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1、有关天体运动题型的归纳与研究一、 基本问题例题：某人造卫星距地面 h，地球半径为 R，质量为 M，地面重力加速度为 g， 引力常量为 G。（1） 分别用 h,R,M,G 表示卫星周期 T，线速度 v，角速度 w（2） 分别用 h,R,g 表示卫星周期 T，线速度 v，角速度 w解：（1）根据向心力来自万有引力得：GMm v 2 2p=m =mw 2 (R +h) =m( ) 2 (R +h) (R+h) 2 R+h T得 v =GMR +h， w =GM(R +h)3， T =4p2(R +h)GM3（2） 卫星在地球表面上受的万有引力近似等于mg ，由 mg =GMmR 2得到GM =R 2
2、 g 代入得：GM R 2 gv = =R +h R+h， w =GM R 2 g=(R +h) 3 (R+h)34p2(R +h) 3 2p (R+h) T = = =GM R g3二、 密度问题例题：宇宙中某星体每隔 4.410-4s 就向地球发出一次电磁波脉冲。有人曾经乐 观地认为，这是外星人向我们地球人发出的联络信号，而天文学家否定了这种观 点，认为该星体上有一个能连续发出电磁波的发射源，由于星体围绕自转轴高速 旋转，才使得地球上接收到的电磁波是不连续的。试估算该星体的最小密度（结 果保留两位有效数字）解：接受电磁波脉冲的间隔时间即是该星体自转的最大周期，星体表面物体不脱Mm 2p离星
3、体时满足： G =mR( )R 2 T24 3p 而 M= pR 3 r 求得 r=3 GT2代入已知数据得： r=7.3 1017 kg / m3三、 双星问题例题：现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都 是 M，两者相距 L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。万有引力常量为 G。 求：（1）试计算该双星系统的运动周期 T。3222212r1 22121（2）若实验上观测到运动周期为 T，且 T ： T =1： N ( N 1) ，为了解释 两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的物质暗物质，作为一种简化的模型，我们假定在以这两个
4、星体连线为直 径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模 型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。解：（1）由万有引力提供向心力有：GM 2 L 4p2 = M L2 2 T 2 T =pL2 LGM4 L （2）设暗物的密度为 ，质量为 m，则 m =r p =pr3 2 L36GM 2 GMm L 4p2由万有引力提供向心力有： + = M L L 2 T 2 M T 1由 得： = = M +4 m T N又 m =prL3 代入上式解得： r=3( N -1) M / 2pL3 6四、 神州问题例题：随着我国 “神舟五号 ”宇宙飞船的发射和回收成功。标
5、 志着我国的航天技术已达到世界先进水平。如图所示，质量为 m 的飞船绕地球在圆轨道上运行时，半径为 r ，要进入 半径为 r 的更高的圆轨道，必须先加速进入一个椭圆轨道 ，然后再进入圆轨道。已知飞船在圆轨道上运动速度AB大小为 ，在 A 点通过发动机向后以速度大小为 u（对地） 喷出一定质量气体，使飞船速度增加到 v 进入椭圆轨道。 （已知量为：m、r 、r 、vu）求：1 飞船在轨道 I 上的速度和加速度大小。2 发动机喷出气体的质量m。2解：（1）在轨道I 上，有GMm v=mr r1解得：v =1GMr1同理在轨道 II 上 v =GMr2由此得： v =v 1r2r11221 2112
6、2在轨道 I 上向心加速度为 a ,则有GMmr1=ma1v 2同理在轨道 II 上向心加速度 a= ,则有r2Mm v 2G =mr r2 2由此得 a = 1r2r12v2(2)设喷出气体的质量为 Dm ,由动量守恒得mv =( m -Dm) v 1-Dmu得: Dm =r v -v 2r1v +um五、 自转问题例题：假设某星体是一个半径为 R 的均匀球体，已知星体的自转周期为 T，在两 极地表面自由落体加速度为 g。求：（1）用弹簧秤在星球表面“两极”与“赤道” 不同地点测同一物体的“重量”之比。（2）设想星体自转角速度加快到某一值时， 在赤道上的物体会恰好自动飘起来，则此时角速度为多
7、少？解：设质量为 m 的物体在星体表面受万有引力为 F，两极和赤道重量分别为 F ,F （1）在两极：F=mg F =F F =mg4p2 4p2在赤道： F -F =m R F =mg -m RT 2 T 2 F :F =g:(g-1 24p2T 2R)（2） GMmR 2=mw 2 R =mg 得 w =g R六、 追赶问题例题：科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小 行星，经过观测该小行星每隔时间 t 与地球相遇一次，已 知地球绕太阳公转半径是 R，周期是 T，设地球和小行星 都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。解： 设小行星绕太阳周期为 T/ ，T/T,地球和小行星每隔 时间
8、t 相遇一次，则有t t- =1T T /，T/=tTt -T设小行星绕太阳轨道半径为 R/,万有引力提供向心力有00111 00111 0 111 010000Mm / 4p2/RG =m /R / 2 T / 2同理对于地球绕太阳运动也有GMm 4p2=mR 2 T 2R由上面两式有R / 3 T / 2 =R 3 T 2R / =(tt -T) 2/3 R所以当地球和小行星最近时d =R / -R =(tt -T) 2/3 R -R七、 科技信息类问题例题：2004 年，我国现代版的“嫦娥奔月”正式开演，力争 2006 年 12 月正式发 射。媒体曾报道从卫星图片和美、苏（原苏联）两国勘
9、测结果证明，在月球的永 暗面存在着大量常年以固态形式蕴藏的水冰。但根据天文观测，月球半径为 R=1738km，月球表面的重力加速度约为地球 表面的重力加速度的 1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达 127，此时水蒸 气分子的平均速度达到 v =2000m/s。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表 面的重力加速度 g=9.8m/s2）（要求至少两种方法）解法 1：假定月球表面有水，则这些水在 127时达到的平均速度 v =2000m/s 必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月 球表面无水。取质量为 m 的某水分子，因为 GMm/R2=mv 2/R2 ，mg =
