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1、数学归纳法数学归纳法是用于证明与正整数 n 有关的数学命题的正确性的 一种严格的推理方法在数学竞赛中占有很重要的地位（1）第一数学归纳法设 P ( n) 是一个与正整数有关的命题，如果1 n =n （ n N 1数学归纳法的基本形式）时， P ( n ) 成立； 0 01 假设 n =k ( k n , k N ) 成立，由此推得 n =k +1时，P ( n) 也成立，0那么，根据对一切正整数 n n 时， P ( n) 成立0（2）第二数学归纳法设 P ( n) 是一个与正整数有关的命题，如果当 n =n （ n N ）时， P ( n ) 成立；0 0假设 n k ( k n , k N
2、 ) 成立，由此推得 n =k +1时，P ( n ) 也成立，0那么，根据对一切正整数 n n 时， P ( n) 成立02数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法1 当 n =1,2,3, L , l 时， P (1), P (2), P (3), L , P (l ) 成立，2 假设 n =k 时 P ( k ) 成立，由此推得 n =k +l 时，P ( n ) 也成立，那么， 根据对一切正整数 n 1 时， P ( n) 成立（2）反向数学归纳法设 P ( n) 是一个与正整数有关的命题，如果1 / 51 P ( n) 对无限多个正整数 n 成立；1 假设 n =k 时，命题 P (
3、 k ) 成立，则当 n =k -1时命题 P ( k -1) 也成 立，那么根据对一切正整数 n 1 时， P ( n) 成立例如，用数学归纳法证明：为非负实数，有在证明中，由真，不易证出真；然而却很容易证出真，又容易证明不等式对无穷多个 （只要型的自然数）为真；从而证明，不等式成立（ 3 ）螺旋式归纳法P （n）， Q（ n ）为两个与自然数 有关的命题，假如1 P(n0) 成立；2 假设 P(k) (kn0) 成立，能推出 Q(k) 成立，假设 Q(k) 成立，能 推出 P(k+1) 成立；综合（ 1 ）（ 2 ） , 对于一切自然数 n（n0 ）， P(n),Q(n) 都成立； （ 4
4、 ）双重归纳法设是一个含有两上独立自然数的命题与对任意自然数成立；若由和成立，能推出成立；根据（1）、（2）可断定，对一切自然数均成立3应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于 1 的正整数正整数 n 都成 立，但命题本身对 n =0 也成立，而且验证起来比验证 n =1 时容易，2 / 5因此用验证 n =0 成立代替验证 n =1 ，同理，其他起点也可以前移， 只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步，有意 前移起点（2） 起点增多：有些命题在由 n =k 向 n =k +1跨进时，需要经其他 特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需 要适当增
5、多起点（3） 加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨 度，但注意起点也应相应增多（4） 选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设 n =k 时 命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学 归纳法中的某一形式，灵活选择使用（5） 变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助 命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能 满足归纳的需要，才能顺利进行证明5归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确 的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不 完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否
6、，必须进一 步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规 律、解决问题极好的方法从 0 以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对 所有大于等于某个数字 b 的自然数，那么证明的步骤需要做如下 修改：3 / 5第一步，证明当 n=b 时命题成立。 第二步，证明如果 n=m(m b)成立，那么可以推导出 n=m+1 也成立。 用这个方法可以证 明诸如“当 n 3 时， n22n ”这一类命题。只针对偶数或只针对奇数如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对 所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：奇数方面：第一步，证明当 n=1 时命题成立。
7、第二步，证明如果 n=m 成立，那么可以推导出 n=m+2 也成立。偶数方面：第一步，证明当 n=0 或 2 时命题成立。 第二步，证明如果 n=m 成立，那么可以推导出 n=m+2 也成立。递降归纳法数学归纳法并不是只能应用于形如 “对任意的 n ”这样的命题。 对于形如“对任意的 n=0,1,2,.,m ”这样的命题，如果对一般的 n 比较复杂，而 n=m 比较容易验证，并且我们可以实现从 k 到 k - 1 的递推， k= 1,., m 的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的 n=0,1,2,.,m ，原命题均成立。（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数 n 有关的命题 P(n），有如下步骤：（1） 证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立。n0 对于一般数列取值为 0 或 1，但也有特殊情况；（2） 假设当 n=k（kn0，k 为自然数）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立。综合（1）（2），对一切自然数 n（n0），命题 P(n）都成立。4 / 5（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题 P(n），（1） 验证 n=n0 时 P(n）成立；（2） 假设 n0nn0）成立，能推出 Q(k）成立，假设 Q(k）成立， 能推出 P(k+1）成立；综合（1）（2），对一切自然数 n（n0），P(n），Q(n）都成立。5 / 5