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1、【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】勾股定理的逆定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及 它们之间的关系2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.【要点梳理】【 勾股定理逆定理 知识要点】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a，b，c，满足a 2 +b 2 =c 2，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定
2、理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如 c ）.（2） 验证c2 与 a 2 +b 2 是否具有相等关系.若 c 2 =a 2 +b 2， ABC 是C90的直角三角形；若c2 a 2 +b 2，则ABC 不是直角三角形.要点诠释： 当a2 +b 2 c 2时，此三角形为锐角三角形，其中 c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题， 则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也
3、不一定错误；正 确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程x2 +y 2 =z 2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果a、b、c 是勾股数，当 t 为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）n2 -1，2 n，n 2+1 （ n 1, n是自然数）是直角三角形的三条边长；（2 ）2 n2 +2 n, 2 n +1, 2 n 2+2
4、 n +1（n是自然数）是直角三角形的三条边长；1（3）m2 -n 2 , m 2 +n 2, 2mn （ m n, m、n是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、原命题与逆命题1、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 原命题：猫有四只脚2 原命题：对顶角相等.3 原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等【答案与解析】1.2.3.4.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）逆命题：相等的角是对顶角（不正确）逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（正确） 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上
5、（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确， 其逆命题也不一定错误.举一反三：【变式】下列命题中，其逆命题成立的是_（只填写序号）1 同旁内角互补，两直线平行；2 如果两个角是直角，那么它们相等；3 如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果三角形的三边长a，b，c 满足 a 2 +b 2 =c 2，那么这个三角形是直角三角形【答案】提示：的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；的逆命题“如果两个角相等， 那么它们是直角”很明显是错误的；的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实 数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；的逆命
6、题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a，b，c满足 a 2 +b 2 =c 2”也是正确的.类型二、勾股定理的逆定理2、判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形（1）a7，b24，c25；（2） a 4 3 ， b 1， c ；3 4（3）a =m2-n2，b =m2+n2，c =2mn ( m n 0)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的22 2 2 2 2两条线段的平方和是否等于最长线段的平方若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三 角形【答案与解析】解：（1）aa2 +b 2 =7 2 +24 2 =625 ， c 2 =2
7、52 2 +b 2 =c 2=625， 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形（2）a b c ， b2+c2=12+3 9 25 4 16 =1 + = ， a2 = =4 16 16 3 9，b2 +c 2 a 2 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形（3）mm n 0，2 +n 2 2 mn ， m 2 +n 2 m 2 -n 2a 2 +c 2 =( m 2 -n 2 ) 2 +(2 mn ) 2 =m 4 -2 m 2 n 2 +n 4 +4 m 2 n 2 =m 4 +2 m 2 n 2 +n 4，b2=( m2+n2)2=m4+2 m2n2+n4，a 2 +c 2 =b
8、2 由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进 行判断，即首先确定最大边，然后验证c 2 与 a 2 +b 2 是否具有相等关系，再根据结果判断是 否为直角三角形举一反三：【变式 1】判断以线段a，b，c为边的ABC 是不是直角三角形，其中a =7，b = 3，c =2【答案】解：由于a c b ，因此 a 为最大边，只需看 a 2 是否等于 b 2 +c 2 即可a 2 =( 7) 2 =7，b 2 =( 3) 2 =3，c 2 =2 2 =4，a 2 =b 2 +c 2， 以线段a，b，c为边能构成以 a 为斜边
9、的直角三角形【变式 2】（2014 春永州校级期中）下列四组数：5，12，13；7，24，25；1，2，4； 5，6，8其中可以为直角三角形三边长的有 （把所有你认为正确的序号都写 上）【答案】；解：5 +12 =13 ，能构成直角三角形；32 2 22 2 22 2 22 222 7 +24 =25 ，能构成直角三角形；3 1 +2 4 ，不能构成直角三角形；4 5 +6 8 ，不能构成直角三角形所以故答案为：3、（2015 春大石桥市校级期末）已知：如图，四边形ABCD 中，ABBC，AB=1，BC=2， CD=2，AD=3，求四边形 ABCD 的面积【思路点拨】先根据勾股定理求出 AC
10、的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD 的形 状，再利用三角形的面积公式求解即可【答案与解析】解：连接 ACABC=90，AB=1，BC=2，AC=，在ACD 中，AC +CD =5+4=9=AD ， ACD 是直角三角形，S = ABBC+ ACCD， 四边形 ABCD= 12+ 2，=1+ 故四边形 ABCD 的面积为 1+ 【总结升华】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判 断出ACD 的形状是解答此题的关键举一反三：【变式】如图所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，A90，AB2，BC3，CD1，E 是 AD 中点，试判断 EC 与 EB 的位置关系，
11、并写出推理过程4【答案】解：ECEB过点 C 作 CFAB 于 F，则四边形 AFCD 是矩形， 在 RtBCF 中，可得 CF 2 2 则 ADCF 2 2 ，故 DEAE在 ABE 和 DCE 中，12AD 2 EB2=AE2+AB2=6 ， EC2=DE2+CD2=3EB2 +EC 2=9 BC3，EB 2 +EC 2 =BC 2 CEB90， EBEC类型三、勾股定理逆定理的实际应用4、“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行“远航”号每小 时航行 16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里， 如果知道“远航”号沿东北方向
12、航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【思路点拨】我们可以根据题意画出如图所示的图形，可以看到，由于“远航”号的航向已 知，如果求出两艘轮船所成的角，就能知道“海天”号的航向了【答案与解析】解：根据题意可画出上图，PQ161.524，PR121.518，QR30， 在PQR 中，PQ2+PR2=242+182=576 +324 =900，PQ2 +PR 2 =QR 25 PQR 是直角三角形且RPQ90又 “远航”号沿东北方向航行，可知QPN45， RPN45由此可知“海天”号沿西北方向航行也可沿东南方向航行【总结升华】根据勾股定理的逆定理，可判断一个角是不是 90，这里需注意与东北方向 成 90角的有两个方向，即西北方向或东南方向6