10、GMm/R2，月g =g/6，所以代入数据解得 v =1700m/s，v v ，即这些水分子会象卫星一样绕 月月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水。解法 2：设 v =2000m/s 为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半 径 R ， 如果 R R ，则月球表面无水。取质量为 m 的某水分子，因为 GMm/R 2=mv 2/R 2，mg =GMm/R 2，g =g/6，所以 R =v 2/g =2.449106m，R月 月 月R，即以 2000m/s 的速度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。 解法 3：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸 气 分
11、子 在 月 球 表 面 所 受 到 的 向 心 力 ， 即 应 满 足 ： mg GMm/R2 ， 当月v=v =2000m/s 时， g v 2/R=2.30m/s2 ，而现在月球表面的重力加速度仅为月g/6=1.63m/s2，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供 2000m/s 所对应的 向心力，也即月球表面无水。解法 4：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子 在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg GMm/R2，即应有 g Rv2 而月 月实际上：g R=2.84106m2/s2，v 2=4106m2/s2，所以 v 2g R 即以 2000m/s 的速 月
12、月度运行的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面无水。八、 超重与失重问题例题：某物体在地面上的重力为 160N，现将它放置在卫星中，在卫星以加速度 a=0.5g 随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为 90N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径 R=6400km, 重力加速度 g 取10m/s2）NN1xA22解：因为卫星在加速上升的过程中，卫星内的物体与卫星的相互挤压力小于其地 面上重力，故应该考虑由于高度的变化而引起的重力加速度的变化。设此时火箭离地球表面的高度为 h，火箭受到物体的压力为 F ，物体受到的 重力为 mg，由牛顿第二定律得：F - mg =m
13、a在 h 高处： GMm(R+h)2=mg 在地球表面处： GMmR 2=mg得： h=R(mgF -maN-1) =1.92 104km九、 卫星的发射与回收例题：发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为 h 的圆形近 地轨道上，在卫星经过 A 点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道， 椭圆轨道的近地点为 A，远地点为 B。在卫星沿椭圆轨道（远地点 B 在同步轨道上），如图 14 所示。两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为 T，地球的半径为 R，地球表面重力加速度为 g，求：（1）卫星在近地圆形轨道运行接近 A 点时的加速度大小；
14、（2）卫星同步轨道距地面的高度。解：（1）设地球质量为 M，卫星质量为 m，万有引力常量为 G、卫星在近地Mm圆轨道运动接近 A 点时的加速度为 a ，根据牛顿第二定律 G =ma( R +h ) 21A物体在地球表面上受到的万有引力等于重力 G R 2解得 a = g( R +h ) 21MmR 2=mgMm 4p 2（2）设同步轨道距地面高度 h ，根据牛顿第二定律有 G =m ( R +h )( R +h ) 2 T 21由上式解得： h =23gR 2T4p 22-R020向 向十、 综合问题例题：宇宙员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光 滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为 m 的
15、小球（可视为质点） 如图所示，当施加给小球一瞬间水平冲量 I 时，刚好能使小 球在竖直面内做完整圆周运动 . 已知圆弧轨道半径为 r ，月球 的半径为 R，万有引力常量为 G.若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度 为多大？轨道半径为 2R 的环月卫星周期为多大？解： 设月球表面重力加速度为 g，月球质量为 M. 在圆孤最低点对小球有：I=mv 球刚好完成圆周运动，小球在最高点有 mg =mv 2r从最低点至最高低点有： mg (2 r ) =I 2由可得 g =5m 2 r1 1mv - mv2 22在月球发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度 vmin=GM I = gR = 5R
16、rR 5mr当环月卫星轨道半径为 2R 时，有GMm 2p=m( ) (2 R ) 2 T22R T =2p(2 R)GM3（2 分）将黄金代换式 GM=gR2 代入式得T =2p(2 R) 3 4pm= 10 RrgR 2 I归纳与总结：基本思路：1、万有引力提供向心力设圆周中心的天体（中心天体）的质量为 M，半径为 R；作圆周运动的天体（卫星）的质量为 m，轨道半径为 r，线速度为 v，角速度为 w,周期为 T，引力常量为 G。则应有：GMm v 2 2p Mm GM =m =mw 2 r=m( ) 2 =mg G =ma ,a =r 2 r T r 2 r 2（g 表示轨道处的重力加速度
17、）2、在中心天体表面或附近，万有引力近似等于重力000向 向GMmR 2=mg0(g 表示天体表面的重力加速度)注意：在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度 g 时，常运用 GM=g R2 作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来。由于这种代换的作 用巨大，此时通常称为黄金代换式。天体的运动规律：Mm v 2 GM1、由 G =m 可得： v = r 越大，v 越小r 2 r r2、由 GMmr 2GM=mw 2 r 可得： w = ，r 越大，w 越小r 33、由 GMm 2p=m( ) 2 r 可得： T =2p r 2 Tr 3GM，r 越大，T 越大4、由 GMm GM =ma 可得： a =r 2 r 2，r 越大，a 越小