列出矢 量式,选好坐标系,再用分量式进行计算.例题 2.8：人从多高处跳落到地面上会
11、发生骨折？解：若人从高为 h 处落到地面而又不反弹,人体的质量为 m,则作用于人体的 平均冲力为：F =muDt若人双足着地 , 借助脚腕脚掌及双膝来控制碰撞时间 Dt , 对 Dt 的估算 :设人从 落地速度 减到 0 时,身体的重心移动了一段距离 Dh , 假设弯膝期间重心作匀减 速运动，则有将此式代入上式得F =mg (hDhu u 2Dh 2DhDt = = =a u2( 2Dh) u 2 gh), 直腿下跳 Dh =0.01m, h =2m F =200mg这表明 , 地面对人的冲击力等于人所受重力乘以跳落高度与人体重心移动距离之 比.对一质量为 60kg 的人来说, F =1.2 105N ,人足的骨骼最小处的截面积为s =3.2cm ,则作用于单位面积上的力为(双足同时落地).F2 s=1.9 108N m-2单位面积上的力超过 1.6 10 8 N m-2 时 , 就会发生骨折 . 容易算出 , 即使落下 1.7 2.0m,直腿下跳也会骨折.