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1、p q1 12 22 22 22 2选修 2-1 综合测试题8、我们把由半椭圆x 2 y 2+ =1( x 0) a 2 b 2与半椭圆一、选择题yb22+xc22=1( x 2 b是log a log b 2 2的 ( )a 2 =b 2 +c 2 , a b c 0).如图 ,设点F , F , F 0 1 2是相应椭圆的焦A.必要非充分条件B.充分非必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件点,A 、A 和 B 、B 是“果圆”与 x,y 轴的交点, F F F 是边1 2 1 2 0 1 2长 为2、给出命题:若函数 y = f ( x) 是幂函数,则函数题、逆否命题三个命题中,真
2、命题的个数是 ( )y = f ( x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命1 的等边三角 , 则 a,b 的值分别为 ( )A.72,1B.3,1C.5,3A.0 B.1 C.2 D.3D.5,43、已知函数f ( x ) =sin x +2 xfp p ( ) ,则 f ( ) =3 3( )9、设F1和F2为双曲线xa22y 2- =1b2(a 0, b 0)的两个焦点, 若F ，F1 2,P (0,2 b )是正三角形的三个顶1 1 3A. - B. 0 C. - D.2 2 24、如果命题“p 且 q”是假命题,“非 p” 是真命题,那么 ( )点,则双曲线的离心率为( ) 3A
3、. B. 22C.52D.3A.命题 p 一定是真命题 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 可以是真命题也可以是假命题 D.命题 q 一定是假命题10、设斜率为 2 的直线l过抛物线y 2 =ax ( a 0)的焦点 F,且和y轴交于点 A,若 OAF(O 为坐标原点)5、已知命题p : x 1,2,x2-a 0,命题q : $xR , x 2 +2 ax +2 -a =0,若命题“ ” 是的面积为 4,则抛物线方程为( )真命题,则实数 a 的取值范围是( )A.y2=4 xB.y2=8 xC.y2=4 xD.y2=8 xA.( -,-2 1B.( -,-2 1,2C.1,+)D.-2
4、,111已知长方体 ABCDA B C D 中，ABBC1，AA 2，E 是侧棱 BB 的中点，则直线 AE 与平面 A ED1 1 1 1 1 1 1 1A B6如图 ABCDA B C D 是正方体，B E D F ，则 BE 与 DF 所成角的余弦值是( )1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 115 1A B17 28 3C D17 27如图所示，在四面体 PABC 中，PC平面 ABC，ABBCCAPC，那么二面角 BAPC 的余弦值为( )所成角的大小为( )A60 B90C45 D以上都不正确12、平面 的一个法向量 n(1，1,0)，则 y 轴与平面 所成的角的大小为( )
5、3A B C D6 4 3 4二、填空题13 已知空间三点 A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设 a，b，若向量 kab 与 ka2b 互相垂A22B33直，则 k 的值为_14 已知向量 a(cos ，sin ，1)，b( 3，1,2)，则|2ab|的最大值为_C77D5715 、已知椭圆x y+ =1(a b 0) a b与双曲线x y- =1 ( m 0, n 0) m n有相同的焦点( -c,0)和2 m c是与221212222yM2( c,0),若c是a、m的等比中项,n2 2 2的等差中项,则椭圆的离心率是.16、现有下列命题:1 命题“ $xR , x +x
6、 +1 =0 ”的否定是“ $xR , x +x +1 0 ”;2 若 A =x|x 0,B =x|x -1,则A ( B ) = A ;Rp函数 f ( x ) =sin(wx +j)(w0) 是偶函数的充要条件是 j =k p+ ( k Z )2若非零向量 a , b 满足 a = lb , b = la ( l R ),则 l=1.其中正确命题的序号有_.(把所有真命题的序号都填上);y 2 x 221 、 (12 分) 已知 F 、 F 分别为椭圆 C : + =1(a b 0)a 2 b2C : x =4 y 的焦点,点 M 是 C 与 C 在第二象限的交点,且| MF |= 2 1
7、 2 1(1)求椭圆 C 的方程;1(2)已知点 P (1,3) 和圆 O : x +y =b ,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A, B ,在线段 AB 上取一点的上、下焦点 , 其中 5.3F1F1也是抛物线三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)Q ,满足: AP =-lPB , AQ =lQB ,( l 0 且 l 求证:点 Q 总在某定直线上.1).OF2x17、(12 分)设命题 p:不等式2 x -1 x +a的解集是x -13x 2 a b ,当 a 0 或 b log b ,反之成立.2 22.B 原命
8、题为真,其逆命题为假,否命题为假,逆否命题为真.p p 1 p p 13.C 得 f (x) =cos x +2 f ( ) , f ( ) = +2 f ( ) f ( ) =- .3 3 2 3 3 24.C “非 p” 是真命题,命题 p 是假命题命题 q 可以是真命题也可以是假命题.11B12.B513. 【答案】 或 2214. 【答案】4115. 本题考查椭圆、双曲线的定义和标准方程,双曲线的离心率.由题意得 25. A “ ” 为真,得 得 a -2或 a =1 .6. Ap、q为真, a ( x )min=14 a 2 -4(2 -a ) 0.c2n=a -b=3m=m +n+
