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1、,数学思想方法例谈,一、什么是数学思想方法？,数学思想是数学中的理性认识，是数学知识的本质，是数学中的高度抽象、概括的内容，它蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。,毛泽东在人的正确思想从哪里来一文中说：“感性认识的材料积累多了，就会产生一个飞跃，变成了理性认识，这就是思想。” 可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、高级抽象的概括的认识。,在现代汉语中，“思想”解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。辞海中称“思想”为理性认识。中国大百科全书认为“思想”是相对于感性认识的理性认识成果。苏联大百科全书中指出：“思想是解释客观现象的原则。”,什么是方法？,“方法
2、”一词，起源于希腊语，字面意思是沿着道路运动。,我国辞源中解释“方法”为“办法、方术或法术”。,从科学研究的角度来说，方法是人们用以研究问题，解决问题的手段、工具。这种手段、工具与人们的知识经验、理论水平密切相关，是指导人们行动的原则。,中国古代兵书三十六计开篇就写道：“六六三十六，数中有术，术中有数。”说明古代人早已意识到数学与策略、方法之间的密切关系。,数学方法就是提出、分析、处理和解决数学问题的概括性策略。,数学思想既有认识论方面的内容，如，数学的理论和知识，又有方法论方面的内容，如，处理各种问题的意识和策略。 数学方法主要是方法论方面的内容，如，处理各种问题的手段和途径。 数学思想的理
3、论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。,数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。,人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。,综上所述，所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。我们把二者合称为数学思想方法。,二、为什么要在教学中渗透数学思想方法？,1“课标”里要求。,教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在
4、自主探究和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验。,在“课标”（修订稿）的总体目标里，明确规定：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应申汇生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本的活动经验。,多年来，我们一直在改进课堂教学的技能技巧方面绕来绕去了，现在，提出向学生渗透一些基本的数学思想方法，这是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。我们一定的把握数学学科的本质创出一条改革的新路子。,2国内外早已十分重视。,美国将“学会数学思想方法”作为“有数学素养”的标志。 俄罗斯把使学生形成数学思想方法列为数学教育的三
5、大基本功任务之一。,3大师们有话。,日本著名数学家米山国藏在数学的精神、思想和方法一书中指出：“学生在初、高中所接受的数学知识，通常是走出校门后不到一、两年就忘掉了。然而不管他后来从事什么工作，唯有深深铭记在心的，就是数学精神、数学的思维方法、研究方法等。这些随时随地在发挥作用，使他终身受益。”,著名数学家李大潜院士说：“如果仅仅把数学作为知识来学习，而忽略了数学思想对学生的熏陶，就失去了数学课程最本质的特点和要求，就失去了开设这门课程的意义。”,4我们的现状不容乐观。,在数学教学中数学思想方法的教学不受重视。相当一部分教师根本没有把数学思想方法纳入教学目标。,在教学中存在重知识结论的教学，轻
6、知识发生过程的教学；重知识达标评价，轻数学思想形成的评价；重学生眼前的分数利益，轻学生的长远素质发展等的现象，并还没有从根本上改变。,从七年来的课程改革的实践来看，如果仅仅在上课的技巧方面变来变去，而不去接触数学学科的本质，数学课堂教学就不会有质的变化。,(一)数形结合思想,数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的，又是统一的。,数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”,1. 怎样理解“数形结合思想”？,三、在小学数学中，几种常见的数学思 想方法,(二)转化思想,（1）数的转化。,把未知问题抓转化为已知问题，把复杂问题
