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1、第16练计数原理小题提速练明晰考情1.命题角度：考查两个计数原理的简单应用；二项式定理主要考查特定项和系数.2.题目难度：中低档难度.考点一两个计数原理要点重组(1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的.(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分，步与步之间是相关联的.1.在100，101，102，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是()A.120 B.204 C.168 D.216答案B解析由题意知本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个
2、，则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数，共有2C168(个)，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C36(个)，根据分类加法计数原理知共有16836204(个)，故选B.2.如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A，B，C，D，E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有()A.30种 B.27种C.24种 D.21种答案A解析由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况.如果A的两个相邻点颜色相同，有2种情况；这时最后两个点也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，有2种情况；这时最后两个点有3种情
3、况.所以共有3(2223)30(种)方法.3.三条边长都是整数，且最大边长为11的三角形的个数为_.答案36解析设两条较短边长为x，y，不妨设1xy11，且xy12.对y进行分类：当y11时，x可以取1到11的11个正整数；当y10时，x可以取2到10的9个正整数；当y9时，x可以取3到9的7个正整数；当y6时，x可以取6这1个正整数；y5时不可能.所以三角形的个数为119753136.4.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为_.(用数字作答)答案8解析甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分组方式有三类：甲单
4、独一组，有1种分法；甲和丙或甲和丁两名学生一组，有2种分法；甲、丙、丁三名学生一组，有1种分法.然后把这两组分到两个不同的班级里，则不同的分法种数为(121)A8.考点二排列组合的应用方法技巧(1)解排列组合问题的三大原则：先特殊后一般，先取后排，先分类后分步.(2)排列组合问题的常用解法特殊元素(特殊位置)优先安排法；相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；定序问题缩倍法.5.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有()A.90种 B.180种C.270种 D.540种答案D解析不同的分配方法共有CCCC540(种)，故选D.6.张、王两家
5、夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为()A.12 B.24 C.36 D.48答案B解析将两位爸爸排在两端，有2种排法；将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上，有2A种排法，故总的排法有22A24(种).7.(2018张掖三诊)红海行动是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有
6、()A.240种 B.188种C.156种 D.120种答案D解析当E，F排在前三位时有(AA)A24(种)方法；当E，F排在后三位时，有(ACA)A72(种)方法；当E，F排3，4位时有(CA)AA24(种)方法，共有247224120(种)方案.8.为促进城乡一体化进程，某单位选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是()A.216 B.420C.720 D.1 080答案D解析先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有A1 080
7、(种).考点三二项式定理的应用方法技巧(1)求二项展开式的特定项的实质是通项公式Tk1Cankbk的应用，可通过确定k的值再代入求解.(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决.(3)求二项展开式系数最大的项，一般采用不等式组法：设展开式各项系数分别为A1，A2，An1，则最大的系数Ak满足9.(2018全国)5的展开式中x4的系数为()A.10 B.20 C.40 D.80答案C解析5的展开式的通项公式为Tk1C(x2)5kkC2kx103k，令103k4，得k2.故展开式中x4的系数为C2240.10.使n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4 B.5 C.6 D.7答案B解
8、析Tk1C(3x)nkkC3nk，当Tk1是常数项时，nk0，当k2，n5时满足题意.11.已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8等于()A.5 B.5 C.90 D.180答案D解析(1x)102(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，a8C22(1)8180.12.(2018益阳调研)(1x2)6的展开式中项的系数为()A.12 B.12C.172 D.172答案C解析因为6的通项公式为C6k(1)k26kC(1)kxk6.故展开式中项的系数为2C(1)523C(1)3172.故选C.1.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程
9、序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有()A.34种 B.48种C.96种 D.144种答案C解析由题意知，程序A只能出现在第一步或最后一步，所以有A2(种)结果.因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有AA48(种)结果，根据分步乘法计数原理可知，共有24896(种)结果，故选C.2.某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为()A.60 B.40C.120 D.240答案A解析由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有3(种
10、)不同的分法.再将两组安排在其中的两个部门，共有3A60(种)不同的安排方法，故选A.3.若(1y3)n (nN*)的展开式中存在常数项，则常数项为_.答案84解析n展开式的通项为CxnkkC(1)kxn3kyk，(1y3)n展开式的通项为C(1)kxn3kyk和y3C(1)kxn3kykC(1)kxn3ky3k，若存在常数项则有(舍)或解得k3，n9，常数项为C(1)384.解题秘籍(1)解有限制条件的排列组合问题，要按照元素(或位置)的性质进行分类，按事件发生的顺序进行分步.(2)平均分组问题中，平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况.(3)求各项系数和要根据式子整体结构，灵活赋值
11、；对复杂的展开式的指定项，可利用转化思想，通过二项展开式的通项解决.1.(2017全国)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.12种 B.18种C.24种 D.36种答案D解析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA36(种)，或列式为CCC3236(种).故选D.2.(2018长沙雅礼中学等联考)某大型花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，则不同的安排方案共有()A.168种 B.156种C.172种 D.
12、180种答案B解析小李和小王分别去甲、乙展区有ACC12(种)方案；小王、小李中有一人去甲、乙展区，有CCCCC96(种)方案；小王、小李都不去甲、乙展区，有AA48(种)方案，共有129648156(种)方案.3.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为()A.96 B.114C.128 D.136答案B解析由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有13622114(种).4.(2017全国)(1x)6的展开式中x2的系数为()A.15
13、B.20 C.30 D.35答案C解析因为(1x)6的通项为Cxk，所以(1x)6的展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.5.(2018莆田期末)从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有()A.210种 B.420种C.630种 D.840种答案B解析(用间接法)从9人中选3人到3个班实习班主任工作共A种结果，其中均为男教师的有A种，均为女教师的有A种.满足条件的方案有AAA420(种).6.已知(1ax)(1x)5的展开式中x2
14、的系数为5，则a等于()A.4 B.3C.2 D.1答案D解析因为(1x)5的二项展开式的通项为Cxk(0k5，kZ)，则含x2的项为Cx2axCx(105a)x2，所以105a5，a1.7.(2x1)10a0a1xa2x2a9x9a10x10，则a2a3a9a10的值为()A.20 B.0 C.1 D.20答案D解析令x1，得a0a1a2a9a101，再令x0，得a01，所以a1a2a9a100，又因为a1C21(1)920，所以a2a3a9a1020.8.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是()A.30 B.60 C.120 D.2
15、40答案B解析先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有种，然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有60(种).9.(2018浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案1 260解析不含有0的四位数有CCA720(个).含有0的四位数有CCCA540(个).综上，四位数的个数为7205401 260.10.(2018浙江)二项式8的展开式的常数项是_.答案7解析由题意，得Tk1C()8kkCkxkCk.令0，得k2.因此T3C27.11.设m为正整数，(xy)2m展开式的二
16、项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m_.答案6解析由题意可知，aC，bC，又13a7b，137，即，解得m6.12.公安部新修订的机动车登记规定正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排.某人欲选由A，B，C，D，E中的两个不同的字母和1，2，3，4，5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的方法种数为_.答案3 600解析三个数字相邻，则共有A种情况，在A，B，C，D，E中选两个不同的字母，共有A种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C种情况，综上所述，此人选择号牌的方法种数为AAC602033 600.