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1、实数及其运算培优知识导引 1、实数的有关概念实数 正整数 整数 0 有理数 负整数 正分数分数 负分数 正无理数无理数负无理数整数和分数统称为有理数，；无限不循环的小数叫无理数；有理数和无理数统称为实数 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；绝对值： 在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离2、实数的运算实数的运算法则同有理数一样；运算顺序：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，右括 号的先算括号里的数；运算律：加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、分配律 3、整数部分、小数部分在日常生活与生产实际中，有时并不要求某个量或某个结果的准确值，而
2、只需要取出它的 整数部分，由此定义了一种叫做“取整”的运算，即取出不超过实数 x 的最大整数，记为 x 在数轴上就是取出实数 x 对应点左边最近的整数点（包括 x 本身）这里xxa， x ax，其中x是一个整数，a 是 0 或者一个正的纯小数a 称为实数的小数部分， 记为x，通常有 xx x关于取整运算常用的一些性质：（1） x1xx，xxx1；（2） 如果 xy，那么xy；（3） x y xy，xxxy4、课题学习对实数部分课题学习的考查，主要以规律探索、阅读理解、定义新运算等形式呈现 典例精析例 1：在数 0.456，-p，3.14，-7，0，0.1010010001（每两个 1 之间依次
3、增加一个740），1，113例 2：计算：（1）中，无理数有8 -(2008 -p1 ) 0 +( )2-1个（2）15 +2-( 3 -2) 0 + 20- 1 -例 3：现规定一种新的运算“*”，a *b =ab ，如 3 *2 =3 2=9，则12*3 例 31：规定运算：( a *b) = a -b，其中 a、b 为实数，则( 7 *3) +7 例 32：定义运算“”为 abab（ab）（1）求 57 和 75；（2）求 12（34） 和（123）4；（3）这个运算“”有交换律和结合律吗？例 4：若实数 x、y 满足x +2 +( y - 3)2=0 ，则 ( -x )2+y2的值是
4、例 41：若 x、y 为实数，且2 x -1 + 1 -2 x +y =4，则 xy 的值为（ ）A、0 B、12C、2 D、不能确定例 5：若13 - 7的整数部分是 a，小数部分是 b，求a2+(1 +7 ) ab的值探究活动例：数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a 2 +b +1例如把（3，2）放入其中，就会得到3 2 +( -2) +1 =8现将实数对（2，3）放入其中得到实数 m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到的实数是 - 2 -学力训练A 组务实基础1、化简1 -1 - 3的结果是（ ）A、- 3B、2 - 3C、3D、2 +32、
5、下列说法中，正确的个数有（ ）一个实数的平方根有两个，它们互为相反数；一个实数的立方根不是正数就是负数； 负数没有立方根；立方根是这个数本身的数共有三个；平方根等于其本身的数是 0 和 1A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个3、若a和-a都有意义，则 a 的值是（ ）A、a0 B、a0 C、a0 D、a04、数轴上两点 A，B 分别表示实数2 3和2 3 +6，则这两个点的距离是（ ）A、4 3 +6B、4 3C、6 D、4 3 -65、（1）把下列各数填入相应的集合中0.456，-3p2，( -p)0，3.14，0.80108，0，0.1010010001（每两个 1 之间依次增加
6、一个 0），4，1（2） 任意写出 3 个无理数： （3） 下面给出四种说法：无限小数都是无理数；有限小数都是有理数；无理数是无 限小数；有理数是有限小数其中正确的说法是： （写出序号）6、（1）-2的相反数是 ，绝对值是 ；（2）比较大小：3.14p，-2-32，- 2 - 30；（3）如果整数 a 满足5 a 10，则 a （4）如果x -4 +( y +6) 2 =0你那么 xy （5）比较大小：5 74 11（填“”或“”）；(1 - 2)2 7、已知x -1 + 1 -x = y +6，则 xy 的值为 - 3 -8、设 a 是实数，则a -a09、设 a 为3 + 5 - 3 -