7、转化为简单问题，把非常规问题转化为常规问题，从而使问题得到解决的数学思想。 有人把转化与化归放在一起，它们确有许多共同之处。,1. 怎样理解“转化思想”？,2转化思想的具体体现。, 整数、分数、小数、百分数之间的转化, 分数中的转化（通分、约分、假分数化带分数）, 数的分与合,以及数的改写,（2）式的转化。, 2525,（48）25425825,（3）量的转化。, 0.3米30厘米, 下午2时可以写成14时,（4）形的转化。,（5）数量关系的转化。,甲数的2/3等于乙数的1/2，乙数是甲数的几分之几？,（三）对应思想。,1怎样理解对应思想？,“对应”指的是一个系统中的某一项在性质、作用、位置上
8、跟另一系统中的某一项相当。例如，,对应即联系。,（四）符号化思想。,1怎样理解符号化思想？,符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”,数学离不开符号，数学处处要用到符号。,怀特海曾说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。”数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。,2符号化思想的具体体现。, 个体符号：表示数的符号。如 0，1、2、3、4, a、b、c,、x以及表示小数、分数、百分数的符号等等。, 数的运算符号：+、（）。, 关系符号：=、,、等。, 结合符号：（ ）、 等 以及表示角度的计量
9、单位符号和表示竖式运算的分隔符号等。,（1）引入了一些数学符号。,（2）用符号表示数。,在等式中用或( )代表变元符号x，让学生填数。 如,用下面的数字卡片, 你能摆出几种算式? 在 +=内填上适当的数,（五）极限思想。,1怎样理解极限思想？,极限极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。,极限的引入，解决了用常量数学无法解决的问题，用无限变化的过程，使一个变量逼近一个常量，使变量转化为常量，从而解决了问题。,庄子天下篇中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”充满了极限思想。,刘徽总结出：“割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣。”正是用这种极限的思想，刘徽求出
10、了，即“徽率”。,（1）在数概念教学中的极限思想。,如，自然数：、 奇数：、， 偶数：、， 一个非自然数的倍数 几个数的公倍数 循环小数,2极限思想的具体体现。,（2）在空间与图形中的极限思想。,如，直线，射线，角的两边，平行线。 圆的面积公式的探索过程。 圆柱的体积公式探索过程。,（六）分类思想,1怎样理解分类思想？,当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类的思想方法。,分类时要求满足互斥、无遗漏、最简便的原则。,分类是手段而不是目的。,（2）在解决实际问题
11、中。,如，一根小棒的1/2与1/2米哪个更长？,又如，把1张一角的人民币换成零钱，现有足够的1、2、5分币。 有多少种换零钱的方法？,含5分币,不含5分币,含一个5分币,含两个5分币,含2分币,不含2分币,含2分币,不含2分币,含一个2分币,含两个2分币,含一个2分币,含两个2分币,含三个2分币,含四个2分币,含五个2分币,四、怎样在教学中适时、适度地渗 透数学思想方法？,不能把数学思想方法当作数学知识来讲解，只能渗透，这是一个滴水石穿的过程。 数学思想方法在实际中应用不可能是孤立的、单打一式的，不可能“一法”打天下。,（一）在钻研教材时挖掘。,教师要认真分析和研究教材，理清教材的体系和脉络，
12、统揽教材全局，高屋建瓴，建立各类概念、知识点之间的联系，归纳和揭示其蕴含在数学知识中的数学思想方法。,数学教材体系有两条基本线索：一条是数学知识，这是明线，另一条是数学思想方法，这是蕴含在教材中的暗线。小学数学教材中，无论是概念的引入、应用，还是问题的设计、解答，或是知识的复习、整理，随处可见数学思想方法的渗透和应用。,2.整合一个单元的教学内容，发挥单元教学的整体功能。,平行四边形、三角形和梯形的面积,学生要经历的学习过程，可以归纳为：,转化思想,对应思想,（二）在教学目标中体现。,教学内容：小数的大小比较（人教版）四年级（下）,教学目标：,理解并掌握比较两个小数大小的方法，会正确比较小数的大小。 在填数、猜数等活动过程中，思维的有序性和抽象概括能力得到提高。 体会比较的相对性的辩证思想，培养学生的应用意识。,（三）在教学过程中应用。,在教学三角形三条边的关系时，让学生通过观察、猜测、验证，从而归纳出“三角形任意两边之和大于第三边”的结论。这样的教学活动让学生经历了“观察操作猜想验证”过程，渗透了归纳的数学思想，为学生的后继学习奠定了坚实的基础。,（四）在反馈练习中提炼。,（五）在解决问题中体验。,（六）在学习反思中领悟。,（七）在归纳总结时提升。,