9、n , n =, c =am , 2n =2 m +c ,将代入得c 13m ,代入得 c =2 m ,再代入得 a =4 m ,得 e = =a 2.7.C16. 将b = l a 代入 a = l b 得( l2-1)a=0,l2=1 ,有 l=1,错.8.A aOF = b22 =b 2 +c 22-c 2=1 +1 3= , OF =c = 3OF = , b =1 , 2 23 7 7 7= ,得 a = ,即 a = , b =1 . 4 4 2 217.解:由 2 x -1 x +a命题 p: a =2 .得-a +13x 0即对 x R , 4ax 2 -4 x +1 0 恒成
10、立, D=( -4) 2 -4 4 a 1 1 .由“p 或 q”为真命题,得 p、q 中至少有一个真命题.,得a 1.解得a =8.所以抛物线方程为y2=8 x.当 p、q 均为假命题,则 a 2a 1 a a 1,而a a 1 =a a 1 R.10.DSDPTQ1= y QT = 2121 1, QT = , Q ( x - ,0)y y,根据导数的几何意义,实数 a 的值取值范围是 (1,+).18.解: a,b 共线，存在实数 ,使 b= a, ab= a = a ,解得 =2.b=2a=(4,-2,4).2200104 83 302 2=4 , b2222121 12 21 211
11、2222222 22 222(ka+b)(ka-b),(ka+b)(ka-b)=(ka+2a)(ka-2a)=0, 即(k2-4)a2=0，设f ( x ) =x +126x( x 14),则f ( x) =1 -126 x=x 22-126x 2,解得 k=2.19.解:(1)如图,以 O O 所在的直线为 x 轴,以 O O 的中垂线1 2 1 2所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系.设圆 C 的圆心 为 C ( x, y ) ,半径为 r ,由 CO -CO =( r +3) -(r +1) =2 ,1 2yC当 x 14 时, f ( x ) 0 , f ( x ) 为增函数, f
12、 ( x ) = f (14) =35.5 a .max由 35a 35.5a 知,采用(1)方案更好些.答:采用(1)方案更好些.21.解:(1)由 C : x =4 y 知 F (0,1) ,设 M ( x , y )( x 0 ,知 x 1 . 1 2由可解得a2 2=3,椭圆C1的方程为y 2 x2+ =14 3.y 2圆 C 的圆心的轨迹方程是 x - =1 ( x 1 ).3(2)令 C ( x, y) ,由圆 C 与圆 O 、 O 相切得 | CO |=4 , | CO |=2 ,1 2 1 2(x +2) +y =16 3 15 3 15故 ,解得 C ( , ) ,圆 C 的
13、方程为 ( x - ) +( y ) ( x -2) 2 +y 2 =4 2 2 2 2a a20.解:(1)方案:修旧墙费用为 x 元,拆旧墙造新墙费用为(4x) ,4 22 126其余新墙费用: (2 x + -14) ax2=1.(2)设 A( x , y ), B ( x , y ) , Q ( x , y ) ,1 1 2 2x -lx =1 -l由 AP =-lPB 可得: (1-x ,3 -y ) =-l(x -1, y -3) ,即 y -ly =3(1-l) 1 2x +lx =(1+l)x由 AQ =lQB 可得: ( x -x , y -y ) =l( x -x , y
14、-y ) ,即 y +ly =(1+l)y 1 2 得: x -l2x =(1 -l2) x 得: y -l2y =3 y (1 -l2) 1 2 1 2两式相加得 ( x 2 +y 2 ) -l2( x 2 +y 2 ) =(1 -l2)( x +3 y )1 1 2 2又点 A, B 在圆 x +y =3 上,且 l 1,所以 x +y =3 , x +y =31 1 2 2即 x +3 y =3 ,点 Q 总在定直线 x +3 y =3 上.22.解: 如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x总费用x 36 y =7 a ( +4 x-1)(0x14)轴的正
15、半轴建立空间直角坐标系D -xyz.y =7 a(x 6- )2 x2+35a35a,当 x12 时,y 35a.min()依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，a 7 a(2)方案,利用旧墙费用为 14 2 2126 21总费用为: y =2 a ( x + ) - ax 2(元),建新墙费用为 (x14)252(2 x + -16) ax(元)则即DQ =(1,1,0) ， DC =(0,0,1) ， PQ =(1, -1,0) ，所以 PQ DQ =0 ， PQ DC =0 ，PQ DQ ， PQ DC .且 DQ DC =D 故 PQ 平面 DCQ .又 PQ 平面 PQC ，所以平面PQC 平面 DCQ . 6 分（II）依题意有B (1,0,1)，CB=(1,0,0)，BP=( -1,2, -1).设n =( x, y , z )是平面PBCnCB =0, 的法向量，则 nBP =0,即 x =0,-x +2 y -z =0.因此可取n =(0, -1,-2).设m是平面PBQ的法向量，则m BP =0, mPQ =0.可取m =(1,1,1),所以cos m, n =-155.且由图形可知二面角Q -BP -C为钝角故二面角Q -BP -C的余弦值为-155.