7、5的小数部分， b 为6 +3 3 - 6 -3 3的小数部分，求2 1-b a的值10、问题：判断下面各式是否成立（1）22 2 3 3 4 4 =2 ；（2） 3 =3 ；（3） 4 =43 3 8 8 15 15探究 1：你判断上面各式后，根据发现的规律猜想5524=探究 2：归纳上面各式，得出一个猜想，求一个带分数的算术平方根就等于把这个带分数的 整数部分直接移到根号外，这个猜想正确吗？为什么？探究 3：什么情况下根号里面的数能直接放到根号外面来呢？根据观察上面各式的结构特 点，归纳出一个猜想，用含有 n 的式子将规律表示出来，说明 n 的取值范围，并用数学知 识说明你所写式子的正确性
8、探究 4： 322 2 3 3 4 4=2 3 ， 3 3 =23 ， 3 4 =4 3 7 7 26 26 63 63，根据观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并验证你的猜想B 组瞄准中考1、（厦门中考）下列四个结论中，正确的是（ ）- 4 -23nA、3 5 5 5 5 3 3 5 5 5 B、 C、 2 D、1 2 2 2 4 2 2 2 2 2 42、（广安中考）下列运算正确的是（ ）A、（x1）x1 B、9 - 5 =4C、3 -2 =2 - 3D、( a -b )2=a2-b23、（贵阳中考）如图，矩形 OABC 的边 OA 长为 2，边 AB 长 为 1，OA 在数轴上，以原
9、点 O 为圆心，对角线 OB 的长为半 径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）A、2.5 B、2 2C、3D、54、（杭州中考）设a =3 - 2，b =2 - 3，c = 5 -2，则 a、b、c 的大小关系是（ ）A、abc B、acb C、cba D、bca5、（无锡中考）在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当 ab 时，ab b 2 ；当 ab 时，aba当 x2 时，（1x）x（3x）的值为 （“”和“”仍为实数运算中的乘号 和减号）6 、（ 成 都 中 考 ） 设S =1 +11 1+12 2 2，1 1 S =1 + +2 2 3 2，1 1 S =1
10、 + +32 4 2， ，1 1 S =1 + +n 2 ( n +1)2设S = S + S + S 1 2n，则 S （用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）7、（1）（綦江中考）计算：-2 -(2 -p)01+( )2-1+( -2)3（2）（邵阳中考）计算：1( )3-1-5 15+388、（重庆中考）计算：1-2 +( ) -1 (p - 2) 0 - 9 +( -1) 2 39、（上海中考）计算：327 +( 3 -1)21-( )2-1+43 +1- 5 -10、（青岛中考）化简： 18 -9 3 + 6- +( 3 -2) 0 + (1 - 2) 2 32C 组冲击金牌1
11、、设 ab0，a2 +b 2=4ab，则a +ba -b的值为（ ）A、3B、6C、2 D、32、设x表示最接近 x 的整数（xn0.5，n 为整数），则 1 2 + 2 3 + 3 4 + + 100 101的值为（ ）A、5151 B、5150 C、5050 D、50493、一棵智利南美杉的树干直径是 40cm，此树干的皮占体积的 19%，可防火，请粗略估算此 树皮的平均厚度（ ）A、0.4cm B、1.2cm C、2cm D、2.8cm4、我们定义a bc d=ad -bc，例如2 34 5=2 5 -3 4 =10 -12 =-2，若 x、y 均为整数，且满足1 1 xy 43，则 x
12、y 的值是 第五讲实数及其运算参考答案典例精析1、3 2、（1）3；（2）3 5 - 33、1831、3 32、（1）2；（2）43；（3）有交换律，没有结合律 4、5 5、10 探究活动解：66- 6 -学力训练A 组1、B 2、A 3、C 4、C 5、（1）有理数集：0.456，( -p)0，3.14，0.80108，0， 4 ，1；无理数集：-3p2，0.1010010001（每两个 1 之间依次增加一个 0）（2）p，7，3（不唯一）；（3） 6、（1）2 2；（2） （3）3；（4）2；（5）2 -17、6 8、 9、6 -2 +110、略B 组1、D 2、C 3、D 4、A 5、2 6、32 -1（2）4 8、3 9、3 10、2n2 +2 nn +17、（1）5；C 组1、A 2、C 3、C 4、3- 7 -